-超曲面的一個積分等式

李云川, 劉 燕 , 魏國新

(1. 河南交通職業(yè)技術(shù)學(xué)院商務(wù)旅游系, 鄭州 451460; 2. 鄭州航空工業(yè)管理學(xué)院數(shù)學(xué)學(xué)院, 鄭州 450046;3. 華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631)

令X:M→n+1是(n+1)-維歐氏空間中的n-維光滑超曲面. 2018年，CHENG和WEI[1]引入了保加權(quán)體積的平均曲率流，具體為：稱一類滿足X(·,0)=X(·)的光滑浸入X(·,t):M→n+1為保加權(quán)體積的平均曲率流，若滿足下面的方程

(1)

其中

H(t)=H(·,t)、N(t)、H(t)分別表示超曲面Mt=X(Mn,t)在點X(·,t)處的平均曲率向量、單位內(nèi)法向量、平均曲率，N是X:M→n+1的單位法向量. 可以證明方程(1)保持如下定義的加權(quán)體積V(t)：

加權(quán)面積泛函A:(-ε,ε)→定義為

其中,dμt是X(t)誘導(dǎo)度量下M的面積元. 令X(t):M→n+1是X的變分，其中X(0)=X. 若V(t)是常數(shù)，稱X(t):M→n+1是X的保加權(quán)體積的變分.

CHENG和WEI[1]證明了:對所有的保持加權(quán)體積的變分來說，X:M→n+1是加權(quán)面積泛函A(t)的臨界點的充分必要條件是存在常數(shù)滿足

〈X,N〉+H=,

(2)

其中，H為M的平均曲率;并給出-超曲面的定義：如果一個浸入超曲面X:M→n+1滿足方程(2)，則稱之為-超曲面. 隨后，學(xué)者們得到了若干有關(guān)-超曲面的剛性定理和分類定理[2-12].

關(guān)于0-超曲面的研究，已有很多好的結(jié)果. 如，LE 和 SESUM[13]證明了:若M是 (n+1)-維歐氏空間中的n-維完備的具有多項式面積增長的嵌入自收縮子并且滿足S<1，則S=0且M就是超平面n，其中S表示第二基本形式的模長平方；CAO和LI[14]研究了更廣泛的情形并證明了：

定理A若M是(n+1)-維歐氏空間中的n-維完備的具有多項式面積增長的自收縮子并且滿足S≤1，則M要么是超平面n，要么是圓球面要么是柱面n-m，1≤m≤n-1.

n-維歐氏空間n、n-維球面Sn(r)和n-維柱面Sk(r)×n-k都是-超曲面，其的值分別為0、n/r-r和k/r-r. CHENG和WEI[1]證明了：若M是n-維完備的具有多項式面積增長的嵌入-超曲面，且滿足H-≥0和(f3(H-)-S)≥0，則M只能是Sk(r)×n-k(0≤k≤n)，其中j是M的主曲率. CHENG等[2]分類了具有多項式面積增長的且平均曲率H和第二基本形式長度平方S滿足一個不等式的完備-超曲面，并得到了沒有多項式面積增長這一條件的剛性結(jié)果.

1 預(yù)備知識

首先，介紹文中所用的基本公式. 令X:Mn→n+1是(n+1)-維歐氏空間n+1中的n-維連通的超曲面. 取局部標(biāo)準(zhǔn)正交標(biāo)架場其對偶為要求限制在Mn上時，e1,…,en是Mn的切平面的基底. 則

限制在Mn上有

其中，hij表示X:Mn→n+1的第二基本形式的分量，是平均曲率.是X:Mn→n+1的第二基本形式，N=en+1是單位法向量. 令hijk=khij,hijkl=lkhij,其中,j是協(xié)變微分算子. Gauss 方程、 Codazzi 方程和 Ricci 方程分別為

Rijkl=hikhjl-hilhjk,

(3)

hijk=hikj,

(4)

(5)

其中,Rijkl是曲率張量的分量. 一個函數(shù)F的協(xié)變導(dǎo)數(shù)可以表示為F,i=iF,F,ij=jiF. 對于-超曲面，我們定義一個橢圓算子如下：

(6)

其次，給出本文定理證明需用的引理.

引理1[15]令X:M→n+1是完備的超曲面. 若u和v是C2函數(shù),且滿足

(7)

則

(8)

引理2[1]若X:M→n+1是-超曲面，則

(9)

(10)

2 主要結(jié)論及其證明

定理1若X:M→n+1是n-維完備的具有多項式面積增長的-超曲面且滿足S有界，則

其中,H是M的平均曲率，S是M的第二基本形式模長平方.

證明因為 〈X,N〉+H=，則

(11)

(12)

(13)

由引理2可知

(14)

(15)

因為S有界，則H2和S(-H)H有界. 因為M具有多項式面積增長，則由-超曲面的定義以及式(11)，有

(16)

有界. 由引理 1、式(15)得到：

(17)

推論1若X:M→n+1是n-維完備的具有多項式面積增長的-超曲面且滿足S有界和

(H-)2S≤H(H-),

(18)

則M要么是超平面n，要么是圓球面Sn(r)，要么是柱面Sk(r)×n-k(1≤k≤n-1).

證明由定理 1 以及已知條件 (H-)2S≤H(H-)，可得

(H-)(H+S(-H))≡0

(19)

和H為常數(shù). 若H-≡0，由式(9)得到H=≡0，則M是超平面[14]. 若H?，由式(19)可知S=H/(H-). 此時，式(12)變?yōu)?/p>

(20)

式(20)兩端同乘hik，并對i和k求和，可以得到

(21)

即

(22)

由引理2和式(22)可知

(23)

由此知道M是等參超曲面且M要么是圓球Sn(r)，要么是柱面Sk(r)×n-k.

注記1本文僅以定理1和推論1為例來說明如何得到-超曲面的積分等式和剛性定理. 事實上，用類似的方法可以得到一些類似的積分等式和剛性定理.