基于魔方游戲活動(dòng)的建模研究

周文斌

摘 要：魔方游戲中蘊(yùn)藏著有趣的數(shù)學(xué)知識(shí)，以魔方教學(xué)為載體建立正方體展開(kāi)的直觀(guān)模型。利用魔方工具建模的過(guò)程中，學(xué)生還對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力。

關(guān)鍵詞：魔方;游戲;直觀(guān)建模

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.6 ????????文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

通常所說(shuō)的魔方，其國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)稱(chēng)呼是魯比克魔方，由匈牙利布達(dá)佩斯應(yīng)用藝術(shù)學(xué)院的建筑學(xué)教授魯比克·艾爾內(nèi)于1974年發(fā)明。關(guān)于魯比克發(fā)明魔方的初衷，流傳甚廣的一個(gè)說(shuō)法是為了發(fā)明一種教具，以幫助學(xué)生理解、認(rèn)識(shí)立體空間的構(gòu)造。

看到魔方我們自然會(huì)想到一種立體圖形——正方體，對(duì)于正方體，我們有很多值得研究的地方，其中在研究正方體的展開(kāi)圖這個(gè)問(wèn)題上，大多數(shù)的研究方法都是將手中的正方體沿棱剪開(kāi)，思考正方體平面展開(kāi)圖是怎樣的，這樣的研究缺乏趣味性，而且學(xué)生操作起來(lái)比較困難，不利于學(xué)生建立直觀(guān)模型，于是我嘗試從學(xué)生身邊熟悉的游戲工具——魔方出發(fā)，利用魔方這一游戲化的的數(shù)學(xué)活動(dòng)幫助學(xué)生觀(guān)察和發(fā)現(xiàn)正方體展開(kāi)圖的本質(zhì)，建立正方體展開(kāi)的直觀(guān)模型。

1從“給魔方做一個(gè)貼身的盒子，并畫(huà)出設(shè)計(jì)圖”開(kāi)始

師：同學(xué)們，你們都有一個(gè)魔方，能給魔方做一個(gè)貼身的盒子，并畫(huà)出設(shè)計(jì)圖？老師給你們提供的魔方和方格紙里面的每個(gè)格的大小一樣，待會(huì)你們就借助魔方和方格紙進(jìn)行操作。

生：會(huì)不會(huì)展開(kāi)之后有多種可能性？

建模的開(kāi)始需要老師創(chuàng)設(shè)具有趣味性的情景，可操作的空間要特別大，并能結(jié)合生活實(shí)例，“給魔方做一個(gè)盒子，并畫(huà)出設(shè)計(jì)圖”這樣一個(gè)問(wèn)題情景，讓學(xué)生感到真實(shí)、有趣，富有挑戰(zhàn)性，這對(duì)后面探究正方體的展開(kāi)圖做了很好的鋪墊。

2從魔方的立體到展開(kāi)的平面

師：誰(shuí)愿意上來(lái)匯報(bào)匯報(bào)？你怎么設(shè)計(jì)的？拿著你的魔方和設(shè)計(jì)圖給大家展示一下，你怎么想辦法設(shè)計(jì)這貼身的盒子。

生1：我先把魔方兩個(gè)面包住，卷起來(lái)看，如果魔方四個(gè)面都包住了，再點(diǎn)上點(diǎn)，就代表這塊已經(jīng)可以了，再?gòu)闹苓叞堰@兩側(cè)包上，然后把所有的格子連在起來(lái)，就可以了。

生2：我設(shè)計(jì)出來(lái)的圖也是一樣的，我用的這個(gè)方法首先是，我想象它首先就給包裹好了，再?gòu)男睦锵胂蟀阉鼣傞_(kāi)，那么攤開(kāi)的樣子是，除去上面所有圖形，那么上面的話(huà)，比如說(shuō)這個(gè)是前面的，這個(gè)地方，上面的話(huà)我可以在前面再接一個(gè)，你看這樣接一個(gè)，這樣也能上去，這就是我的設(shè)計(jì)思路。

生3：我用的方法是滾動(dòng)，先把魔方放在第一個(gè)位置上，這樣子它就有一個(gè)面，然后再找它的前面，再滾動(dòng)一下畫(huà)好;再滾動(dòng)，找到它的上面畫(huà)好;再找它的后面，畫(huà)好，然后現(xiàn)在還剩下它的左和右，我是把它放回這里的，然后找到左，左就滾到這，右就滾到這，然后我就畫(huà)出這個(gè)的圖。

從問(wèn)題出發(fā)，借助魔方這個(gè)游戲工具，獨(dú)立思考，動(dòng)手操作，由實(shí)物通過(guò)包裹、想象、滾動(dòng)等方法想到了對(duì)應(yīng)的幾何圖形，這是一個(gè)化抽象到具體的建模過(guò)程，建立了魔方和展開(kāi)圖之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)物到展開(kāi)圖，是教材上沒(méi)有的。在這個(gè)過(guò)程中，教師是活動(dòng)的組織者，引導(dǎo)者，學(xué)生得到了過(guò)程性的訓(xùn)練，積極參與到數(shù)學(xué)的問(wèn)題情境中，不僅可以提高學(xué)生的實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力，而且對(duì)于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)奠定了良好的基礎(chǔ)。

3從展開(kāi)的平面回到魔方的立體

師：我們?cè)O(shè)計(jì)的圖能不能折回去，有沒(méi)有什么規(guī)律，那我們圍繞著這個(gè)問(wèn)題，我們繼續(xù)研究，好不好！如果說(shuō)僅憑你自己的想象來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，你就用后面那兩張空白的方格紙，老師還是覺(jué)得有點(diǎn)困難，你還可以用魔方，用剛剛同學(xué)們想到的方法來(lái)進(jìn)行設(shè)計(jì)，再設(shè)計(jì)兩個(gè)不一樣的圖，行嗎？

師：個(gè)人的學(xué)習(xí)單，每人手中有一份，把不能還原的號(hào)寫(xiě)上，能還原的號(hào)寫(xiě)上，有什么進(jìn)一步的發(fā)現(xiàn)做簡(jiǎn)單的記錄就可以了，一會(huì)我們好一起交流，好嗎？

生：我覺(jué)得我們可以用滾動(dòng)的方法來(lái)檢驗(yàn)它能否折回去。就我們現(xiàn)在檢驗(yàn)四，現(xiàn)在大家看，這是下，我們先把下放在這里，這里是前，下，前，然后是上，后，往左的時(shí)候是右，右，之后再往上的時(shí)候，就變成了下，又一次接觸了它的紙盒，但是在這里的時(shí)候，我們也看到往下接觸了一次，所以這個(gè)是沒(méi)有辦法折回去的。

師：你們同意她的想法嗎？她的意思是它滾動(dòng)之后出現(xiàn)什么問(wèn)題了，所以它折不回去。

生：就是它發(fā)生了重疊的問(wèn)題，有一個(gè)面是包裹不上，而有一個(gè)面是包裹了兩層的。

師：是這樣吧！也就是說(shuō)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系怎么樣？沒(méi)對(duì)應(yīng)上，一個(gè)面重復(fù)運(yùn)用了兩次，你們同意這個(gè)折不回去嗎？你還想說(shuō)什么？

生：我也是拿魔方滾動(dòng)的方法，我認(rèn)為他們是先把上，后，這些面都滾動(dòng)上去了，可問(wèn)題是還差兩個(gè)面，且這兩個(gè)面是對(duì)立面，所以不可能以一個(gè)相同的面折回去，除非進(jìn)行重疊。

師：你們都聽(tīng)懂了？他說(shuō)的對(duì)立面是什么意思？

生：對(duì)應(yīng)的兩個(gè)面，就是比如說(shuō)折了四次，我們知道這四個(gè)面已經(jīng)折過(guò)了，還有這兩個(gè)面沒(méi)有折，它們是對(duì)立的關(guān)系，哪怕你把它放在這，它下一個(gè)折的，也是它而不是它。所以你要想把它們折回去，你就只能再加一個(gè)格。

師：他說(shuō)的對(duì)立面就是指正方體相對(duì)的面，也就是說(shuō)相對(duì)的面怎么樣？在平面圖上肯定不能緊挨著，你緊挨著不行，就立體不了，要立體就要隔著一個(gè)面，是這個(gè)意思嗎？

師：同學(xué)們從錯(cuò)誤的這個(gè)設(shè)計(jì)圖當(dāng)中，還發(fā)現(xiàn)了一些規(guī)律，中間怎么了？

生：中間有四個(gè)。

師：有規(guī)律，中間如果要是四個(gè)，兩邊就必須各有一個(gè)，不能讓它們都在同一邊，是吧！

師：剛才我們一開(kāi)始是將一個(gè)正方體展開(kāi)，然后我們又把這個(gè)平面圖怎么樣？

生：折疊。

從實(shí)物到展開(kāi)，再?gòu)恼归_(kāi)到折疊，路徑一去一回，這里的路徑就是空間觀(guān)念，從幾何體與展開(kāi)圖的轉(zhuǎn)化，一開(kāi)始借助魔方在紙上找到，然后只憑想象，兩個(gè)層次的差異，很好地培養(yǎng)了學(xué)生的空間想象能力。在學(xué)生利用魔方工具建模的過(guò)程中，學(xué)生還對(duì)模型進(jìn)行了驗(yàn)證，從而得到正方體的展開(kāi)圖中間有四個(gè)，兩邊必須各有一個(gè)。這樣一個(gè)過(guò)程，學(xué)生通過(guò)不斷的動(dòng)手操作，細(xì)致觀(guān)察模型特點(diǎn)，充分表達(dá)對(duì)模型的理解，培養(yǎng)了學(xué)生的建模能力。

整節(jié)課，學(xué)生始終沒(méi)有離開(kāi)“魔方”這一游戲工具，魔方數(shù)學(xué)活動(dòng)在幫助學(xué)生建立直觀(guān)模型的過(guò)程中起到了非常重要的作用，并且加深了他們對(duì)數(shù)學(xué)的體驗(yàn)，有利于觀(guān)察和發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)現(xiàn)象的本質(zhì)，從而形成良好的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

參考文獻(xiàn)

[1]孫峰.魔方中的數(shù)學(xué)[J].初中生世界（七年級(jí)視野版），2016（02）：75-76.