雙曲殼結(jié)構(gòu)復(fù)合材料的熱臨界屈曲溫度分析

蘇建民， 劉炳昌， 李 強(qiáng)

(濰坊科技學(xué)院山東省高校設(shè)施園藝實(shí)驗(yàn)室, 濰坊 262700)

相比較于傳統(tǒng)的金屬材料，復(fù)合材料是通過兩種或兩種以上不同性質(zhì)的材料用某種特定方法在宏觀尺度上組成的具有新性能及特性的材料。雙曲殼結(jié)構(gòu)在日常生活非常普遍，是扁殼的一種形式，所謂扁殼是指薄殼的矢量高度f與被薄殼所覆蓋的底面相對(duì)較短邊a之間比值f/a≤1/5。從幾何結(jié)構(gòu)角度來看，扁殼曲面實(shí)際上是日常常見普通曲面的一部分，例如柱面殼、球面殼、雙曲殼都是扁殼的一種表現(xiàn)形式。雙曲殼具有力學(xué)性能優(yōu)良、結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)美觀、經(jīng)濟(jì)指標(biāo)優(yōu)良、結(jié)構(gòu)跨度范圍寬廣等優(yōu)點(diǎn)。由于復(fù)合材料具有強(qiáng)度高、剛度大、質(zhì)量輕并具有抗疲勞、減振、耐高溫及其可設(shè)計(jì)性強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)近幾年在航空航天、機(jī)械制造、設(shè)施農(nóng)業(yè)、汽車工業(yè)等各方面廣泛應(yīng)用。由于復(fù)合材料層合結(jié)構(gòu)在工作過程中往往要承受復(fù)雜的熱載荷作用，所以對(duì)復(fù)合中間層結(jié)構(gòu)材料進(jìn)行不同溫度條件和結(jié)構(gòu)參數(shù)下的熱屈曲行為研究是十分必要的[1-5]，但是針對(duì)復(fù)合材料層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的研究較少。

文獻(xiàn)[6]研究了復(fù)合材料層合板在均勻溫度場(chǎng)下和非均勻溫度場(chǎng)下的熱屈曲行為，并探討層合板的不同邊界條件、鋪層方向?qū)雍习迮R界屈曲溫度的影響；文獻(xiàn)[7]研究分析了在溫室條件下層合板結(jié)構(gòu)固有頻率變化情況；文獻(xiàn)[8]總結(jié)了等效單層理論、分層理論的優(yōu)點(diǎn)，提出了復(fù)合材料夾層板、層合板的分段剪切變形的基本理論；文獻(xiàn)[9]對(duì)新型雙曲殼復(fù)合夾層結(jié)構(gòu)的阻尼性能特性進(jìn)行了理論分析研究；文獻(xiàn)[10-11]研究并分析了溫度變化時(shí)對(duì)不同厚度層合板的臨界熱屈曲荷載影響以及纖維鋪設(shè)方向角度的變化、邊界條件的不同對(duì)層合復(fù)合材料板的臨界屈曲溫度的影響變化情況；文獻(xiàn)[12]在宏觀微觀模型下建立了濕熱效應(yīng)屈曲控制方程，分析研究了濕度和溫度對(duì)復(fù)合材料層合板屈曲行為，并研究了不同邊界條件和不同載荷條件對(duì)屈曲行為的影響規(guī)律；文獻(xiàn)[13]基于經(jīng)典的層合板理論分析研究了濕熱環(huán)境條件對(duì)復(fù)合材料層合板的彎曲性能、臨界屈曲溫度和振動(dòng)特性的影響；文獻(xiàn)[14]采用 Ravleigh-Ritz法分析研究了復(fù)合材料層合板在濕熱環(huán)境條件下的屈曲性能，在研究過程中同時(shí)考慮了材料的彈性性能及熱、濕性質(zhì)是隨著溫度和濕度變化而變化的規(guī)律；文獻(xiàn)[15]研究分析了增強(qiáng)層夾心復(fù)合材料板的熱屈曲特性、阻尼特性等；文獻(xiàn)[16]利用經(jīng)典馮·卡門平板理論和哈密頓原理推導(dǎo)得出復(fù)合材料層合板結(jié)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程、復(fù)合材料層合板臨界熱屈曲溫度公式，通過求解得到了層合板結(jié)構(gòu)固有頻率、阻尼比分布規(guī)律；文獻(xiàn)[17]分析研究了雙曲殼結(jié)構(gòu)的固有頻率以及環(huán)境溫濕變化對(duì)固有頻率的影響。

現(xiàn)在中外資料對(duì)層合板結(jié)構(gòu)的優(yōu)異性能和熱屈曲行為進(jìn)行了大量研究[18-20]，而對(duì)復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)的熱屈曲研究甚少。復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)在工程實(shí)踐中有廣泛的應(yīng)用，因此對(duì)復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)臨界熱屈曲溫度進(jìn)行分析計(jì)算，通過有限元BlockLanczos法計(jì)算其在均勻溫度場(chǎng)下鋪層厚度、邊界條件、纖維方向等因素對(duì)臨界熱屈曲溫度的影響，從而得出一些規(guī)律性研究。

1 理論分析

1.1 屈曲臨界溫度理論公式推導(dǎo)

復(fù)合材料層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的長度別為a、b、h。通過Von Karman經(jīng)典理論可以推出雙曲殼內(nèi)任一點(diǎn)(x,y,z)的應(yīng)變-位移關(guān)系：

ε=εm+εθ+zκ

(1)

式(1)中：εm、εθ代表應(yīng)變向量；κ代表曲率向量。通過振動(dòng)位移公式可以表示為

(2)

式(2)中：u、ν、ω分別是中標(biāo)系中的位移分量，是滿足運(yùn)動(dòng)條件的多項(xiàng)式，通過對(duì)雙曲殼上任意一點(diǎn)的應(yīng)力以及力沿厚度方向的積分，可以得到溫度場(chǎng)作用下的雙曲殼中任意一點(diǎn)合力向量N和合力力矩向量M：

(3)

(4)

(5)

式(5)中：R(k)、Q(k)分別可表示為

Q(k)=

溫度函數(shù)fΔt為

fΔt=Δtf(x,y)

(6)

隨著溫度差的不斷增加，雙曲殼的固有頻率降低。當(dāng)其頻率值為0時(shí)，殼發(fā)生屈曲，此時(shí)與溫度變化量Δtcr即為熱屈曲臨界溫度。如果溫度分布函數(shù)f(x,y,z)是一定的，可由式(7)、式(8)求解雙曲殼臨界屈曲溫度Δtcr：

(KL-λKT)X=0

(7)

式(7)中：KL表示結(jié)構(gòu)線性剛度矩陣；KT表示溫度的剛度矩陣。

雙曲殼臨界熱屈曲溫度Δtcr可由最小特征值λ0和初始值Δt0來表示：

Δtcr=λ0Δt0

(8)

雙曲殼運(yùn)動(dòng)方程的通解為

X(t)=X0eλl

(9)

式(9)中：λ和X0分別為系統(tǒng)的特征值和特征向量；t表示時(shí)間。

利用Block-Lanczos有限元分析法，分析層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的振動(dòng)特性，對(duì)空間區(qū)域離散分析，根據(jù)節(jié)點(diǎn)單元位移差值公式：

(10)

表述成矩陣如下：

(11)

1.2 雙曲殼結(jié)構(gòu)模型驗(yàn)證

雙曲殼結(jié)構(gòu)參數(shù)如下：彈性模量E1=125 GPa，E2=5 GPa；剪切模量G12=G13=2.5 GPa，G23=1 GPa，泊松比ν12=0.25，密度ρ=1 600 kg/m3，a/b=1，a/h=100，Rx=Ry=R，λ=[ωa2(ρ/E2h2)1/2]

四邊簡支條件下自由振動(dòng)無量綱基頻收斂情況如表1所示。

表1 文獻(xiàn)解與本文解的無量綱基頻

由表1可知，通過本文計(jì)算模型得到的復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)的無量綱基頻隨著Ry/b的增加而減小并且本文計(jì)算的雙曲殼結(jié)構(gòu)的無量綱基頻與文獻(xiàn)結(jié)果吻合度良好，誤差在3%以內(nèi)，從而驗(yàn)證了本文模型的正確性。文獻(xiàn)[17]使用的是Navier解法只適用于四邊簡支的邊界條件的求解；而本文所用Block-Lanczos法不僅適用于四邊簡支的邊界條件的求解，同時(shí)也適用于其他一些邊界條件求解，比如四邊固支等。

2 鋪層厚度對(duì)層合雙曲殼結(jié)構(gòu)臨界屈曲溫度的影響

層合雙曲殼結(jié)構(gòu)模型如圖1所示。層合雙曲殼結(jié)構(gòu)各層厚度為1、1、1 mm，弦長為0.4 m，半徑為0.5 m，圓心角為π/6，四邊簡支約束,各向異性的層合復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)各項(xiàng)參數(shù)：彈性模量E1=132 GPa，E2=10.3 GPa；剪切模量G12=G13=65 MPa，G23=3.91 GPa，泊松比ν12=0.25，密度ρ=1 570 kg/m3，熱膨脹系數(shù)α1=1.2×10-6℃-1，α2=2.4×10-5℃-1。

圖1 雙曲殼模型Fig.1 Model of doubly-curved shells

層合雙曲殼結(jié)構(gòu)采取三層鋪層，每層厚度從1 mm逐漸增加到3 mm。利用DEWESOFT模態(tài)測(cè)試儀采用單點(diǎn)激勵(lì)、多點(diǎn)拾振的方法進(jìn)行錘擊實(shí)驗(yàn)，研究不同厚度下層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的mode(1,1),mode(2,2)的臨界屈曲溫度的變化情況，詳見表2四邊簡支(SSSS)、四邊固支(CCCC)邊界條件下臨界屈曲溫度變化情況。

由表2和圖2可知，層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的厚度對(duì)臨界屈曲溫度影響非常大，弦長、半徑、包心角一定的情況下：四邊簡支條件下mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度呈上仰曲線變化，其中mode(2,2)上仰趨勢(shì)比mode(1,1)的上仰趨勢(shì)明顯，這表明四邊簡支邊界條件下層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的厚度對(duì)mode(2,2)臨界屈曲溫度比mode(1,1) 臨界屈曲溫度影響

表2 雙曲殼結(jié)構(gòu)中不同邊界條件下厚度對(duì)臨界屈曲溫度影響

圖2 厚度對(duì)臨界屈曲溫度影響Fig.2 Effect of thickness on critical buckling temperature

更加明顯；四邊固支條件下mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度呈直線變化，其中mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度隨厚度變化曲線斜率基本一致，這表明四邊固支邊界條件下層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的厚度對(duì)mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度影響基本一致。由上可見，無論是在四邊簡支還是四邊固支邊界條件下，層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度隨厚度的增加而提高，而且都變化非常明顯，因此在復(fù)合材料雙曲殼的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中可以增加厚度來提高臨界屈曲溫度。

3 不同邊界條件對(duì)層合雙曲殼結(jié)構(gòu)臨界屈曲溫度的影響

在保持復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)厚度不變的前提下，施加不同的邊界約束條件。利用Block-Lanczos分析法對(duì)雙曲殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，結(jié)果如表3所示。

表3 雙曲殼不同邊界條件下的臨界屈曲溫度

由表3可知，隨著邊界條件的不同，層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的臨界屈曲溫度值變化非常明顯。當(dāng)邊界條件為CCCC時(shí)，層合雙曲殼結(jié)構(gòu)mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度最高，而當(dāng)邊界條件為CFFF(F代表自由邊)時(shí)層合雙曲殼結(jié)構(gòu)mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度最低；固支或簡支邊數(shù)越多，臨界屈曲溫度越高；當(dāng)固支或簡支邊數(shù)相同時(shí)，則固支或簡支對(duì)稱約束時(shí)臨界屈曲溫度較高。因此雙曲殼結(jié)構(gòu)在邊界約束時(shí)，盡量選擇簡單明了的簡支或固支約束。

4 鋪層角度對(duì)層合雙曲殼結(jié)構(gòu)臨界屈曲溫度的影響

4.1 四邊簡支邊界條件下鋪設(shè)角度對(duì)臨界屈曲溫度影響

在保持復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)厚度不變的前提下，施加四邊簡支的邊界約束條件，通過改變鋪層角度。利用Block-Lanczos分析法對(duì)雙曲殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，結(jié)果如表4、圖3所示。

表4 四邊簡支邊界條件下不同鋪設(shè)角度的臨界屈曲溫度

圖3 四邊簡支邊界條件下鋪設(shè)角度-臨界屈曲溫度曲線Fig.3 Laying angle-critical buckling temperature curve under simply supported boundary conditions

由表4和圖3可知，在簡支條件下改變層合雙曲殼結(jié)構(gòu)基層、中間層，其mode(1,1)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而提高，在45°～90°隨著角度的增加而降低；同時(shí)改變基層、中間層變化規(guī)律與單獨(dú)改變基層、中間層相似；45°點(diǎn)是mode(1,1)臨界屈曲溫度最高點(diǎn)。

在簡支條件下改變層合雙曲殼結(jié)構(gòu)中間層，其mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而提高，在45°～90°隨著角度的增加而降低；改變基層，其mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而降低，在45°～90°隨著角度的增加而提高；同時(shí)改變基層、中間層時(shí)變化規(guī)律與改變基層相似，但相比于基層變化更明顯。45°點(diǎn)是mode(2,2)臨界屈曲溫度變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。

由此可知，在簡支條件下改變層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的各層鋪層角度，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度變化規(guī)律是不一致的，這對(duì)復(fù)合材料雙曲殼的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和實(shí)際應(yīng)用時(shí)，提供一定的參考。

4.2 四邊固支邊界條件下鋪設(shè)角度對(duì)臨界屈曲溫度影響

在保持復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)厚度不變的前提下，施加四邊固支的邊界約束條件，通過改變鋪層角度。利用Block-Lanczos分析法對(duì)雙曲殼結(jié)構(gòu)進(jìn)行求解，結(jié)果如表5、圖4所示。

表5 四邊固支邊界條件下不同鋪設(shè)角度的臨界屈曲溫度

圖4 四邊固支邊界條件下鋪設(shè)角度-臨界屈曲溫度曲線Fig.4 laying angle-critical buckling temperature curve under Fixed supported boundary conditions

由表5和圖4可知，在固支條件下改變層合雙曲殼結(jié)構(gòu)中間層，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而提高，在45°～90°隨著角度的增加而降低；改變基層，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度在0°～45°隨著角度的增加而降低，在45°～90°隨著角度的增加而提高；同時(shí)改變基層、中間層時(shí)變化規(guī)律與改變基層相似。45°點(diǎn)是mode(1,1)、mode(2,2)臨界屈曲溫度變化的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。由此可知，在固支條件下改變層合雙曲殼結(jié)構(gòu)的各層鋪層角度，其mode(1,1)、mode(2,2)的臨界屈曲溫度變化規(guī)律是基本一致、更加接近的，在固支條件下臨界屈曲溫度的變化規(guī)律比簡支條件下屈曲溫度的變化更見清晰。

5 總結(jié)

(1)四邊簡支或四邊固支邊界條件下，復(fù)合材料雙曲殼結(jié)構(gòu)的前兩階臨界屈曲溫度隨厚度的增加而提高，并且雙曲殼結(jié)構(gòu)厚度變化對(duì)臨界屈曲溫度影響非常明顯。

(2)邊界條件的不同，雙曲殼結(jié)構(gòu)的臨界屈曲溫度值也明顯不同，固支或簡支邊數(shù)越多，臨界屈曲溫度越高；當(dāng)固支或簡支邊數(shù)相同時(shí)，則固支或簡支對(duì)稱約束時(shí)臨界屈曲溫度較高。

(3)無論在簡支還是固支邊界條件下改變雙曲殼結(jié)構(gòu)的中間層鋪層角度，其前兩階的臨界屈曲溫度在0°～90°變化規(guī)律是一致的(變化曲線呈中間高兩側(cè)低的上凸曲線)，45°點(diǎn)附近是前兩階臨界屈曲溫度最高點(diǎn)。

(4)存在一個(gè)最佳鋪層角度，使雙曲結(jié)構(gòu)獲得一個(gè)最大的臨界屈曲溫度，因此在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)選用最優(yōu)角度值。