例談?dòng)谩霸O(shè)而不求”法解決與隱零點(diǎn)相關(guān)的問題

鄧 輝

(江蘇省無錫市北高級(jí)中學(xué)，214000)

近幾年的高考?jí)狠S題中,用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題已成為命題的趨勢(shì)．用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)綜合問題,最終都會(huì)歸結(jié)于函數(shù)的單調(diào)性的判斷,而函數(shù)的單調(diào)性又與導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)有著密切的聯(lián)系.但是有很多導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)無法直接求出,我們稱之為導(dǎo)函數(shù)的隱零點(diǎn)．本文將用“設(shè)而不求”的方法來探究相關(guān)問題的處理策略.

一、證明不等式問題

例1已知函數(shù)f(x)=lnx+x,g(x)=xex-1,求證:f(x)≤g(x).

當(dāng)x∈(0,x0)時(shí),G(x)>0,F′(x)>0,F(x)為增函數(shù);當(dāng)x∈(x0,+∞)時(shí),G(x)<0,F′(x)<0,F(x)為減函數(shù).故F(x)≤F(x0)=lnx0+x0-x0ex0+1.

二、求含參不等式的參數(shù)的范圍問題

例2已知函數(shù)f(x)=ax+xlnx(a∈R).

(1)若f(x)在[e,+∞)為增函數(shù),求a的取值范圍;

(2)當(dāng)a=1且k∈Z時(shí),不等式k(x-1)

解(1)依題意，f′(x)=a+lnx+1≥0在區(qū)間[e,+∞)恒成立,故a≥(-lnx-1)max=-2，即a的取值范圍是[-2,+∞).

于是，當(dāng)1x0時(shí)，h(x)>0,即g′(x)>0,g(x)單調(diào)增.故g(x)min=g(x0).

綜上，k

評(píng)注本題通過參數(shù)分離法將問題轉(zhuǎn)化為求g(x)的最小值.其關(guān)鍵在于尋找g′(x)(即h(x))的零點(diǎn)x0,并利用零點(diǎn)定理縮小其范圍，通過等式lnx0=x0-2化簡(jiǎn)g(x0)，達(dá)到設(shè)而不求得出k的最值的目的.

例3已知函數(shù)f(x)=(x+1)lnx-ax+a(a為正實(shí)常數(shù)).若不等式(x-1)f(x)≥0恒成立,求a的取值范圍.

當(dāng)00,h(x)在(0,+∞)單調(diào)增,又h(1)=0,符合題意.

當(dāng)a>2時(shí),設(shè)m(x)=(x+1)2-2ax=x2+(2-2a)x+1,則Δ=4a(a-2)>0,m(x)=0有兩根x1,x2(x10,x1x2=1>0,所以x1,x2均大于零.又m(1)=4-2a<0,所以x1<1h(1)=0，不合題意.

綜上，a的取值范圍是(0,2].

解法2對(duì)解法1進(jìn)行優(yōu)化.當(dāng)a>2時(shí),因?yàn)閙(1)=4-2a<0,故存在x>1,使得m(x)=0.于是，當(dāng)x∈(1,x0)時(shí),m(x)<0,即h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減,所以h(x0)

評(píng)注本題討論參數(shù)a時(shí),將函數(shù)f(x)變形為h(x)，變形后lnx系數(shù)為1,使導(dǎo)函數(shù)變得簡(jiǎn)單,便于尋找導(dǎo)函數(shù)的隱零點(diǎn)．解法2通過虛設(shè)零點(diǎn)x0,簡(jiǎn)化了解法1找點(diǎn)的難度.

三、證明含有參數(shù)的不等式問題

評(píng)注近幾年的各省高考題中時(shí)常出現(xiàn)指數(shù)與對(duì)數(shù)的混合型問題.總體來說,這類問題比較難,我們要盡可能把指數(shù)和對(duì)數(shù)分開,通過虛設(shè)零點(diǎn)，設(shè)而不求，并利用指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的轉(zhuǎn)化達(dá)到簡(jiǎn)化計(jì)算、回避難點(diǎn)的目的.

隱性零點(diǎn)問題的解決運(yùn)用的是數(shù)學(xué)中的“設(shè)而不求”思想,通過虛設(shè)零點(diǎn)、限制范圍、整體代換,將目標(biāo)變形為可求最值的函數(shù),進(jìn)而解決不等式恒成立證明、求參數(shù)范圍等問題.