讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在反思中走向深入

顏春紅

【編者按】在小學(xué)階段，讓學(xué)生初步形成評價與反思的意識，培養(yǎng)反思質(zhì)疑的學(xué)習(xí)習(xí)慣是《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在總目標(biāo)中提出的要求。在實際教學(xué)中，關(guān)于學(xué)生反思能力的培養(yǎng)往往被一筆帶過，形式化的反思環(huán)節(jié)并不能帶來能力的提高。如何改造我們的課堂，創(chuàng)設(shè)有利于學(xué)生質(zhì)疑反思的教學(xué)環(huán)節(jié)？本期話題一起來探討。

通過對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程以及活動中涉及的有關(guān)事物、材料、信息、思維、結(jié)果等學(xué)習(xí)特征進(jìn)行反向思考，可以培養(yǎng)學(xué)生的元認(rèn)知能力，讓學(xué)生的思維漸趨理性與縝密。通過反思激活既有經(jīng)驗，形成研究路徑，確立正確觀念，溝通知識聯(lián)系，理解數(shù)學(xué)本質(zhì)，完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)，使數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)在不斷反思中走向深入。

一、問題指引，通過反思激活既有經(jīng)驗

學(xué)生在三年級上冊已經(jīng)學(xué)過把一個物體或圖形平均分成若干份，用分?jǐn)?shù)表示這樣的一份或幾份。學(xué)生形成了把一個物體平均分成若干份，分得的結(jié)果不能用整數(shù)表示，需要用分?jǐn)?shù)表示這樣的觀念。此時，分?jǐn)?shù)在學(xué)生的頭腦中是一個具體的數(shù)，對分?jǐn)?shù)作為表示部分與整體關(guān)系這樣的概念還沒有完全形成，是懵懂、模糊的。本節(jié)課學(xué)習(xí)“認(rèn)識一個整體的幾分之一”，教學(xué)把幾個物體組成的一個整體平均分成若干份，用分?jǐn)?shù)表示這樣的一份，突出的是部分與整體間的關(guān)系。因此，教師既要充分利用學(xué)生的已有經(jīng)驗開展新知教學(xué)，又要引導(dǎo)學(xué)生能正確區(qū)分分得的結(jié)果所表示的分?jǐn)?shù)與實際數(shù)量間的關(guān)系。

課始創(chuàng)設(shè)“羊羊美食節(jié)”的情境，教師提出問題：你能用“1”這個數(shù)字來描述以下每種食物的數(shù)量嗎？（圖略）用數(shù)字“1”不僅讓學(xué)生關(guān)注一個物體，也逼著他們思考，從而調(diào)動生活經(jīng)驗，用“1”來描述多個物體，如一串香蕉、一筐蘋果、一盤櫻桃，初步形成一個整體的概念。

接著讓學(xué)生把一根蘿卜分給4只小羊，說一說怎樣分比較公平，每只小羊分得其中的幾份，其中的一份用什么數(shù)來表示。說一說中的分母4表示什么（平均分的份數(shù)），分子1表示什么（所取的份數(shù)）。

再讓學(xué)生舉例說一說還可以分哪些物體。思考：為什么平均分的物體不同，卻都能用表示？通過討論得出結(jié)論：只要把一個物體平均分成4份，每份就是它的。

課始通過問題指引，讓學(xué)生反思、回顧舊知，激活對分?jǐn)?shù)認(rèn)識的一些既有經(jīng)驗，突顯出平均分、份數(shù)等關(guān)鍵字眼，為用分?jǐn)?shù)準(zhǔn)確描述部分與整體間的關(guān)系作好鋪墊。

二、提取信息，通過反思形成研究路徑

學(xué)生的思維活動在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中占較大比例，反思是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的一種較高層次的形式，是建立在學(xué)生已有的經(jīng)驗基礎(chǔ)之上的再出發(fā)。通過引導(dǎo)學(xué)生反思和交流，將已知和未知有效關(guān)聯(lián)，可以讓學(xué)生有明確的研究目標(biāo)，統(tǒng)一研究的路徑，為新知的學(xué)習(xí)指明方向。

本課中，教師演示分一盒蘿卜的過程，在得出結(jié)論后，引導(dǎo)學(xué)生反思：我們是怎么分蘿卜的？①因為一根蘿卜太少了，老師拿來了一盒蘿卜，把一盒蘿卜平均分成4份，每份就是這盒蘿卜的。②猜想盒子里可能有多少根蘿卜？討論得出：不管盒子里有多少根蘿卜，只要平均分成4份，每份就是這盒蘿卜的。③將盒子打開，看到4根蘿卜，把4根蘿卜分開放，用一個圈圈起來，表示一個整體，用畫虛線的方式表示分蘿卜的過程，平均分成4份，每份是這4根蘿卜的。

再由學(xué)生討論問題：通過分蘿卜的過程你發(fā)現(xiàn)了什么？你打算怎么分？提取出關(guān)鍵信息：平均分成4份，每份是整體的。進(jìn)而形成研究路徑：在練習(xí)紙上操作時把要分的蘿卜圈在一起，看成一個整體，再畫虛線表示平均分成4份，最后在每一份上寫上其所表示的分?jǐn)?shù)。

三、化解沖突，通過反思確立正確觀念

三年級的學(xué)生由于其年齡特征及認(rèn)知水平結(jié)構(gòu)的限制，他們有了一定的自我意識，會依據(jù)經(jīng)驗進(jìn)行判斷，卻不善于對自己的思路進(jìn)行檢驗，對自己的思考過程進(jìn)行反思，也不善于找出和糾正自己的錯誤。因此，需要教師放大矛盾沖突，給出反思路徑，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思，將自己的想法表達(dá)出來，形成不同觀點間的碰撞，從而化解沖突，確立正確觀念。

在把8根蘿卜平均分成4份的過程中，學(xué)生出現(xiàn)兩種不同的結(jié)果，且相當(dāng)多的學(xué)生認(rèn)為2根蘿卜就應(yīng)該用表示。這是因為僅表示其中的一份與整體的關(guān)系，它與“每份有2根蘿卜”的已有經(jīng)驗存在較大的認(rèn)知差異，學(xué)生理解這樣的分?jǐn)?shù)比較困難。因此，需要通過再現(xiàn)分的過程與結(jié)果，引導(dǎo)學(xué)生反思與辨析：將幾根蘿卜看成一個整體？平均分成了幾份？這其中的一份是幾份中的一份？4份中的1份應(yīng)該用什么分?jǐn)?shù)表示？如果用表示，分母8表示把這些蘿卜平均分成幾份？分子2表示取其中的幾份？在反思、辨析中，學(xué)生形成了正確觀念：雖然一份有2根蘿卜，但我們是把8根蘿卜平均分成4份的，所以這2根蘿卜就占了整體的。

四、活動探究，通過反思溝通知識聯(lián)系

經(jīng)驗離不開活動，活動是經(jīng)驗產(chǎn)生的源泉，教師要設(shè)置利于學(xué)生自主探究的數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在活動中親歷知識發(fā)生、發(fā)展的過程，獲得豐富的活動體驗，這樣才能讓學(xué)生在反思評價時有據(jù)可依、有話可說，并在反思交流的過程中發(fā)現(xiàn)與溝通知識間的聯(lián)系。

讓學(xué)生分組操作將12根蘿卜、16根蘿卜平均分成4份，得到這些蘿卜的。想一想：還可以把多少根蘿卜平均分成4份，其中的一份是這些蘿卜的嗎？

先將學(xué)生分的結(jié)果匯總展示，后引導(dǎo)反思：我們是怎么平均分蘿卜的？分得的結(jié)果是怎樣的？這些圖中的每一份都是整體的幾分之幾？為什么總根數(shù)不一樣，每份的根數(shù)也不一樣，每份卻都能用表示？

通過討論溝通知識間的聯(lián)系：不管蘿卜的根數(shù)如何變化，不管每一份中蘿卜的具體數(shù)量是多少，只要將這些蘿卜看作一個整體，平均分成4份，每份就是這些蘿卜的。

本課在未呈現(xiàn)盒子中蘿卜的根數(shù)時，學(xué)生已經(jīng)給出“不管盒子里有多少根蘿卜，只要平均分成4份，每份就是這盒蘿卜的”這樣的結(jié)論。那么，后面的幾次反思比較是否顯得多余？經(jīng)過分析可以發(fā)現(xiàn)，第一次學(xué)生給出結(jié)論只是依據(jù)上學(xué)期對一個物體的幾分之一的理解而形成的初步、模糊的印象，并不是學(xué)生真正理解了所表示的部分與整體的關(guān)系。在學(xué)生的潛意識中，依舊將盒子里的眾多的蘿卜看成了一個物體，盒子承載了從一個物體向多個物體過渡的功能。在平均分8根蘿卜時，當(dāng)真實的物體呈現(xiàn)給學(xué)生，學(xué)生的既有經(jīng)驗占了上風(fēng)，因此后面的幾次反思正是為了幫助學(xué)生糾正錯誤的觀念，厘清知識間的脈絡(luò)，溝通知識間的聯(lián)系，讓學(xué)生真正理解分?jǐn)?shù)所表示的數(shù)量關(guān)系。

五、比較異同，通過反思理解數(shù)學(xué)本質(zhì)

在解決問題后引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行反思比較，從中尋找不同問題間的內(nèi)在聯(lián)系，將思維由特殊推向一般，可以使問題逐漸深化，使思維的抽象程度不斷提高，真正讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

在分蘋果的操作完成后，呈現(xiàn)分蘋果的結(jié)果（圖3），讓學(xué)生仔細(xì)觀察這三幅圖，說一說有什么發(fā)現(xiàn)。為什么分的蘋果個數(shù)一直沒有發(fā)生改變，分得的結(jié)果卻用不同的分?jǐn)?shù)表示？學(xué)生在反思交流中得出結(jié)論：用分?jǐn)?shù)表示分得的結(jié)果與蘋果的總個數(shù)沒有關(guān)系，只與平均分的份數(shù)有關(guān)系，把一個整體平均分成幾份，每份就是這個整體的幾分之一。

在拿走梨的操作后，呈現(xiàn)分梨的過程與結(jié)果（圖4），讓學(xué)生回顧拿走梨的過程。思考：每次都是拿走梨的，為什么每次拿的個數(shù)卻都不同？通過分析，學(xué)生發(fā)現(xiàn)整體的個數(shù)不同，因此整體的所表示的個數(shù)也不同，這些表示的是不同整體的。

通過兩次反思與比較，學(xué)生逐漸明確：把由幾個物體組成的整體平均分成幾份，每份就是這個整體的幾分之一。這里的分?jǐn)?shù)表示的是數(shù)量之間的關(guān)系，而不是具體的數(shù)量。與不同分?jǐn)?shù)相對應(yīng)的物體數(shù)量，可能相同;與同一個分?jǐn)?shù)相對應(yīng)的物體數(shù)量，可能不同。

六、回顧整理，通過反思完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)

回顧整理研究的過程與方法，整合研究的內(nèi)容，弄清知識的來龍去脈，可以溝通所學(xué)知識與已有知識之間的縱橫聯(lián)系，實現(xiàn)對知識的整體建構(gòu)，使知識系統(tǒng)化。

在課的最后，教師呈現(xiàn)了研究過程中的幾幅關(guān)鍵圖片引導(dǎo)學(xué)生回顧研究“一個整體的幾分之一”的歷程，說一說：你是怎么研究的;通過研究，你有哪些收獲和體會。學(xué)生在個人回顧反思與同學(xué)群體的反思評價中找到了平衡，彌補(bǔ)了個人反思的不足，完善了自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，讓經(jīng)驗在反思評價中獲得提升。

（作者單位：江蘇省漣水縣外國語小學(xué)）