厘清認(rèn)知起點(diǎn) 厚實(shí)思維表象

項(xiàng)萍

【問題緣起】

“倍的認(rèn)識(shí)”是一節(jié)概念課，同時(shí)又是一節(jié)重要的起始課。之前的教學(xué)，通過主題圖直接揭示概念，然后通過圈一圈、擺一擺、畫一畫等活動(dòng)形式，讓學(xué)生在動(dòng)手操作中形成表象，最后通過練習(xí)來加深學(xué)生對“倍”的理解。課堂反饋看上去很不錯(cuò)，然而練習(xí)反饋卻令人沮喪，學(xué)生作業(yè)如下圖。

為何一節(jié)看似成功的課卻出現(xiàn)如此糟糕的學(xué)習(xí)效果呢？反思整個(gè)教學(xué)過程，發(fā)現(xiàn)可能是以下幾方面原因造成的：

一、缺乏清晰的認(rèn)知起點(diǎn)切入“倍”的解讀

“倍的認(rèn)識(shí)”是小學(xué)數(shù)學(xué)中關(guān)系教學(xué)的起始課，也是學(xué)習(xí)相對數(shù)量比較的一個(gè)抽象概念，學(xué)生理解難度比較大。學(xué)生在一二年級(jí)學(xué)習(xí)了“比多少”和表內(nèi)乘除法，對兩個(gè)量之間受思維定式的影響，往往總停留在“比多少”上。而 “倍”代表著兩個(gè)數(shù)量間的比較關(guān)系，它產(chǎn)生的前提和基礎(chǔ)是兩者比較，關(guān)鍵是要找到比較量和標(biāo)準(zhǔn)量，即一方在以誰為標(biāo)準(zhǔn)，分成相同的幾份。之前的教學(xué)只重視“倍”是什么，卻輕視“倍”的數(shù)學(xué)本質(zhì)，以及與乘法意義之間的聯(lián)系，學(xué)生“倍”的概念學(xué)習(xí)如空中樓閣，沒有扎實(shí)的認(rèn)知基礎(chǔ)作支撐。

二、缺乏足夠的表象積累支撐“倍”的抽象

由于本節(jié)課是以定義的方式呈現(xiàn)“倍”的本質(zhì)屬性，學(xué)生對概念形成過程的探究是缺失的，對“倍”的理解停留在機(jī)械記憶上，練習(xí)中生搬硬套概念，一旦遇到變式練習(xí)，因找不準(zhǔn)“標(biāo)準(zhǔn)量”，往往無從下手。

從之前“短、平、快”式課堂教學(xué)中不難看出，學(xué)生因缺乏形成“倍”的概念所需要的表象，對“倍”本質(zhì)理解只能停留在課本定義上，教師的陳述中，無法達(dá)到真正意義的理解。

基于以上的經(jīng)歷和思考，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知心理特點(diǎn)，對“倍的認(rèn)識(shí)”教學(xué)進(jìn)行了重新設(shè)計(jì)。

【再次設(shè)計(jì)】

一、讓思考“看得見”，找準(zhǔn)“倍”的起點(diǎn)

任何新知識(shí)的教學(xué)，都要考慮學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、認(rèn)知水平，要了解學(xué)生的興趣與困難所在，找準(zhǔn)知識(shí)的起點(diǎn)，找到學(xué)習(xí)新知的最近發(fā)展區(qū)，只有這樣才能形成適合學(xué)生學(xué)習(xí)策略。

1.動(dòng)起來，讓思考“看得見”。

數(shù)學(xué)思維是抽象的，摸不著看不見，但數(shù)學(xué)思維往往伴隨著具體的數(shù)學(xué)活動(dòng)而展開，數(shù)學(xué)活動(dòng)是思維顯性的外殼。教學(xué)時(shí)讓學(xué)生 “動(dòng)”起來，教師才有機(jī)會(huì)“觀察”學(xué)生思維路徑、方向與狀態(tài)。

教學(xué)片段：

師：動(dòng)物園里來了一群可愛的小動(dòng)物，我們一起去看看吧！

（學(xué)生們充滿了期待的眼神看向屏幕，“哇！兔園！”）

課件動(dòng)畫出示：

師：你看到了什么？

生：黑兔。（響亮并急切地說）

師：你有什么想說的？

生1：一共是6只黑兔。

生2：3只小黑兔一組。

生3：一共有6只小黑兔分成了兩組。

師：可以說是幾個(gè)幾？

生：2個(gè)3。

（安排了一個(gè)擺“3個(gè)2”的操作活動(dòng)。）

作品反饋：

師：哪位同學(xué)擺的是3個(gè)2？

生1：左邊的對，右邊是2個(gè)3了。

生2：我也支持，左邊才是3個(gè)2。

……

由此可以看出，在學(xué)生齊聲回答“3個(gè)2”之后，還需要經(jīng)歷動(dòng)手?jǐn)[“3個(gè)2”的過程。讓學(xué)生經(jīng)歷操作、反思的“動(dòng)”，教師才能厘清學(xué)生的思維起點(diǎn)，才能找準(zhǔn)學(xué)習(xí)新知的最近發(fā)展區(qū)。在接下來的教學(xué)中才能有效地引導(dǎo)學(xué)生把“幾個(gè)幾”與新知“倍”的本質(zhì)特征進(jìn)行對接。

2.說出來，讓思考“看得見”。

語言是思維的外殼，借助語言我們可以將思維展現(xiàn)出來。讓學(xué)生“說”出自己的思路、想法，從中把握他們思維的水平、方向和動(dòng)態(tài)。為此，課堂上要給足學(xué)生表達(dá)的時(shí)間和空間。

教學(xué)片段1：

生1：這位同學(xué)擺得不對，白兔是2只，要以2只為一組擺，擺3個(gè)2只。

生2：“2個(gè)3”表示的是以3只為一份，有2份;“3個(gè)2”表示的是以2只為一份，有3份。

學(xué)生在遇到“3個(gè)2”的粘貼情況不一樣時(shí)，通過碰撞交流，才能在喚醒舊知的同時(shí)，修正自己原本理解上的偏差。帶著正確的理解才能在后續(xù)的學(xué)習(xí)中，有效地把“幾個(gè)幾”與新知“倍”建立起知識(shí)連接點(diǎn)。

教學(xué)片段2：

師：白兔有2只，黑兔有3個(gè)2只，我們就說黑兔的只數(shù)是白兔的3倍。

師：你可以再說一說嗎？

生：白兔有2只，黑兔有3個(gè)2只，黑兔的只數(shù)是白兔的3倍。

師生互動(dòng)，老師擺學(xué)生說。

生生互動(dòng)，同桌之間一個(gè)擺一個(gè)說，再互換角色。

通過各種形式說的機(jī)會(huì)，讓學(xué)生在說的過程中，感受“倍”與“幾個(gè)幾”之間的聯(lián)系。從模仿到邊擺邊說再到你擺我說，三個(gè)層次地說，達(dá)到層層遞進(jìn)的效果。

二、讓思維“可視化”，抽象“倍”的本質(zhì)

對于“倍”的概念的理解，在學(xué)生探究的過程中，必須要經(jīng)歷各類具體實(shí)例的觀察、比較、分析，這樣才能積累豐富的“倍”的表象，此時(shí)，抽象出“倍”的本質(zhì)特征也就水到渠成了。

1.畫下來，讓思維顯“形”。

文字描述的數(shù)學(xué)概念是抽象的，如何讓隱藏在文字背后的數(shù)學(xué)本質(zhì)顯現(xiàn)出來，又能讓教師“觀察”到學(xué)生的思維過程。畫圖是簡潔、易行的方法之一。

教學(xué)片段：

讓學(xué)生用“畫”的方式經(jīng)歷3次探究“誰是誰的幾倍”的過程。

第一次：

第二次：

第三次：

經(jīng)歷這么多層次的圖形表征之后，學(xué)生在圈圈畫畫中強(qiáng)化對“倍”的初步感知，積累了豐富的“倍”的表象，為后續(xù)抽象“倍”的概念奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

2.比起來，讓思考建“?！?。

沒有碰撞就沒有思維的推進(jìn)，學(xué)生只有在與別人分享、對話，產(chǎn)生火花的過程中，才會(huì)質(zhì)疑、辨析，從而逐步調(diào)整自己原有的建構(gòu)。為此，在此教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)了兩次“比”的過程：

教學(xué)片段：

（1）海星的只數(shù)是水母的幾倍。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么？

生：水母又多了一只。

師：那海星的只數(shù)是水母的幾倍呢？

展示學(xué)生的作品。

師：說說你是怎么想的？

生：我想水母有3只，海星有12只，圈一圈，我發(fā)現(xiàn)海星里面有4個(gè)3只，所以海星的只數(shù)是水母的4倍。

師：說得真好。

師：再來看看這位同學(xué)的，跟她不一樣的地方在哪？

生1：上面畫的是虛線，下面畫的是實(shí)線。

生2：下面寫的是水母的只數(shù)是海星的4倍，寫反了。

師：可以反過來嗎？

生1：不可以，反過來的話水母的只數(shù)就比海星多了。

生2：海星里面有4個(gè)3只，所以應(yīng)該是海星的只數(shù)是水母的4倍。

生3：多的是少的的幾倍。

（2）海星的只數(shù)是海龜?shù)膸妆丁?/p>

課件只出示一個(gè)量。

師：請說一說誰是誰的幾倍？

生1：我覺得海星是水母的幾倍？

生2：海星是海龜?shù)膸妆叮?/p>

生3：上面只有海星，不知道誰是誰的幾倍？

師：看來大家都覺得題目缺少信息，你們需要幾個(gè)量？

生：求誰是誰的幾倍，需要兩個(gè)量。

師：是的，海龜爬的有點(diǎn)慢，看！它來了。

課件出示：

生獨(dú)立思考并完成，然后展示交流。

師：說說你是怎么想的。

生：我發(fā)現(xiàn)海龜有4只，以海龜一份的量為標(biāo)準(zhǔn)，海星的只數(shù)是3個(gè)4只，所以海星的只數(shù)是海龜?shù)?倍。

通過設(shè)計(jì)不同層次的觀察、分析、比較、交流活動(dòng)，幫助學(xué)生厘清“倍”的本質(zhì)特征是兩個(gè)量之間的比較關(guān)系，兩個(gè)數(shù)量比較時(shí)，分清誰是標(biāo)準(zhǔn)量最為重要。為此，在活動(dòng)中設(shè)計(jì)了標(biāo)準(zhǔn)量數(shù)量的變化、位置的變化，通過非本質(zhì)屬性辨析，為學(xué)生理解“倍”的本質(zhì)屬性積累豐富的認(rèn)識(shí)經(jīng)驗(yàn)。

同時(shí)，在學(xué)生交流、表達(dá)自己想法的過程中，師生之間、生生之間的互動(dòng)辨析，一方面豐富學(xué)生“倍”的表象，另一方面也幫助學(xué)生厘清了思維上的模糊點(diǎn)，學(xué)生對“倍”的概念也由具體認(rèn)識(shí)逐步走向抽象理解。

三、讓學(xué)習(xí)“摸得著”，完善“倍”的建構(gòu)

學(xué)生在認(rèn)識(shí)倍的過程中，從“倍”的直觀模型到抽象“倍”的數(shù)量關(guān)系，不僅需要積累“倍”的表象，還需要在練習(xí)中，糾正認(rèn)識(shí)過程中的思維偏差，從而完善“倍”的建構(gòu)。他們學(xué)習(xí)“倍”的路徑看得見、摸得著，為今后進(jìn)一步學(xué)習(xí)提供了豐富的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。

1.擺一擺，豐富“倍”的模型。

教學(xué)片段：

師：用小棒擺一擺。

第一行：

第二行：

第二行的根數(shù)是第一行的3倍。

師：你們擺的都不一樣，為什么都說第二行的根數(shù)是第一行的3倍呢？

生1：因?yàn)榈诙欣锩娑加?份。

生2：我發(fā)現(xiàn)第一行擺一份，第二行擺這樣的幾份，根數(shù)就是第一行的幾倍。

師：下面的同學(xué)擺的對嗎？能表示第二行是第一行的3倍嗎？

生1：不能，看不出來第二行里面有3份。

生2：有3份，第一行有2根，2根為一份，第二行里面有3個(gè)2根，只不過他沒有2根2根地?cái)[。

師：沒有2根2根地?cái)[，可以嗎？

生：可以，只要第二行擺的根數(shù)含有3份第一行的根數(shù)就可以啦。

通過練習(xí)讓學(xué)生體會(huì)到，只要多倍量里面含有幾個(gè)一倍量，那么多倍量就是一倍量的幾倍。打亂小棒的擺放，讓學(xué)生從關(guān)注直觀模型，跨越到關(guān)注小棒的數(shù)量，幫助學(xué)生對倍的認(rèn)識(shí)逐步從感性上升到理性。讓學(xué)生的思維從“倍”的直觀模型過渡到抽象“倍”的本質(zhì)內(nèi)涵。

2.畫一畫，豐富“倍”的內(nèi)涵。

教學(xué)片段：

師：畫三角形，如果圓的個(gè)數(shù)是三角形的1倍，你會(huì)畫嗎？

師：圓的個(gè)數(shù)還可以是三角形的幾倍呢？你會(huì)畫嗎？請想一想，再畫一畫。

提供材料幫助學(xué)生突破并完善“1倍”關(guān)系的建構(gòu)。同時(shí)讓學(xué)生去思考，知道“幾倍量”如何確定“一倍量”呢？借助這樣“可視化”的操作，來幫助學(xué)生在思辨中提升自己的思維，完善“倍”的建構(gòu)。

“可視化”的教學(xué)，既能讓老師看得見學(xué)生的學(xué)，找準(zhǔn)起點(diǎn)，又能促進(jìn)學(xué)生的學(xué)，建立表象，抽象出數(shù)學(xué)本質(zhì)。讓學(xué)生真正經(jīng)歷知識(shí)的形成過程。