GPS高程擬合在公路斷面測量中的應(yīng)用

丁瑩瑩

(山東省國土測繪院，山東 濟(jì)南 250102)

線狀工程具有路線長、路面窄的特點(diǎn)[1]，在施工和竣工測量均需要繪制線路的縱橫斷面。傳統(tǒng)方法[2]采用RTK放樣道路中線，水準(zhǔn)采集斷面各點(diǎn)高程，但在地形復(fù)雜地區(qū)，水準(zhǔn)測量站數(shù)增加很多。而全站儀采集斷面高程，每次都要對中、整平且量儀器高。輕便型RTK操作簡單，在高程測量精度較高，但RTK采用的高程為大地高H，需要將H轉(zhuǎn)換成正常高h(yuǎn)，兩者之間的差異為高程異常ξ[2-4]。高程異常在地勢平坦區(qū)域，可以用常量校正。在地勢起伏較大區(qū)域，各點(diǎn)高程異常難以用常量表示[4-6]，現(xiàn)有的方法[2,4,7-8]有曲線擬合、平面擬合、二次曲面擬合等，不同的擬合方法適用于不同地形。本文結(jié)合現(xiàn)有的高程異常擬合方法，針對國道斷面測量要求，對沿線條帶區(qū)域的控制點(diǎn)進(jìn)行GPS高程轉(zhuǎn)換，為采用RTK數(shù)據(jù)采集方式代替水準(zhǔn)測量進(jìn)行論證分析。

1 GPS高程擬合方法與精度評定

1.1 平面擬合

平面擬合是指取若干個控制點(diǎn)的高程異常與對應(yīng)點(diǎn)的空間位置關(guān)系擬合成一個平面，具體表達(dá)式為

ξi=axi+byi+c

(1)

式中，ξi=Hi-hi；(xi,yi)為各點(diǎn)平面坐標(biāo)；a、b、c為擬合平面待求參數(shù)。

1.2 二次曲面擬合

二次曲面擬合是以曲面形式表示測區(qū)控制點(diǎn)高程異常與各點(diǎn)平面位置關(guān)系，具體表達(dá)式如下

(2)

1.3 多面函數(shù)擬合

多面函數(shù)擬合主要用多個規(guī)則的曲面勾勒出數(shù)學(xué)模型，在模型下計(jì)算各未知點(diǎn)的高程異常，利用RTK所求的大地高計(jì)算正常高。該模型下的任意一點(diǎn)高程異常可表示為

(3)

1.4 精度評定

采用內(nèi)符合精度、外符合精度和模型精度3個指標(biāo)進(jìn)行精度比較。把參與模型參數(shù)計(jì)算的控制點(diǎn)稱為轉(zhuǎn)換點(diǎn)，其余點(diǎn)稱為檢核點(diǎn)。內(nèi)符合精度指轉(zhuǎn)換點(diǎn)經(jīng)模型轉(zhuǎn)換后的高程異常與真值殘差的標(biāo)準(zhǔn)差。外符合精度指檢核點(diǎn)經(jīng)模型轉(zhuǎn)換得到的高程異常與真值殘差的標(biāo)準(zhǔn)差。模型精度指所有點(diǎn)經(jīng)模型轉(zhuǎn)換得到的高程異常與真值殘差的標(biāo)準(zhǔn)差。其基本計(jì)算公式為

(4)

式中，i為點(diǎn)數(shù)量；Δ為模型計(jì)算的高程異常與真值的殘差；[ΔΔ]為各點(diǎn)殘差的平方和。

2 實(shí)例計(jì)算

試驗(yàn)段的沿線長41 km、寬10 m，在其兩側(cè)布置41個四等水準(zhǔn)點(diǎn)，部分水準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)數(shù)據(jù)見表1。其中，模型轉(zhuǎn)換點(diǎn)點(diǎn)號分別為1、6、14、20、28、29、34、37、40、41，共計(jì)10個點(diǎn)。其余點(diǎn)作為模型檢核點(diǎn)。并選取點(diǎn)號為6、14、20、34、37、39作為多面函數(shù)轉(zhuǎn)換方法的核函數(shù)中心點(diǎn)。分別運(yùn)用3種擬合方法計(jì)算轉(zhuǎn)換模型系數(shù)和各點(diǎn)轉(zhuǎn)換殘差。經(jīng)計(jì)算，平面擬合模型參數(shù)a、b、c分別為-3.909 3、6.686 6和-611.178 4；二次曲面擬合模型參數(shù)A、B、C、D、E、F分別為-0.021 7、0.053 3、-0.003 8、-1.802 3、-5.036 6和-0.090 4；多面函數(shù)擬合模型參數(shù)k1～k6分別為-0.000 636、-0.000 198 7、-0.000 112、-0.000 036、-0.000 63和-0.001 2。平面擬合的內(nèi)符合精度為0.106 m、外符合精度為0.107 m，模型精度為0.108 m；二次曲面擬合的內(nèi)符合精度為0.106 m、外符合精度為0.108 m，模型精度為0.109 m；多面函數(shù)擬合的內(nèi)符合精度為1.514 m、外符合精度為0.705 m，模型精度為0.943 m。

表1 沿線水準(zhǔn)點(diǎn)坐標(biāo)

多面函數(shù)法在該條帶區(qū)域擬合殘差變化幅度較大，平面擬合與二次曲面擬合的高程異常殘差分布較為平緩，且殘差分布在10 cm。同時對比3種擬合方法的模型精度，平面擬合與二次曲面擬合在該區(qū)域GPS高程擬合精度一致，但仍不滿足實(shí)際工程在高程方向5 cm的精度要求。多面函數(shù)擬合模型精度0.943 m，遠(yuǎn)不能滿足實(shí)際工程需求。為此，選擇平面擬合方法通過剔除殘差較大的轉(zhuǎn)換點(diǎn)進(jìn)一步提高GPS高程擬合的精度。

剔除法的原理是根據(jù)首選轉(zhuǎn)換點(diǎn)的殘差，剔除最大殘差點(diǎn)的轉(zhuǎn)換點(diǎn)，然后利用剩余轉(zhuǎn)換點(diǎn)重復(fù)平面擬合，計(jì)算各轉(zhuǎn)換點(diǎn)的殘差，并剔除殘差最大的轉(zhuǎn)換點(diǎn)。重復(fù)上述步驟，直至殘差達(dá)到精度要求。根據(jù)剔除法原理，表2列出了剔除不同控制點(diǎn)后平面擬合各轉(zhuǎn)換點(diǎn)的殘差，表3列出了不同編號方案的內(nèi)符合精度、外符合精度和模型精度。

表2 剔除法轉(zhuǎn)換點(diǎn)平面擬合殘差 m

表3 剔除法不同方案的擬合精度 m

由表2與表3可知，不斷剔除殘差最大的轉(zhuǎn)換點(diǎn)可以有效提高平面擬合的內(nèi)符合精度，但外符合精度與模型精度在剔除一定的轉(zhuǎn)換點(diǎn)后，其精度改善不明顯。提出分區(qū)平面擬合方法，在1～27號G109路線采用編號5的方案實(shí)現(xiàn)GPS高程擬合，在27～40號G109路線采用編號2的方案實(shí)現(xiàn)GPS高程擬合，最終檢核點(diǎn)外符合精度為2.3 cm，最小值為-4.8 cm，最大值為4.3 cm，均值為-1.5 cm。

3 結(jié) 語

本文對比了3種擬合在條帶狀區(qū)域GPS高程轉(zhuǎn)換的適用性，平面擬合與二次曲面擬合更適用于條帶狀區(qū)域的GPS高程擬合，并進(jìn)一步研究了轉(zhuǎn)換點(diǎn)的選擇對平面擬合精度的影響。剔除殘差較大的轉(zhuǎn)換點(diǎn)可以不斷提高GPS高程擬合的內(nèi)符合精度，但外符合精度與模型精度改善不大。最終利用分區(qū)擬合的方法結(jié)合不同轉(zhuǎn)換點(diǎn)選擇方案，使得GPS高程外符合精度達(dá)到3 cm，從而滿足實(shí)際工程在高程方向5 cm精度要求。