基于TANA函數(shù)的非概率可靠度分析方法

邢漢崢，吳 浩，王雨田，李文藝，馬 瑞，郝 鵬

(1. 大連理工大學(xué)工程力學(xué)系工業(yè)裝備結(jié)構(gòu)分析國家重點實驗室，大連 116024; 2. 北京宇航系統(tǒng)工程研究所，北京 100076)

0 引言

在大量的工程實際中，結(jié)構(gòu)不確定性普遍存在，這些不確定性因素嚴重威脅著結(jié)構(gòu)的安全。早在1947年，F(xiàn)reudenthal[1]提出結(jié)構(gòu)安全的概念。如今，隨著可靠性理論的發(fā)展和在實際工程解決方案中的成功應(yīng)用，結(jié)構(gòu)安全已成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中不可缺少的一部分[2-7]。

目前的研究中主要有3種數(shù)學(xué)模型來描述結(jié)構(gòu)的不確定性因素，即隨機模型、模糊模型和凸模型[8]。常用的隨機模型需要大量的樣本來確定不確定因素的概率分布。然而，從工程結(jié)構(gòu)，特別是航天工業(yè)，例如運載火箭、飛機等，取得足夠的數(shù)據(jù)可能有實際困難。Elishakoff[9]指出，分布估計的小偏差可能造成結(jié)構(gòu)可靠度評估結(jié)果的大偏差。由于凸模型具有求解小樣本問題的優(yōu)點，只需提供某些參數(shù)的變化范圍，這意味著不需要這些參數(shù)的精確概率分布[10-13]。Jiang等[14]研究了非概率凸模型中參數(shù)的相關(guān)性，并在此基礎(chǔ)上建立了多維橢球體模型。

一階二階矩(First Order Second Moment, FOSM)[15]由于其簡單和高效，被廣泛應(yīng)用于基于可靠性的結(jié)構(gòu)優(yōu)化。HL-RF(Hasofer-Lind Rackwitz-Fiessler)算法是FOSM中最常用的算法之一。為了克服HL-RF的不穩(wěn)定性，Yang[16]首先從混沌動力學(xué)的角度分析了這一現(xiàn)象，提出了基于混沌控制的穩(wěn)定性變換方法(STM)來保證收斂性。該方法的有效性已被幾個高度非線性的性能函數(shù)所驗證，而STM的顯著缺點是計算效率低。Li等[17]討論了控制因子對計算結(jié)果的影響，提出了自適應(yīng)混沌控制(Adaptive Chaos Control, ACC)方法對控制因子進行自適應(yīng)調(diào)整，并成功地應(yīng)用于可靠性優(yōu)化中。為了提高非精確一維搜索的效率和穩(wěn)定性，Hao等[18]在利用STM的基礎(chǔ)上，提出改進的混沌控制(Enhanced Chaos Control, ECC)方法,基于Wofle-Powell準則引入價值函數(shù)，對控制因子二次更新，提高了HL-RF的效率和魯棒性。

在求解可靠度迭代接近收斂時，由于步長變小會使功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)增加，嚴重影響了算法的效率。Wang等[19]利用兩個數(shù)據(jù)點的函數(shù)和梯度信息，提出了一種高質(zhì)量的兩點近似的TANA函數(shù)，并利用極限狀態(tài)函數(shù)在兩點處的函數(shù)值和一階梯度構(gòu)造代替功能函數(shù)，降低了在可靠度分析中的計算成本[20]。

本文在凸模型的基礎(chǔ)上，研究了基于非概率可靠性的設(shè)計優(yōu)化問題。為了提高控制效率，提出了一種基于TANA函數(shù)的改進的混沌控制(TECC)方法。與以往的方法相比，TECC利用STM方法以及Wolfe-Powell準則對混沌控制因子進行二次更新，在接近收斂時利用TANA2函數(shù)對功能函數(shù)擬合，以提高算法的效率以及在不同問題中的穩(wěn)定性[21]。

本文首先簡要介紹了凸模型的概念和非概率可靠度指標，接著分別闡述了在可靠度求解時對混沌控制因子的兩次更新方法，然后介紹了TANA2函數(shù)的形式和擬合判定準則，并進一步提出了一種新的NRBDO(Non-probability Reliabil-ity-Based Design Optimization)算法。最后通過3個數(shù)值算例，將提出的方法與其他典型方法的性能進行了比較。

1 非概率型可靠度分析方法

1.1 多橢球模型下的不確定性描述

函數(shù)或者向量的凸集合稱為凸模型，凸集合是不確定事件的狀態(tài)空間，集合內(nèi)的每一個狀態(tài)都表明不確定性量的可能取值[22]。采用這種模型手段，不必確定變量的概率分布，只須知道它們的上下界，適用于以航天工業(yè)為代表的樣本較少的工程結(jié)構(gòu)的設(shè)計。

凸模型包括不考慮相關(guān)性的區(qū)間模型、考慮相關(guān)性的單橢球模型以及考慮局部相關(guān)性的多橢球模型[23],如圖1所示。

(a) 區(qū)間模型

(b) 單橢球模型

(c) 多橢球模型圖1 凸模型中的3種模型Fig.1 Three models in the convex model

設(shè)有不確定參數(shù)向量x∈Rn，將向量x映射到標準向量空間q∈Rn中，其中的元素對應(yīng)關(guān)系為

(1)

在多橢球模型中，所有可能的不確定變量都假定包含在一組多維超橢球當中，即

(2)

式中，Wi為無量綱特征矩陣，εi為超橢球的半徑。

(3)

式中，qi是第i組不確定參數(shù)向量xi的標準化向量。則原多橢球模型可轉(zhuǎn)化為

(4)

可見，將不確定參數(shù)標準化后，原不確定參數(shù)狀態(tài)空間中的多個多維超橢球就轉(zhuǎn)化為標準空間下的多個多維單位超球。

(5)

式中，sgn()為符號函數(shù)，由g(0)的正負所決定。

圖2 凸模型中的可靠度指標示意圖Fig.2 The schematic diagram of reliability index in convex model

(6)

極限狀態(tài)曲面上距離原點最小的點是臨界點，據(jù)此可以定義出多橢球凸模型的可靠度指標表達式為

(7)

1.2 面向可靠度分析的ECC方法[18]

單橢球模型下非概率可靠度指標可表示為優(yōu)化問題

(8)

上式為一個含非線性約束的優(yōu)化問題，其最優(yōu)解q*處為臨界點。

本文采用廣泛應(yīng)用的一次二階矩HL-RF方法，經(jīng)迭代算法公式可顯式表達為

(9)

HL-RF迭代算法雖然簡便，但在特定參數(shù)區(qū)間會產(chǎn)生發(fā)散、周期振蕩等不收斂現(xiàn)象[26]。混沌控制(Chaos Control, CC)方法可有效改善這一問題。

qk+1=qk+λC(F(qk)-qk)，0<λ<1

(10)

(11)

式中，λ為混沌控制因子，C為n×n的對合矩陣，通常取單位矩陣I。

根據(jù)上式可知，混沌控制法本質(zhì)上是通過縮減步長以提高算法穩(wěn)定性。而混沌控制因子λ如何選取成為了一個新的挑戰(zhàn)。λ的值過大會導(dǎo)致迭代過程中出現(xiàn)震蕩甚至不收斂；λ的值過小會導(dǎo)致收斂速度過慢，增加不必要的計算量。ECC方法中對混沌控制因子λ進行了兩次動態(tài)更新。

1.2.1 STM方法[16]

STM方法能夠有效檢測迭代過程中的震蕩，并根據(jù)迭代方向夾角對混沌控制因子做出調(diào)整。STM方法可以表述為

(12)

式中，θ為迭代過程中極限狀態(tài)曲面的負梯度方向與迭代結(jié)果的夾角，γ為兩次迭代方向的夾角,二者幾何意義如圖3所示。

當?shù)^程不滿足方程式中的約束時，意味著迭代中存在振蕩或發(fā)散。在這種情況下，STM用于解決該問題，混沌控制因子通過上式進行更新。

(a) θ的幾何意義

(b) γ的幾何意義圖3 θ和γ的幾何意義示意圖Fig.3 The schematic diagram of the geometric meanings of θ and γ

1.2.2 Wolfe-Powell準則

Wolfe-Powell是一種非精確一維搜索算法，為了保證迭代的效率，采用此準則可以有效更新混沌控制因子。Wolfe-Powell準則可以表述為

(13)

式中，f定義為價值函數(shù)，可以構(gòu)造如下

(14)

式中，c為常數(shù)，d為搜索方向，若c滿足

(15)

經(jīng)證明,對于?y∈Rn，HL-RF的搜索方向都是此價值函數(shù)的下降方向。若g(y) ≠ 0，則按下式改變c的值，上述結(jié)論便一直成立。

(16)

式中，c的初值為2。

因此，由上述結(jié)論和Wolfe-Powell準則可對混沌控制因子適當調(diào)整，使價值函數(shù)達到極值，即g(y)=0。具體形式如下

(17)

式中，一般系數(shù)ρ取0.2，σ取0.8。

2 基于TANA函數(shù)的可靠度求解算法

2.1 TANA2函數(shù)[19]

TANA函數(shù)包括TANA1函數(shù)和TANA2函數(shù)，其中TANA2函數(shù)在強非線性函數(shù)的擬合中效果更好，因此本文采用TANA2函數(shù)。TANA2函數(shù)是一種兩點自適應(yīng)非線性逼近算法，只需要知道兩點的函數(shù)值以及它們的對各分量的偏導(dǎo)數(shù)信息，便可以通過解一組非線性方程來確定出各個待定系數(shù)，從而確定出它的形式。

TANA2函數(shù)由于在兩點擁有著與精確值一樣的函數(shù)值和偏導(dǎo)數(shù)，在逼近上有著很好的效果。利用極限狀態(tài)函數(shù)在兩點處的函數(shù)值和一階梯度構(gòu)造代替功能函數(shù)，可減少因重復(fù)調(diào)用功能函數(shù)而增加的計算成本。

TANA2函數(shù)的具體形式為

(18)

擬合形式自動滿足了在X2處的函數(shù)值和偏導(dǎo)數(shù)與精確值相等。利用前一點X1處的函數(shù)值和偏導(dǎo)數(shù)與精確值相等，得n+1階非線性方程組

(19)

待定系數(shù)ε2和n元向量p={p1,p2, …,pn}，可利用一些數(shù)值迭代方法來求解，初值一般取pi=1，ε2=0.5。

2.2 擬合判定準則及擬合方式

在內(nèi)層迭代的過程中，如果滿足式(20)所示的擬合判定準則，則在實際變量空間中開始將當前點和上一步迭代點擬合成TANA2函數(shù)代替功能函數(shù)。

擬合判定準則為

(20)

式中，系數(shù)m一般取2，r根據(jù)實際問題所需精度調(diào)整。

在開始擬合的同時儲存當前迭代位置處的信息，當后續(xù)利用TANA2函數(shù)代替功能函數(shù)計算的過程中，每次都需要對擬合判定準則進行重新驗證。如果不再滿足擬合判定準則，則返回事先儲存的迭代點的位置，繼續(xù)調(diào)用精確的功能函數(shù)計算功能函數(shù)值及梯度。若再次滿足擬合判定準則，則再次擬合TANA2函數(shù)，重復(fù)驗證擬合判定準則，直至收斂。

綜上所述，如果擬合TANA2函數(shù)之后，沒有達到預(yù)期的收斂效果，則有一個“讀檔”的過程，可以有效防止因為擬合導(dǎo)致的發(fā)散。直到下一次再滿足擬合判定準則時，再進行擬合操作，最終可以較少地調(diào)用功能函數(shù)計算出可靠度指標。這樣做的好處是可以穩(wěn)定減少功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，而不影響擬合前算法的收斂性。因此，在面對一些需要有限元分析或利用代理模型計算功能函數(shù)值及梯度的復(fù)雜問題時，擬合TANA2函數(shù)會明顯提高計算效率。

3 基于TECC算法的非概率可靠性的設(shè)計優(yōu)化流程

基于TECC算法的非概率可靠性的設(shè)計優(yōu)化流程如圖4所示。在提出的新型NRBDO方法中，在可靠度指標法的框架下，外層采用Active-Set算法對設(shè)計變量進行優(yōu)化。內(nèi)層求解可靠度指標，初始階段使用混沌控制算法，一旦發(fā)現(xiàn)振蕩或混沌行為，則使用STM方法和依據(jù)Wolfe-Powell準則來更新混沌控制因子，提高算法的魯棒性。在滿足擬合判定準則時，首先儲存當前迭代信息，

圖4 基于TECC算法的一種新型NRBDO的流程圖Fig.4 Flowchart of a novel NRBDO based on TECC algorithm

在原始空間利用兩點擬合TANA2函數(shù)代替功能函數(shù)進行計算。若接下來不再滿足擬合判定準則，則返回擬合前的迭代點處，調(diào)用原功能函數(shù)進行計算，直至下一次滿足擬合判定準則。該算法采用自適應(yīng)控制因子和再更新策略，以及擬合兩點自適應(yīng)的非線性逼近函數(shù)，在面對復(fù)雜功能函數(shù)時能夠有效提高算法的穩(wěn)定性以及效率。

4 典型算例驗證

4.1 可靠度分析

算例1是一個可靠度分析的問題。結(jié)構(gòu)的功能函數(shù)、隨機變量的多橢球描述以及初始迭代點可描述為

(21)

算例1求解可靠度指標的迭代過程如圖5所示。

從圖5中可以發(fā)現(xiàn)，HL-RF最終出現(xiàn)周期震蕩的發(fā)散。與HL-RF算法相比，CC算法通過引入混沌控制因子，縮小步長達到收斂。ECC和ACC算法[27]進一步對控制因子動態(tài)調(diào)整，能夠以較少迭代次數(shù)收斂。隨著Wolfe-Powell準則的引入，ECC的精度與ACC相比略有提升。

通過TANA2函數(shù)的形式可以發(fā)現(xiàn)，在自變量為負時，在分數(shù)階次運算后會出現(xiàn)虛數(shù)的情況。因此，本算例將隨機變量和約束函數(shù)同時取負變換為正數(shù)。但在實際優(yōu)化問題中，由于隨機變量通常為正值，在實際空間擬合TANA2函數(shù)會避免此問題。

算例1可靠度指標與最優(yōu)設(shè)計點結(jié)果如表1所示。通過表1可以看出，TECC算法由于擬合TANA2函數(shù)代替原有功能函數(shù)，對精度產(chǎn)生一定影響。但在圖5中與ECC算法相比看出，TECC算法在迭代結(jié)束時易于收斂，進一步減少了求解可靠度指標時的迭代步數(shù)。

(a) HLRF

(b) CC

(c) ACC

(d) ECC

(e) TECC

表1 算例1可靠度指標與最優(yōu)設(shè)計點結(jié)果

4.2 一般非線性功能函數(shù)的可靠度優(yōu)化

算例2是一個一般非線性約束下的可靠度優(yōu)化問題。設(shè)計變量的均值、多橢球描述以及可靠度下限可描述為

(22)

功能函數(shù)為

G2(x)=(x1+x2-5)2/30+(x1-x2-12)2/120-1

(23)

算例2可靠度指標與最優(yōu)設(shè)計點結(jié)果如表2所示，算例2中不同方法的迭代過程如圖6所示。

從表2中可以看出，雖然除了HL-RF之外的所有算法都達到收斂，但在功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)上存在著明顯的差別。從圖6中求解可靠度的迭代歷史也可看出，由于混沌控制應(yīng)用于CC的每次迭代，且控制因子相同，因此需要很多次迭代步數(shù)。在ACC中，對控制因子的改進策略使得在遠離功能函數(shù)曲面時明顯減少了迭代步數(shù)，但是在接近曲面時仍需要很多迭代步數(shù)。由于Wolfe-Powell準則的引入，ECC算法能夠高效收斂于最優(yōu)解。TECC在此基礎(chǔ)上擬合TANA2函數(shù)代替功能函數(shù)，進一步減少44.6%的調(diào)用次數(shù)，也減少了在曲面附近一些迭代步數(shù)。

表2 算例2可靠度指標與最優(yōu)設(shè)計點結(jié)果

(a) CC

(b) ACC

(c) ECC

(d) TECC

4.3 強非線性功能函數(shù)的可靠度優(yōu)化

算例3在算例2的基礎(chǔ)上，增加了第二個功能函數(shù)的非線性程度，是一個強非線性約束下的可靠度優(yōu)化問題。設(shè)計變量的均值、多橢球描述以及可靠度下限可描述為

(24)

功能函數(shù)為

(25)

其中，Y，Z也是x的非線性函數(shù)

Y=0.906 3x1+0.422 6x2Z=0.422 5x1-0.906 3x2

(26)

算例3可靠度指標與最優(yōu)設(shè)計點結(jié)果如表3所示，算例3中不同方法的迭代過程如圖7所示。

表3 算例3可靠度指標與最優(yōu)設(shè)計點結(jié)果

在此基于可靠度的優(yōu)化問題中，G2的非線性程度非常高，因此幾種方法求解可靠度指標時的迭代步數(shù)以及功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)進一步增加。從表3中可以看出，CC算法所需的功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)遠遠高于其他方法。ACC算法的控制因子動態(tài)調(diào)整在強非線性中效果明顯，明顯減少功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)，但在內(nèi)層迭代過程中出現(xiàn)明顯錯誤點。ECC算法改善了此現(xiàn)象，提高了算法的精度及效率，但存在接近曲面附近的多余計算量。TECC算法在曲面附近擬合TANA2函數(shù)，從圖7可發(fā)現(xiàn)，該擬合在面對強非線性功能函數(shù)時經(jīng)歷了幾次擬合發(fā)散的現(xiàn)象，圖中多余的迭代點實質(zhì)上是通過TANA2方法計算所得，最終相比ECC算法減少30.5%的功能函數(shù)調(diào)用次數(shù)。

(a) CC

(b) ACC

(c) ECC

(d) TECC圖7 算例3中不同方法的迭代過程圖Fig.7 Iterative process diagram of different methods in example 3

5 結(jié)論

本文在ECC方法的基礎(chǔ)上，引入兩點自適應(yīng)的擬合形式TANA2函數(shù)，在迭代較多的最優(yōu)解附近對復(fù)雜的功能函數(shù)進行擬合，提出一種TECC方法。通過3個數(shù)值算例證明能夠有效提高算法的效率。

1) TECC方法利用STM方法，根據(jù)迭代過程中的幾何關(guān)系對混沌控制因子進行第一次動態(tài)更新，在迭代趨于發(fā)散時能夠有效縮減迭代步長。另外，擬合TANA2后對擬合判定準則持續(xù)監(jiān)測，防止由擬合帶來的發(fā)散，提高了算法的穩(wěn)定性；

2) TECC方法根據(jù)Wolfe-Powell準則，對混沌控制因子進行第二次動態(tài)更新，改善了由STM對迭代步長縮減帶來的效率損失。另外，利用兩點自適應(yīng)非線性逼近的TANA2函數(shù)，在逼近最佳設(shè)計點時，擬合強非線性的功能函數(shù)，有效減少了功能函數(shù)的調(diào)用次數(shù)，提高了算法的效率。