新定義型數(shù)列題分類賞析*

寧永楠 武瑞雪

(江蘇省睢寧縣第一中學(xué)，221200)

新定義型數(shù)列題不局限于課本上的等差、等比兩類數(shù)列去命題,而是給出一個新定義的數(shù)列,然后按照這個新定義去解決相關(guān)問題的一類題目.這類題目具有一定的挑戰(zhàn)性、新穎性、區(qū)分性和選拔性,有利于考查學(xué)生的閱讀、理解、類比、遷移等能力,有利于考查學(xué)生思維的深刻性、批判性和創(chuàng)新性等學(xué)習(xí)潛能,幫助學(xué)生克服機(jī)械學(xué)習(xí)過程中形成的“懂而不會,會而不對”等現(xiàn)象,有效提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)解題過程中的科學(xué)思維的習(xí)慣.

一、 以函數(shù)性質(zhì)為背景

例1(1)在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的和為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等和數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公和.已知數(shù)列{an}是等和數(shù)列,若a1=2,公和為5，那么a18的值為______,前21項和S21的值為______.

(2)在一個數(shù)列中,如果每一項與它的后一項的積為同一個常數(shù),那么這個數(shù)列叫做等積數(shù)列,這個常數(shù)叫做該數(shù)列的公積.已知數(shù)列{bn}是等積數(shù)列,若b1=2,公積為5,Tn為數(shù)列的前n項積,則T2 020=______.

解(1)細(xì)心計算,易得此數(shù)列為2,3,2,3,2,….{an}以2為周期，故a18=a2=3,S21=5×10+2=52.

….{bn}也以2為周期，前2 020項積為1 010個5相乘,即T2 020=51 010.

評注數(shù)列是一種特殊的函數(shù),對周期數(shù)列可類比周期函數(shù)進(jìn)行理解.本題在實際教學(xué)中,可進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生探究等和數(shù)列、等積數(shù)列的通項公式、遞推關(guān)系式及前n項和公式(限于篇幅,這里從略)；并與等差數(shù)列、等比數(shù)列的相關(guān)內(nèi)容進(jìn)行對比,以培養(yǎng)學(xué)生的類比、遷移、創(chuàng)新、探究、分析新問題、解決新問題的能力.

例2已知數(shù)列{an},從中選取第i1項,第i2項,…,第im項，若ai1

解aim的下標(biāo)中還有下標(biāo),理解了此式以及“遞增子列”的定義,并能注意思考順序,就不難寫出滿足題意的長度為4的所有遞增子列:1,3,5,6;1,3,5,8;1,3,6,8;1,5,6,8;3,5,6,8.

又由條件(2),可得b5=5,且|a5-b5|≤20,即|a5-5|≤20,解得-15≤a5≤25.

所以,a5的取值范圍是[16,25].

評注本題需在理解新數(shù)列定義的基礎(chǔ)上,抓住特殊與一般的關(guān)系解決問題.

二、以熟悉的數(shù)列、級數(shù)為背景

例4如果一個數(shù)列的各項都是實數(shù),且從第二項起,每一項與它前一項的平方差是同一個的常數(shù),則稱該數(shù)列為等方差數(shù)列,這個常數(shù)叫做這個數(shù)列的公方差.

(1)若數(shù)列{an}既是等方差數(shù)列,又是等差數(shù)列,證明:數(shù)列{an}為常數(shù)列;

(2)若數(shù)列{an}是首項為2,且各項為正,公方差為2的等方差數(shù)列,求數(shù)列{an}的通項公式.

分析本題由“等差數(shù)列”的定義類比給出“等方差數(shù)列”的定義,只要能透徹理解等差數(shù)列、等方差數(shù)列定義,再注意對公差d是否為零進(jìn)行討論,熟悉“累加法”的適用條件,問題將迎刃而解.

又由{an}是等差數(shù)列,設(shè)an-an-1=an+1-an=d.若d≠0,則由上可知an+an-1=an+1+an,即an-1=an+1,這與d≠0矛盾，所以d=0,即數(shù)列{an}為常數(shù)列.

分析如何理解和利用新定義數(shù)列提供的條件是順利解答此題的關(guān)鍵.

anlgxn=an+1lgxn+1=an+2lgxn+2=p.

①

三、以簡易邏輯為背景

例6設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,若對任意正整數(shù)n,總存在正整數(shù)m,使得Sn=am,則稱{an}是“H數(shù)列”.現(xiàn)給定數(shù)列{bn},其前n項和Tn=2n(n∈N*),求數(shù)列{bn}的通項公式,并證明{bn}是H數(shù)列.

解由條件可知,當(dāng)n=1時,b1=T1=2;當(dāng)n≥2時,bn=Tn-Tn-1=2n-1.

由通項公式可知,對任意正整數(shù)n,當(dāng)n=1時,存在m=n=1,使Tn=bm;當(dāng)n≥2時,存在m=n+1,使Tn=bm,所以{bn}是H數(shù)列.

評注本題以簡易邏輯為背景,考查學(xué)生對“H數(shù)列”定義的理解,同時也考查數(shù)列的通項與前n項和之間的關(guān)系解題時要分n=1和n≥2兩種情況討論,然后再看能否合并統(tǒng)一.

四、 以運(yùn)算的封閉性為背景的新數(shù)列

例7已知{an}是各項非負(fù)的單調(diào)增數(shù)列,對于正整數(shù)K,若對任意1≤i≤j≤K,其中i,j∈N*,有aj-ai仍是{an}中的項,則稱數(shù)列{an}為“K項可減數(shù)列”.

(1)已知{an}是首項為2,公比為2的等比數(shù)列,且數(shù)列{an-2}是“K項可減數(shù)列”,試確定K的最大值;

解(1)設(shè)cn=an-2=2n-2,則c1=0,c2=2,c3=6,易得c1-c1=c1,c2-c1=c2,c2-c2=c1,則{cn}一定是“2項可減數(shù)列”.

又c3-c2≠c1,c3-c2≠c2,c3-c2≠c3,所以K的最大值為2.

(2)由{an}是“K項可減數(shù)列”,得aK-at(t=1,2,…,K) 必是數(shù)列{an}的項;又{an}單調(diào)增,故aK-aK

評注第(1)問只要學(xué)生理解“K項可減數(shù)列”的定義,并充分利用題目中條件,則易得解;在第(2)問中,不僅要緊扣新概念,還要掌握數(shù)列求和的相關(guān)基礎(chǔ)知識、基本方法,綜合性較強(qiáng).

由上可見,新定義型數(shù)列題并不一定是“難題”,只要有扎實的基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗、良好的心理素質(zhì),擅于深入地分析、仔細(xì)地觀察、認(rèn)真地歸納、合理地遷移,能透過“新”現(xiàn)象看出“舊”本質(zhì),能撩開“新”面紗,定能順利解決.