淺談提高初中生數(shù)學學習中添加輔助線能力的有效路徑

摘 要：輔助線作為幾何數(shù)學教學中不可或缺的一個重要手段，是解決幾何數(shù)學問題的關鍵途徑。由于初中教師未充分重視輔助線作用、缺乏輔助線問題的總結與歸納等因素影響，導致數(shù)學教學效果并不理想。教學活動的有效開展既得益于教師對學生的教導，又得益于學生對知識的理解。因此，數(shù)學教師在開展幾何教學時，應熟練掌握幾何輔助線作法、有效應用輔助線分類，使學生在學習過程中得到輔助線的規(guī)范化訓練，從而滿足幾何數(shù)學教學的基本要求。文章先著手于輔助線作用的介紹，再闡述輔助線含義與內(nèi)容，隨后再論述提升學生初中數(shù)學學習中添加輔助線能力的幾條有效路徑。

關鍵詞：初中;數(shù)學;添加輔助線;有效路徑

幾何作為初中數(shù)學教育內(nèi)容中必不可少的一部分，其貫徹于學生的整個數(shù)學學習生涯，對學生其他學科的學習與掌握具有重要作用，同時還有效提升學生的幾何直觀能力、空間想象力、抽象思維能力及邏輯思維能力。幾何是一門對空間形態(tài)進行研究的學科，近年來已成為人們廣泛關注的問題。初中數(shù)學相比于小學階段，更注重定義、定理的學習，但卻不是死背定義、定理，需要學生借助定義、定理內(nèi)容，開動腦筋，通過添加輔助線等手段，來解決幾何數(shù)學問題。

一、 輔助線的作用

添加輔助線在初中數(shù)學中不僅具有重要作用，還對培養(yǎng)學生各項能力具有十分重要的意義。在解決幾何問題時，在不改變原有圖形性質前提下添加輔助線，就不會使幾何圖形形狀、原有圖形與輔助線之間的邊角關系、比例關系發(fā)生改變，從而確保幾何問題順利解答。除此之外，輔助線添加于幾何圖形中，有利于將原有圖形中所隱含的性質顯示出來，能夠更好地分割、延伸圖形，讓學生有效了解解題思路與解題方法，從而培養(yǎng)學生的邏輯思維能力。添加輔助線是解決幾何問題的重要方法與途徑，既能構成新的圖形，又能形成新的關系，便于有效解決幾何問題。

二、 輔助線的含義與基本內(nèi)容

（一）輔助線的含義

輔助線是一種用于幾何學、在原有圖形中通過作直線或線段，解決幾何數(shù)學問題的一種途徑與方法。輔助線添加的原則主要包括：將分散的幾何元素轉變?yōu)榧械膸缀卧?、將不?guī)則的圖形轉變?yōu)橐?guī)則圖形、將復雜圖形轉變?yōu)楹唵螆D形、平面幾何中，一般用虛線表示輔助線。

（二）輔助線的基本內(nèi)容

第一，初中數(shù)學中比較基礎的一種圖形就是三角形，為三角形添加輔助線，不光要充分了解三角形的基本性質，在輔助線添加之后，還應將三角形的隱含條件與隱含性質充分展示出來。例如，在學習三角形中線問題時，可通過添加輔助線的方式，延長中線，將原圖延長為一個全等三角形，讓學生借助全等三角形的基本性質解答問題，如下圖1。

第二，作為初中幾何數(shù)學中較為基本的一種圖形，四邊形對輔助線的應用也較為廣泛。常用的四邊形一般包括正方形、平行四邊形、矩形及菱形等。例如，筆者在教學過程中，以平行四邊形為例，通過添加輔助線的方式，連接平行四邊形的對角線，借助平行四邊形對角線定理，完成平行四邊形BEDF的證明，如圖2。

第三，除以上述的三角形與四邊形外，添加圓的輔助線，同樣是初中幾何的重點內(nèi)容。筆者在教學過程中，以圓與直線切割問題為例，當未明確圓與直線關系時，可借助輔助線法，建立直線與圓之間的位置關系，實現(xiàn)幾何問題的有效解決，如圖3。

三、 提升學生初中數(shù)學學習中添加輔助線能力的有效路徑

初中幾何對學生定理證明、推理論證等方面知識提出了一定要求，讓學生在觀察幾何圖形過程中，通過幾何圖形變換，發(fā)現(xiàn)幾何知識，并對所學知識形成一個探究過程，從而培養(yǎng)學生的邏輯思維、表達及自主探究能力。實際上，學生在數(shù)學的學習中難以找到解題突破口、難以做出輔助線等因素限制，在推理論證方面存在嚴重的學習困擾。這種學習困擾如不進行及時解決，則會消磨掉學生對幾何學科的學習興趣。為此，教師在幾何教學過程中，應轉變教學策略，為學生樹立學習幾何的信心，逐漸提升學生的邏輯推理及思維表達能力，以興趣帶動成績，培養(yǎng)學生添加輔助線的能力。

（一）重視輔助線與數(shù)學教學的關系

教師在進行幾何教學時，應轉變以往直接添加輔助線、讓學生直接接受知識的教學方法。這種直接添加輔助線、讓學生死記證明過程的教學方式，未給學生留足思考時間，不利于學生思考能力的培養(yǎng)。部分教師僅在講解幾何題目或幾何定理時，才引導學生添加輔助線。這種只為完成教學計劃與教學目標的教學方式，難以激發(fā)學生對幾何學科的學習興趣，更不利于學生幾何成績的提升。因此，教師在開展教學活動過程中，應加強自身素養(yǎng)的提升，積極歸納、總結輔助線添加方法，重視輔助線與數(shù)學教學之間的關系，引導學生以題目中給出的條件、結論為依據(jù)，結合原圖形性質添加輔助線，不僅能培養(yǎng)學生的思考能力，還有助于以循序漸進的方法引導學生開展正確的推理與論證，既能提升學生對幾何推理論證的興趣，又能有效提升學生的學習效率。

（二）合理安排教學內(nèi)容，對輔助線畫法進行分類

學生對數(shù)學的邏輯推理與思維水平存在一定差異，當他們在解決幾何問題時，其所添加的輔助線也存在一定差異，對于部分思維能力較差的學生來說，添加輔助線是其學習幾何學科的難點問題。幾何教師在教學時，應做好基本圖形輔助線的添加教學，根據(jù)學生知識的掌握情況，以循序漸進的方式增加復雜圖形添加輔助線教學，讓學生在這一過程中，以自己的方式歸納輔助線添加的特征與規(guī)律，養(yǎng)成良好輔助線添加習慣。同時，教師應注意合理安排教學內(nèi)容，切忌安排過多題型，增加學生學習負擔。

幾何推理論證問題條件一般隱含著解決問題的關鍵線索，為使學生提升添加輔助線能力，教師應對輔助線畫法進行有效分類，在理解輔助線添加后的關鍵性線索基礎上，加深幾何問題的分析，從而將復雜、難懂的幾何問題簡單化，從而提升學生幾何學科的學習效果，讓學生在充分掌握輔助線畫法的同時，充分具備輔助線添加能力。

（三）提升學生對輔助線的認知，培養(yǎng)學生的探究學習能力

學生受幾何思維水平等因素限制，僅能憑借自身的直觀思維解決幾何問題，導致幾何推理論證問題成為學生幾何學習的難點。面對學生難以找到幾何問題的解題突破口、缺乏解題思路等問題，教師應對學生做出添加輔助線的提醒，提升學生對輔助線添加的認知，讓學生以題目條件與結論為依據(jù)，將復雜圖形簡單化，從而順利解決幾何問題。數(shù)學教師在幾何教學過程中，應讓學生充分認識到輔助線在幾何問題中的重要性，借助輔助線添加規(guī)律與分類，讓學生在幾何學科的學習中，樹立輔助線添加意識，在添加輔助線的同時，對各類幾何問題達到迎刃而解的學習效果。

我校選用的新人教版教材中，在三角形與平行四邊形等內(nèi)容方面，為培養(yǎng)學生的自主探究能力，提出了相關定理的探究證明，如我們熟知的矩形對角線相等定理。通過添加輔助線，可有效證明這些定理。為此，教師在日常教學活動中，在幾何課堂上應積極引導學生進行自主探究，以自身掌握的知識、技巧及思維模式，尋求幾何問題的解決答案。例如，在證明矩形對角線相等定理時，學生可借助以往學習的平行四邊形等知識，以平行四邊形性質為依據(jù)，考慮如何添加輔助線加以證明，培養(yǎng)學生獨立探究的學習能力。這種引導學生自主探究的教學方法，不僅有利于培養(yǎng)學生的獨立思考能力，還能充分培養(yǎng)學生的探索精神。

（四）利用多媒體技術，充分提升輔助線教學效果

近年來，隨科學技術的不斷進步，以多媒體為代表的科技手段逐漸走入校園，在現(xiàn)代初中課堂中得到了廣泛應用。部分簡單的幾何圖形，教師在講解過程中，僅需手動畫出即可，但遇到復雜圖形，仍采用手動畫法，不僅浪費課堂教學時間，還增加了學生的理解難度。因此，為增加學生對各類復雜圖形的認識，教師在開展幾何教學活動時，可借助多媒體技術，將圖形變化過程以最短時間呈現(xiàn)，將難度較高的復雜圖形置于多媒體技術中，既便于學生的理解，又充分節(jié)省了課堂教學時間，還能為學生提供一個良好的教學氛圍，提升輔助線添加的教學效果。這種借助多媒體展示輔助線添加過程的教學方法，便于學生更加清晰、直觀地了解輔助線添加方法，但教師切忌將多媒體手段作為主要教學方法，僅可將其作為一種輔助手段。

（五）增加學生輔助線添加訓練，鼓勵學生借助輔助線解決幾何問題

作為初中數(shù)學學習的重要內(nèi)容，平面幾何中的輔助線添加問題是學習幾何證明問題的常用途徑。輔助線的正確添加，需求學生具備較強的幾何直觀能力、邏輯思維能力及輔助線添加能力。從筆者日常教學經(jīng)驗來看，學生在解決幾何問題時，多數(shù)不具有較強的輔助線添加能力，難以有效完成幾何問題的解答。為此，幾何教師在課堂教學時，應鼓勵學生以添加輔助線的方式，有技巧、有目的地解決幾何問題。在學生充分掌握了輔助線的添加方法后，通過增加學生輔助線添加訓練，積極培養(yǎng)學生對幾何問題輔助線添加能力的培養(yǎng)，讓學生以自身樹立的輔助線添加意識解決面臨的幾何問題，從而養(yǎng)成良好的輔助線添加習慣。

四、 總結

輔助線的添加在初中數(shù)學教學中具有重要地位，對學生幾何內(nèi)容的學習、教師幾何內(nèi)容的講解具有非常重要的影響。在初中數(shù)學教學過程中，教師應充分重視輔助線添加教學，既對輔助線功能加以明確，又對輔助線添加方法加以歸納與總結，讓學生在掌握輔助線添加方法的同時，找出解決幾何問題的突破口，以豐富的解題思路，配合多種輔助線添加技巧，樹立學生的輔助線添加意識，再通過輔助線添加訓練，逐漸提升學生的數(shù)學學習中輔助線添加能力。

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作者簡介：姚杰生，廣東省汕頭市，廣東省汕頭市潮陽區(qū)金堡中學。