基于數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)

張享發(fā) 粟麗妮

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》（以下簡(jiǎn)稱高中數(shù)學(xué)課標(biāo)）提出，高中數(shù)學(xué)教學(xué)目標(biāo)的制定要突出學(xué)科核心素養(yǎng)導(dǎo)向，建議教師關(guān)注學(xué)科核心素養(yǎng)目標(biāo)在教學(xué)中的可實(shí)現(xiàn)性，研究其融入教學(xué)內(nèi)容和過程的具體方式和載體，注重創(chuàng)設(shè)合適的情境，結(jié)合現(xiàn)實(shí)生活對(duì)教材內(nèi)容進(jìn)行整合，在課堂中給學(xué)生提供富有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)內(nèi)容，幫助學(xué)生在自主探索、動(dòng)手實(shí)踐和合作交流中獲得學(xué)科核心素養(yǎng)的提升.數(shù)學(xué)建模作為數(shù)學(xué)學(xué)科六大核心素養(yǎng)之一，是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題進(jìn)行數(shù)學(xué)抽象，用數(shù)學(xué)語言表達(dá)問題、用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建模型解決問題的素養(yǎng).在課堂教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，需要讓學(xué)生親身體驗(yàn)“在實(shí)際情境中從數(shù)學(xué)的視角發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，分析問題、構(gòu)建模型，確定參數(shù)、計(jì)算求解，檢驗(yàn)結(jié)果、改進(jìn)模型，最終解決實(shí)際問題”的全過程.

近年來，“互聯(lián)網(wǎng)+”對(duì)數(shù)學(xué)教育產(chǎn)生了廣泛、深刻的影響，唐劍嵐教授所提出的實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課，指的是在課堂教學(xué)中借助信息技術(shù)、實(shí)物教具等實(shí)驗(yàn)工具創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)課程，簡(jiǎn)稱實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課[1].我們借助唐教授的實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課思維，提出了“以問題為導(dǎo)向、以實(shí)驗(yàn)為抓手、以解惑為目標(biāo)”的三大教學(xué)原則，倡導(dǎo)教師遵循創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)“問題—實(shí)驗(yàn)—解惑”三步教學(xué)法：通過創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實(shí)生活情境，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的視角去發(fā)現(xiàn)和提出問題，相機(jī)開展實(shí)驗(yàn)探究，最終解決問題.顯而易見，創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的教學(xué)方法和數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)存在著極高的契合度.

人教版高中數(shù)學(xué)必修3《均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生》一課教學(xué)內(nèi)容中涉及的數(shù)學(xué)方法是隨機(jī)模擬方法，數(shù)學(xué)思想是從特殊到一般、近似逼近和算法思想;學(xué)習(xí)重點(diǎn)是設(shè)計(jì)模型并運(yùn)用隨機(jī)模擬方法估計(jì)未知量，難點(diǎn)是如何把未知量的估計(jì)問題轉(zhuǎn)化為隨機(jī)模擬問題.下面筆者以該課教學(xué)為例，談?wù)勅绾位跀?shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)實(shí)施創(chuàng)課導(dǎo)學(xué).

一、在實(shí)際情景中發(fā)現(xiàn)問題，從數(shù)學(xué)的角度提出問題

數(shù)學(xué)建模是集理解問題、提出問題、分析問題、解決問題于一身的綜合素養(yǎng)，因此，基于數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)，第一要?jiǎng)?wù)是培養(yǎng)學(xué)生理解問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力.在本課開課伊始，教師用談話法導(dǎo)入，與學(xué)生展開了下面的對(duì)話.

師：我們正處在信息化時(shí)代，誰能舉例說說大數(shù)據(jù)如何影響自己的生活？

生：在淘寶網(wǎng)購物時(shí)，該網(wǎng)站會(huì)給我們推送很多類似自己瀏覽過的商品信息;在微博上瀏覽文章，也會(huì)被推送很多類似的文章信息.

師：看來，大數(shù)據(jù)對(duì)我們的影響，不僅在于它的信息量大，更在于它所重塑的后信息環(huán)境.一個(gè)大規(guī)模生產(chǎn)、分享和應(yīng)用數(shù)據(jù)的時(shí)代已經(jīng)到來.（播放《幾何概型與大數(shù)據(jù)》微視頻，然后課件呈現(xiàn)“問題一”）

問題一：大數(shù)據(jù)為什么能如此精準(zhǔn)地影響我們的生活？里面隱含了怎樣的原理？

生：比如通過計(jì)算汽車擁堵時(shí)段的時(shí)間概率值以及擁堵路段的長度概率值，可以優(yōu)化紅綠燈的設(shè)置，讓紅綠燈根據(jù)路況變化自行做出時(shí)間上的調(diào)整.里面隱含了幾何概型、統(tǒng)計(jì)概率的原理.

師：前面我們學(xué)習(xí)了利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬實(shí)驗(yàn)產(chǎn)生整數(shù)值隨機(jī)數(shù)來估算古典概型的概率.那么對(duì)于幾何概型，我們是否也能用同樣的方法來處理呢？請(qǐng)大家根據(jù)之前所學(xué)整數(shù)值隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法，分別用計(jì)算器和計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬實(shí)驗(yàn)，生成[0，1]的均勻隨機(jī)數(shù).（課件呈現(xiàn)“問題二”）

問題二：能否根據(jù)整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生方法，模擬產(chǎn)生[0，1]的均勻隨機(jī)數(shù)？

學(xué)生分別按照課件指示的方法操作試驗(yàn).部分學(xué)生用計(jì)算器模擬實(shí)驗(yàn)，依次按[SHIFT][RAN#][=]，再反復(fù)按[=].部分學(xué)生用計(jì)算機(jī)Excel表格模擬實(shí)驗(yàn)，在空格中輸入函數(shù)“=rand（ ）”，按回車，產(chǎn)生一個(gè)隨機(jī)數(shù);通過復(fù)制、粘貼上面輸入的內(nèi)容，則可以產(chǎn)生多個(gè)隨機(jī)數(shù).

以上教學(xué)過程，“問題一”體現(xiàn)了在現(xiàn)實(shí)生活情景中理解問題、發(fā)現(xiàn)問題、提出問題，借助案例進(jìn)行創(chuàng)課的思想，旨在讓學(xué)生領(lǐng)悟幾何概型的價(jià)值，激發(fā)進(jìn)一步學(xué)習(xí)的熱情;“問題二”體現(xiàn)了從復(fù)習(xí)舊知中提出問題，借助計(jì)算器、計(jì)算機(jī)等實(shí)驗(yàn)工具，在實(shí)踐中拓展應(yīng)用均勻隨機(jī)數(shù)產(chǎn)生的方法，增強(qiáng)學(xué)習(xí)信心.讓學(xué)生類比“整數(shù)值隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生”操作[0，1]均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生實(shí)驗(yàn)，既明確了本課的實(shí)驗(yàn)工具，又強(qiáng)化了實(shí)驗(yàn)操作要領(lǐng)，為后面的實(shí)驗(yàn)探究做好了準(zhǔn)備.該教學(xué)流程初步體現(xiàn)了問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)、旨在解惑的創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)理念.

二、用變量思維確定參數(shù)，用建模思想模擬實(shí)驗(yàn)

為了培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力，教師需要在教學(xué)過程中設(shè)置相應(yīng)的建?；顒?dòng).基于數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)，重視建模活動(dòng)中的問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)平臺(tái)創(chuàng)設(shè)、實(shí)驗(yàn)探究過程展開以及結(jié)論分析.也就是說，創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)既重視在實(shí)驗(yàn)前對(duì)學(xué)生進(jìn)行變量思維和建模思想的啟發(fā)引導(dǎo)，也重視在實(shí)驗(yàn)中對(duì)學(xué)生加強(qiáng)動(dòng)手能力培養(yǎng)，在實(shí)驗(yàn)完成后還要引導(dǎo)學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行合理性分析評(píng)價(jià).

（一）均勻隨機(jī)數(shù)的原理

從區(qū)間[0，1]產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)變換為在區(qū)間[[a，][b]]上產(chǎn)生均勻隨機(jī)數(shù)，這已經(jīng)涉及線性變換的問題，是學(xué)生理解上的第一個(gè)難點(diǎn)，而用幾何概型估計(jì)隨機(jī)事件的概率是學(xué)生理解上的第二個(gè)難點(diǎn)，也是本課的學(xué)習(xí)重點(diǎn).數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)的基本方法是問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué).

師：如果用[x]表示[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，如何用式子表示[2，5]上的均勻隨機(jī)數(shù)？（學(xué)生靜默、思考，可以看出，對(duì)于區(qū)間的平移、伸長，學(xué)生不出所料出現(xiàn)了理解上的困難）大家能看出這里的區(qū)間長度、區(qū)間起點(diǎn)嗎？

生：從區(qū)間起點(diǎn)及長度來看，應(yīng)該先向右平移2個(gè)單位，再向右伸長3個(gè)單位.

師：怎樣才能做到只向右伸長3個(gè)單位或5個(gè)單位呢？大家動(dòng)手畫一畫、想一想，伸長的時(shí)候區(qū)間的長度、區(qū)間的起點(diǎn)如何變化？

生：伸長必須是左右兩邊同時(shí)變化，做不到只向右伸長3個(gè)單位或5個(gè)單位，所以我是先伸長3倍，再向右平移2個(gè)單位.

師：如果用[x]表示[0，1]的均勻隨機(jī)數(shù)，你能用式子表示區(qū)間[2，5]上的隨機(jī)數(shù)嗎？

生：如果[x]是[0，1]的均勻隨機(jī)數(shù)，那么[2+3x]就是區(qū)間[2，5]上的均勻隨機(jī)數(shù).

師：很好！下面請(qǐng)同學(xué)們?cè)谟?jì)算器或PAD上進(jìn)行模擬試驗(yàn)，產(chǎn)生5個(gè)[0，3]，5個(gè)[2，5]上的均勻隨機(jī)數(shù)，并記錄在學(xué)案上.

學(xué)生自主操作實(shí)驗(yàn).教師在巡視時(shí)重點(diǎn)觀察學(xué)生兩個(gè)方面的表現(xiàn)：第一，區(qū)間伸長3倍及伸長3倍再整體平移2個(gè)單位的數(shù)學(xué)表達(dá)是否正確;第二，使用實(shí)驗(yàn)工具進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作是否規(guī)范、記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)是否準(zhǔn)確.觀察到學(xué)生都能正確表達(dá)、準(zhǔn)確操作后，課堂進(jìn)入下一個(gè)問題解決過程.

師：我們將問題一般化，（課件出示“問題三”）要產(chǎn)生任意指定區(qū)間[[a]，[b]]上的均勻隨機(jī)數(shù)，我們?cè)撊绾巫儞Q呢？

問題三：如何產(chǎn)生區(qū)間[[a]，[b]]上的均勻隨機(jī)數(shù)？

生：先伸長[b-a]個(gè)單位，再平移[a]個(gè)單位;[x]是區(qū)間[0，1]上的均勻隨機(jī)數(shù)，[a+（b-a）x]為區(qū)間[[a]，[b]]上的均勻隨機(jī)數(shù).

師：很好！在均勻隨機(jī)數(shù)方面，大家已經(jīng)完成了由特殊到一般的學(xué)習(xí)歷程.這樣我們就可以在區(qū)間[0，1]的基礎(chǔ)上，學(xué)會(huì)產(chǎn)生任意區(qū)間上的均勻隨機(jī)數(shù)，只需關(guān)注區(qū)間的長度和起點(diǎn)就可以進(jìn)行任意區(qū)間的變換了.（師課件呈現(xiàn)本環(huán)節(jié)分析理解過程，如圖1）

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程，是一個(gè)從特殊到一般、從具體到抽象的思維發(fā)展過程.學(xué)生經(jīng)歷了以上學(xué)習(xí)過程之后，對(duì)“區(qū)間[[a，b]]上的隨機(jī)數(shù)”不再存在理解上的困難.

（二）均勻隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用

從幾何概型的實(shí)際運(yùn)用到感悟隨機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)中的概率思想，這些教學(xué)過程可以讓學(xué)生體會(huì)到新知其實(shí)是舊知的自然延伸，并可從中得到思想方法的涵育.

1.用一維長度型幾何概型，初步培育學(xué)生的建模思想

師課件出示“例1”，帶領(lǐng)學(xué)生先后展開以下探究活動(dòng)：用幾何概型公式求出答案的精確值;在Excel表格中，用隨機(jī)模擬方法得出答案的估計(jì)值;總結(jié)用頻率估計(jì)概率的步驟.

例1：取一根長度為3米的繩子，拉直后在任意位置剪斷.那么，剪得兩段的長都不小于1米的概率有多大？

很顯然，例1是一個(gè)一維長度型幾何概型問題.為了幫助學(xué)生厘清相關(guān)概念，教師先進(jìn)行了演示操作（如圖2），緊接著與學(xué)生展開了如下對(duì)話.

師：大家先想一想，這是一個(gè)什么概型？概率是多少？

生：這是一個(gè)幾何概型.把繩子分成三等分，當(dāng)剪刀落在AB段時(shí)則滿足題意，概率為1/3.

師：這位同學(xué)幫我們找到了事件A即“剪得兩段的長都不小于1米”發(fā)生的條件，并確定了它是幾何概型.有沒有同學(xué)能更詳細(xì)地說一說，它為什么是幾何概型？

生：剪刀落在哪里都是等可能發(fā)生的，且結(jié)果有無限多個(gè)，這符合幾何概型的特征.

師：抓住了幾何概型的等可能性和無限性，很好！只有確定了概型的種類，才能準(zhǔn)確地求出概率的值.我們知道，無論是古典概型，還是幾何概型，都是基于操作試驗(yàn)提煉而來的.雖然通過大量重復(fù)試驗(yàn)可以求出頻率，但大量重復(fù)試驗(yàn)會(huì)消耗大量的時(shí)間和人力.今天，我們站在前人的肩膀上，可以借助計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行模擬試驗(yàn)，只不過，我們需要為機(jī)器設(shè)計(jì)一個(gè)基本的試驗(yàn)方案.為此，我們需要把試驗(yàn)結(jié)果和隨機(jī)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，完成以下思考.（課件出示“思考一”）

思考一：①變量的范圍是多少？②如何通過計(jì)算機(jī)產(chǎn)生變量？③事件A發(fā)生的條件是什么？如何用數(shù)學(xué)語言表示？④如何統(tǒng)計(jì)事件發(fā)生的頻數(shù)？如何計(jì)算頻率？

學(xué)生在紙上寫寫畫畫.教師巡視并啟發(fā)學(xué)生思考，之后呈現(xiàn)分析過程及相關(guān)操作（如圖3）;學(xué)生在PAD上操作，試驗(yàn)產(chǎn)生多個(gè)均勻隨機(jī)數(shù).之后是課堂分享各組試驗(yàn)結(jié)果（略），展開數(shù)學(xué)對(duì)話.

師：可以看出，各組算出來的頻率不盡相同，和我們用幾何概型公式計(jì)算出來的概率也不完全一樣.誰來說一說為什么會(huì)有這樣的結(jié)果？

生：我們每一組試驗(yàn)的次數(shù)不一樣.

師：雖然試驗(yàn)次數(shù)不同，結(jié)果也不盡相同，但和1/3都很接近.我們通過大量試驗(yàn)計(jì)算出來的是頻率，這個(gè)值與試驗(yàn)次數(shù)有關(guān).這就是隨機(jī)模擬的思想——用頻率近似概率.

以上教學(xué)，先引導(dǎo)學(xué)生厘清概型種類，運(yùn)用之前所學(xué)幾何概型公式求出概率的精確值，再參考整數(shù)值隨機(jī)數(shù)在模擬試驗(yàn)中的運(yùn)用，利用Excel表格的隨機(jī)數(shù)函數(shù)功能，用隨機(jī)模擬方法得出答案的估計(jì)值，最后將兩種方法進(jìn)行比對(duì)，讓學(xué)生體會(huì)用幾何概型估計(jì)隨機(jī)事件的概率思想.

2.用二維面積型幾何概型，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和利用模型解決問題的能力

師課件出示“例2”，將知識(shí)的應(yīng)用引向縱深;課件出示“思考二”，啟發(fā)學(xué)生自主思考，為分組展開實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)做準(zhǔn)備.

例2：假設(shè)你家訂了一份報(bào)紙，郵遞員可能在早上6：30至7：30之間把報(bào)紙送到你家，你父親離開家去工作的時(shí)間在早上7：00至8：00之間，請(qǐng)問你父親在離開家前能得到報(bào)紙（稱為事件A）的概率是多少？

思考二：①為了表示時(shí)間，我們需要產(chǎn)生幾組均勻隨機(jī)數(shù)，范圍是什么？②事件A發(fā)生的條件是什么？如何用數(shù)學(xué)語言表示？③如何統(tǒng)計(jì)事件A發(fā)生的頻數(shù)？如何計(jì)算頻率？

接下來，師生圍繞關(guān)鍵問題展開課堂對(duì)話.

師：為了表示時(shí)間，我們需要產(chǎn)生幾組變量？

生：需要兩組變量[x]和[y]，分別代表郵遞員送報(bào)到家時(shí)間和父親離家時(shí)間，且兩個(gè)時(shí)間都是隨機(jī)的，在相應(yīng)時(shí)間區(qū)間上是等可能發(fā)生的，有無限多種可能.因此，我們可以通過產(chǎn)生兩組均勻隨機(jī)數(shù)來表示.

師：這兩組變量的取值范圍呢？

生：[x]∈[6.5，7.5]，[y]∈[7，8].

師：6：30至7：30為什么表示成[6.5，7.5]？

生：把一個(gè)小時(shí)記作1，三十分鐘則是0.5.

師：事件A發(fā)生的條件是什么？

生：只要報(bào)紙?jiān)诟赣H離家前送到，事件A就能發(fā)生.

師：事件A發(fā)生的條件如何用數(shù)學(xué)語言表示？

生：[x]<[y].

在確認(rèn)學(xué)生數(shù)學(xué)思考基本對(duì)路之后，教師安排了如下探究活動(dòng)：①弄清楚“思考二”中的3個(gè)問題后，初步設(shè)計(jì)例2中的隨機(jī)模擬試驗(yàn)方案;②分組討論，在學(xué)案上填寫Excel表格中的具體內(nèi)容;③以小組為單位展示本組表格設(shè)計(jì)，并解釋每個(gè)空格中填寫的內(nèi)容.

學(xué)生分組進(jìn)行探究活動(dòng)，教師巡視指導(dǎo);課堂展示某一個(gè)小組的表格設(shè)計(jì)，并通過課件呈現(xiàn)例2的分析過程及計(jì)算機(jī)模擬實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)方案（如圖4），隨后安排學(xué)生分組完成Excel表格實(shí)踐操作及試驗(yàn)結(jié)果匯報(bào).

經(jīng)過多輪次的操作練習(xí)，學(xué)生對(duì)計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)操作已經(jīng)駕輕就熟，雖各組試驗(yàn)結(jié)果不同但頻率近似，于是教師課件出示“思考三”，并進(jìn)行了改變實(shí)驗(yàn)次數(shù)的演示試驗(yàn)（如圖5、圖6），提醒學(xué)生注意觀察圖5和圖6中頻率穩(wěn)定的范圍，感受試驗(yàn)次數(shù)越多、概率估計(jì)越準(zhǔn)確的原理.

思考三：①為什么每組得出來的頻率值不一樣？②利用隨機(jī)模擬法得到的結(jié)果是精確值還是近似值？③利用隨機(jī)模擬法估計(jì)幾何概型的概率所蘊(yùn)含的統(tǒng)計(jì)思想是什么？

圖5重點(diǎn)觀察頻率及散點(diǎn)分布.圖6是把試驗(yàn)次數(shù)設(shè)為橫軸、事件A發(fā)生的頻率設(shè)為縱軸后形成的一個(gè)折線圖，是隨機(jī)取出的一個(gè)拆線圖，從中可發(fā)現(xiàn)，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越會(huì)穩(wěn)定在0.87～0.88之間.綜合圖5和圖6的觀察結(jié)果，最終可以確定，取常數(shù)0.873作為試驗(yàn)結(jié)果相對(duì)近似.

以上教學(xué)過程，繼續(xù)踐行問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)、旨在解惑的教學(xué)原則，成功強(qiáng)化了學(xué)習(xí)重點(diǎn)：教師通過引導(dǎo)學(xué)生思考、設(shè)計(jì)、操作隨機(jī)模擬試驗(yàn)，讓學(xué)生進(jìn)一步感受建模思想在幾何概型隨機(jī)模擬試驗(yàn)中的應(yīng)用價(jià)值;學(xué)生通過演示實(shí)驗(yàn)，逐漸明白了一個(gè)道理——在隨機(jī)模擬試驗(yàn)中，要使估計(jì)值更精確，如精確到“最后取常數(shù)0.873作為試驗(yàn)的結(jié)果”，需要在模擬試驗(yàn)中通過不斷重復(fù)操作試驗(yàn)產(chǎn)生更多的隨機(jī)數(shù)，并根據(jù)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行頻數(shù)統(tǒng)計(jì)，但是，這當(dāng)中的數(shù)據(jù)運(yùn)算量相當(dāng)大，操作過程也會(huì)十分煩瑣.

三、用量化思想計(jì)算求解，借檢驗(yàn)結(jié)果梳理思路

數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)還需要在試驗(yàn)活動(dòng)結(jié)束以后，運(yùn)用相關(guān)計(jì)算原理來驗(yàn)證模擬試驗(yàn)結(jié)果的合理性;運(yùn)用計(jì)算方法驗(yàn)證模擬試驗(yàn)的可行性，是本課學(xué)習(xí)的第二個(gè)難點(diǎn).本教學(xué)環(huán)節(jié)實(shí)際是上一個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)的延伸，仍然圍繞例2展開.師課件出示“問題四”，引導(dǎo)學(xué)生圍繞該問題展開相關(guān)的計(jì)算和驗(yàn)證活動(dòng).

問題四：在“例2”中，如何用幾何概型的計(jì)算公式求出答案的精確值？

運(yùn)用幾何概型理論求概率，旨在培育學(xué)生將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)，培養(yǎng)學(xué)生量化計(jì)算、數(shù)形結(jié)合的答題能力.

為問題求解的過程，大致包括以下三步.

第一步，確定一方的時(shí)間，明確事件發(fā)生的條件.若父親離家時(shí)間確定為7：20，則郵遞員送報(bào)時(shí)間為6：30至7：20即可;若郵遞員送報(bào)時(shí)間確定為7：15，則父親離家時(shí)間為7：15至8：00即可.而事件A發(fā)生的條件是送報(bào)時(shí)間≤離家時(shí)間.于是，師課件演示模擬試驗(yàn)的過程并呈現(xiàn)試驗(yàn)的結(jié)果（如圖7）.

第二步，兩個(gè)時(shí)間均隨機(jī)，確定概率模型.運(yùn)用幾何畫板演示：分離父親離家和郵遞員送報(bào)兩個(gè)時(shí)間軸，幾何畫板動(dòng)態(tài)分析事件結(jié)果構(gòu)成的方形區(qū)域（如圖8），確定問題為面積型幾何概型.

第三步，設(shè)量建系，量化面積，計(jì)算概率.引導(dǎo)學(xué)生通過建立直角坐標(biāo)系來解決問題（如圖9），最后師生一起完成量化計(jì)算，得到準(zhǔn)確概率.設(shè)郵遞員送報(bào)時(shí)間為[x]，爸爸離家時(shí)間為[y]，則爸爸離家前取得報(bào)紙，只需送報(bào)時(shí)間早于離家時(shí)間，即[6.5≤x≤7.5，7≤y≤8]，[y≥x]，于是[P（A）=SASΩ=1-12×12×121×1=78].

求解結(jié)束，師生展開了如下對(duì)話.

師：將試驗(yàn)得到的散點(diǎn)圖和估計(jì)的概率，與理論畫出的示意圖和計(jì)算的概率相對(duì)比，會(huì)發(fā)現(xiàn)結(jié)果是驚人的相似.隨機(jī)模擬試驗(yàn)的思想是什么？

生：頻率概率.

師：哪位同學(xué)來說一說用計(jì)算方法得出的概率與通過隨機(jī)模擬試驗(yàn)方法得出的概率的關(guān)系？

生：通過隨機(jī)模擬試驗(yàn)計(jì)算出來的是頻率，即概率的近似估計(jì)值.通過幾何概型計(jì)算公式計(jì)算得出的，則是概率的準(zhǔn)確值.隨機(jī)模擬試驗(yàn)的次數(shù)足夠多時(shí)，這兩個(gè)結(jié)果會(huì)非常接近，隨機(jī)模擬試驗(yàn)的結(jié)果才更加可靠.

接下來是師生互動(dòng)：教師以問題串的提問方式，引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)設(shè)計(jì)隨機(jī)模擬試驗(yàn)時(shí)需要考慮的主要問題，厘清設(shè)計(jì)試驗(yàn)的基本思路;最后課件呈現(xiàn)思路圖示（如圖10）.

均勻隨機(jī)數(shù)的應(yīng)用教學(xué)，呈現(xiàn)了一個(gè)學(xué)習(xí)難度逐漸上升的過程.隨機(jī)參數(shù)從一維上升到二維，難度加大，教師借助簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃原理，引導(dǎo)學(xué)生采用數(shù)形結(jié)合的方法確定可行區(qū)域，進(jìn)而計(jì)算相應(yīng)區(qū)域的面積，再運(yùn)用幾何概型的公式計(jì)算出準(zhǔn)確的概率，從而驗(yàn)證了模擬試驗(yàn)的合理性.學(xué)生最終明白“用計(jì)算方法得出的概率與通過隨機(jī)模擬方法得出的概率，當(dāng)隨機(jī)模擬試驗(yàn)的次數(shù)足夠多時(shí)，這兩個(gè)結(jié)果會(huì)非常接近，結(jié)果才更加可靠”，達(dá)成了學(xué)生對(duì)隨機(jī)模擬方法的深刻理解，實(shí)現(xiàn)了問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)的“解惑”目標(biāo).

基于數(shù)學(xué)建模的創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)，旨在將教學(xué)實(shí)施過程從知識(shí)技能立意轉(zhuǎn)向核心素養(yǎng)立意.與傳統(tǒng)的教學(xué)方法相比，以“問題導(dǎo)向、實(shí)驗(yàn)導(dǎo)學(xué)”為基本理念的創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)，聚焦學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的培養(yǎng)，更能引導(dǎo)學(xué)生思考、探索數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)之間的關(guān)聯(lián)，積累用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問題的經(jīng)驗(yàn)，從而加深對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)容的理解，增強(qiáng)創(chuàng)新意識(shí)和數(shù)學(xué)知識(shí)應(yīng)用能力.但是，創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)對(duì)教師提煉教材核心問題的能力、組織開展課堂實(shí)驗(yàn)的能力要求都比較高，對(duì)學(xué)生理解能力、動(dòng)手能力以及課堂實(shí)驗(yàn)工具的選擇等也都有不低的要求，因此，在創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)初始階段，教師不可操之過急，需準(zhǔn)確把握教材內(nèi)容，精心設(shè)計(jì)核心問題，如此方能在課堂教學(xué)中創(chuàng)設(shè)與學(xué)生能力相適應(yīng)的實(shí)驗(yàn)平臺(tái)，引導(dǎo)學(xué)生通過實(shí)驗(yàn)探究、合作探究最終解決問題，讓創(chuàng)課導(dǎo)學(xué)的課堂真正成為培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)的課堂.

參考文獻(xiàn)：

[l]唐劍嵐.“魚漁欲”三位一體優(yōu)化教學(xué)的理念與策略——以“三角形的內(nèi)角”課例片段分析為例[J].基礎(chǔ)教育研究，2015（9）.

[2]黃一娉，黃夢(mèng)遠(yuǎn)，唐劍嵐.基于5E學(xué)習(xí)環(huán)和H P工具的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)創(chuàng)課設(shè)計(jì)——以“函數(shù)圖象平移變換”的教學(xué)為例[J].中小學(xué)課堂教學(xué)研究，2017（6）.

注：本文系廣西教育科學(xué)“十三五”規(guī)劃A類課題“e-數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室環(huán)境下高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)創(chuàng)新策略研究”（立項(xiàng)編號(hào)：2017A010）的階段研究成果.

（責(zé)編 白聰敏）