非常規(guī)分式最值問(wèn)題解題策略

李秀元

(湖北省武穴市實(shí)驗(yàn)高級(jí)中學(xué)，435400)

近幾年,各地高考模擬不斷出現(xiàn)非一次分式最值問(wèn)題.主要以分析和構(gòu)造能力為著眼點(diǎn),考查學(xué)生數(shù)學(xué)建模和邏輯推理等核心素養(yǎng)．此類(lèi)試題解法具有一定的靈活性,學(xué)生若不積累一定的解題經(jīng)驗(yàn),沒(méi)有熟悉的思想指導(dǎo),處理起來(lái)還是普遍感覺(jué)比較困難．本文對(duì)此類(lèi)問(wèn)題分類(lèi)例析,供參考.

一、直接運(yùn)用基本不等式

應(yīng)用基本不等式解決最值問(wèn)題,是高考的基本考點(diǎn).此類(lèi)題型的條件與結(jié)論的關(guān)系有時(shí)具有一定的隱蔽性,表面上不能直接套用基本不等式,但稍微變通一下,還是能轉(zhuǎn)化成為基本不等式可求解的類(lèi)型.

1.一次性使用基本不等式型

評(píng)注尋找基本不等式的結(jié)構(gòu)特征是解這類(lèi)題的關(guān)鍵,化簡(jiǎn)與化歸是根本,如配湊結(jié)構(gòu)、消元、一次分式結(jié)構(gòu)的分離常數(shù)及二次分式結(jié)構(gòu)的降次等．其中,對(duì)和積混合型、整式和與分式和混合型的問(wèn)題，特別要引起重視.

2.多次使用基本不等式型

有些最值問(wèn)題一次性使用基本不等式并不能解決問(wèn)題,需要將目標(biāo)式進(jìn)行一定形式的轉(zhuǎn)化與重組,多次使用基本不等式方能解決問(wèn)題.此時(shí)，求最值需要特別關(guān)注等號(hào)成立條件的一致性,否則易產(chǎn)生錯(cuò)誤的結(jié)果.

(A)4 (B)7.5 (C)8 (D)16

所以m≤16,即m的最大值為16.

二、換元法轉(zhuǎn)化

評(píng)注換元法是溝通數(shù)學(xué)不同模型之間相互聯(lián)系的重要橋梁.本題借助圓的參數(shù)方程,將目標(biāo)函數(shù)簡(jiǎn)化表示,再借助表達(dá)式的幾何意義使問(wèn)題獲解,彰顯了換元法能變換問(wèn)題表達(dá)方式,有利于拓展思路,靈活解題.

三、減元法與函數(shù)思想

對(duì)多元變量的最值問(wèn)題,若能通過(guò)消元化簡(jiǎn)回歸一元函數(shù),就可以化陌生問(wèn)題為熟悉問(wèn)題,順利實(shí)現(xiàn)問(wèn)題的求解.

本文僅對(duì)此類(lèi)問(wèn)題最常見(jiàn)類(lèi)型的求解作了簡(jiǎn)單的分類(lèi),但并不意味著此類(lèi)問(wèn)題就只能按這一固定方式求解,很多問(wèn)題是可以多角度思考的,解題時(shí)應(yīng)注意靈活選擇解決方法,并不斷進(jìn)行歸納、創(chuàng)新．另外,作為小題是有解題時(shí)間限制的,由于這類(lèi)問(wèn)題的綜合性較強(qiáng),難度較大,平時(shí)訓(xùn)練不宜選用過(guò)于復(fù)雜的題目.