反演導熱系數(shù)的計算方法在熱處理工藝的應用

張繼濤，趙麗民，鞏笑源

（1.精功（紹興）復合材料有限公司，浙江 紹興 312000；2.精功（紹興）技術(shù)研發(fā)有限公司，浙江 紹興 312000）

1 引言

目前國內(nèi)外致力于齒輪材料研究和熱處理工藝的優(yōu)化，而熱處理模擬技術(shù)點的關鍵在于理論模型的建立、實驗數(shù)據(jù)的準確提取、模擬設備和驗證技術(shù)的完善。早期，Davenpore 和Bain 在文章中研究TTT 曲線，也就是等溫轉(zhuǎn)變情況，組織轉(zhuǎn)變量和溫度、時間之間的關系，利用TTT 曲線預測組織轉(zhuǎn)變情況。但是實際生產(chǎn)當中，得到連續(xù)冷卻條件下的實際組織轉(zhuǎn)變和理論模型計算差別太大，TTT 曲線無法與實際生產(chǎn)相聯(lián)系[1]。70 年代初，Inoue 開始提出組織轉(zhuǎn)變數(shù)值模擬的概念[2]，利用Grange 和Kiefer 提出組織轉(zhuǎn)變曲線（CCT 曲線），將其作為組織轉(zhuǎn)變模擬的依據(jù)，CCT 曲線是描述不等溫冷卻過程的曲線，反映了各種組織轉(zhuǎn)變起始點對應的溫度以及轉(zhuǎn)變過程組織轉(zhuǎn)變量[3]。80 年代之后，理論上逐步完善相變模型，針對溫度場的非線性求解，人們引入有限元技術(shù)，這使得淬火模擬技術(shù)發(fā)展更進一步[4-6]。

反向熱傳導問題廣泛的應用于研究。由于實際工程問題的復雜性，求解熱傳導反問題所涉及的計算量也非常大，因而比求解正問題困難得多，如何求解該類問題吸引了眾多研究者的關注。反向熱傳導的特點：首先由于邊界熱流和換熱狀況是待預測的，故其數(shù)學定解問題是不適定的，因而嚴格來說是無定解的，或者是很難求解的[7]。然而在Deform-3d 軟件中卻很容易完成，在Deform-3d 中的最優(yōu)化算法是采用的共軛梯度法，而共軛梯度法在反向熱傳導最優(yōu)化算法的精確性是被前人所驗證的。所以基于Deform-3d 分析的反向熱傳導問題程序簡單節(jié)省時間并且結(jié)果可靠[8]。本文針對齒輪制變形大、表面完整性低、精度穩(wěn)定性低等問題，開展18CrNiMo7-6 齒輪材料殘余應力和熱處理變形演變機理研究，首先利用Deform 反傳熱模型首先假定表面換熱系數(shù)初值，通過導熱微分方程推算內(nèi)部溫度值，然后根據(jù)推算值與實驗測定值的差值不斷修正設定值，最終使推算值逼近測定值，求得表面換熱系數(shù)，用于熱處理數(shù)值計算中作為邊界條件，之后根據(jù)混合相的計算規(guī)則，基于優(yōu)化的硬度模擬模型，對滲碳淬火過程的硬度預測進行了研究，突破齒輪熱處理變形控制等關鍵技術(shù)，分析齒輪在不同熱處理工藝條件下組織與幾何尺寸變化規(guī)律。

2 熱處理理論基礎

滲碳-淬火過程的模擬可以看作是金屬-熱-機械耦合計算，整個模型包括四個部分：1）組織轉(zhuǎn)變分析，其中包含用于硬度預測的所有硬度計算方程式；2）滲碳過程分析，用于分析滲碳過程中碳的擴散；3）溫度場分析，主要用于分析整個過程中的熱傳導；4）相變動力學分析，研究滲碳淬火過程中的金相組織轉(zhuǎn)變規(guī)律。

2.1 熱傳導模型

在熱傳導過程中，假設材料各向同性，由于齒輪每個位置與空氣、冷卻液的對流換熱作用不一樣，導致齒輪溫度場的差異，采用傳導方程由公式（1）求解，其考慮材料相變釋放的潛熱[9]。

式中：ρ—材料密度；kt—熱傳導系數(shù)；Cp—熱容：ΔH—潛熱。

在加熱和滲碳過程中，齒輪表面熱傳遞滿足邊界條件[10]，由公式（2）所示：

式中：h—對流換熱系數(shù)；Te—齒輪加熱和滲碳過程的輪齒溫度；Ts—環(huán)境溫度。

2.2 相變模型

在進行熱處理前，斜齒輪的組織初相為鐵素體和珠光體，經(jīng)過奧氏體化階段，鐵素體和珠光體開始轉(zhuǎn)變?yōu)閵W氏體[11]，這一過程是擴散相變過程，在此階段齒輪表面的碳含量均一化，相變動力參數(shù)呈現(xiàn)為與溫度相關，簡化擴散公式為：

式中：βA—奧氏體體積分數(shù)；A、D—材料常數(shù)（分別取-4 和2）；Ae1、Ae3—分別是根據(jù)CCT 圖得到的組織轉(zhuǎn)變的上、下臨界溫度；T—齒輪滲碳過程中的輪齒溫度。

奧氏體化后，奧氏體經(jīng)過冷卻轉(zhuǎn)變?yōu)殍F素體、珠光體、貝氏體、馬氏體，運用Jmatpro 軟件，計算組織轉(zhuǎn)變溫度點如表1 所示。

表1 組織開始轉(zhuǎn)變臨界溫度點

在淬火之前模擬滲碳工藝，導致齒輪各部位碳濃度的非均質(zhì)分布，在冷卻和淬火過程中，奧氏體轉(zhuǎn)變?yōu)樽酉?，對應組織轉(zhuǎn)變是等溫相變，非擴散型相變服從麥基方程[13]，即式（4）：

式中：X—馬氏體轉(zhuǎn)變體積分數(shù)；Ms—馬氏體相變溫度；T—絕對溫度。

2.3 應力應變模型

熱-彈-塑性分析是熱處理仿真的計算的主要組成部分，熱處理殘余應力是工件經(jīng)過熱處理后最終殘存下來的應力，對工件的形狀尺寸和性能都有極為重要的影響，工件在加熱和冷卻的過程中，由于溫度差在熱脹冷縮的作用下產(chǎn)生熱應力，工件變形和位移是熱應力作用的結(jié)果，其計算由公式（5）所示：

式中：dεth—熱應變增量；dεe—彈性應變增量；dεp—塑性應變增量；dεtr—相變應變增量；dε—應變增量。

從材料的塑形性能考慮，其流動應力表達式為：

式中：T—齒輪溫度；Y—屈服強度；C—碳含量；H—硬化模量；—等效應變。

3 表面換熱系數(shù)的計算

圖為表面換熱系數(shù)的計算流程。Deform 反傳熱模型首先假定表面換熱系數(shù)初值，通過導熱微分方程推算內(nèi)部溫度值，然后根據(jù)推算值與實驗測定值的差值不斷修正設定值，最終使推算值逼近測定值，對于計算所得表面換熱系數(shù)的精度，可通過應用其所獲得的溫度預測值與實測值的對比判定。

圖1 表面換熱系數(shù)的計算流程

3.1 試驗方案及冷卻曲線

試驗設備采用自制末端噴油淬火試驗機。選用端淬試樣為帶臺階的圓柱體，在試樣的凸臺部位中心向里面用電火花打孔，中部和底部放置熱電偶。試樣尺寸和放熱電偶位置如圖2 所示。采用長2 m，直徑1 m 的鎳鉻-鎳硅熱電偶，經(jīng)標準熱電偶校驗，在0 ℃～1 000 ℃間該熱電偶的測量誤差為±2 ℃，動態(tài)響應時間為0.05 s，符合試驗精度要求。

圖2 噴油末端淬火試樣圖示

采用Deform 軟件的反傳熱模型求解表面換熱系數(shù)，并通過改變控制參數(shù)，分析其對溫度預測精度的影響。圖3 為反傳熱的冷卻曲線圖。在反傳熱問題中，將表面對流換熱系數(shù)作為優(yōu)化變量，測點溫度計算值與測量值之間的殘差作為優(yōu)化目標函數(shù)，通過極小化目標函數(shù)進行仿真，模型計算所用的實測溫度數(shù)據(jù)取自文獻[11]。

3.2 反傳熱模型的建立及求解

本文擬求解表面換熱系數(shù)關于溫度的函數(shù)，采用Linear 線性插值。對于非線性數(shù)值問題，Deform反傳熱模型采用BFGS 優(yōu)化算法控制，提高換熱系數(shù)的計算效率。采用Deform-3D 有限元分析軟件Inverse Heat Transfer 反傳熱模型，18CrNiMo7-6 圓柱體幾何模型通過x_t 格式導入Deform-3D，材料屬性通JMatPro、熱處理手冊及相關文獻確定。已知18CrNiMo7-6 圓柱體的淬火溫度860 ℃，淬火介質(zhì)溫度20 ℃.將實驗測得的圓柱體中心測溫點的溫度數(shù)據(jù)導入反傳熱模型。由于淬火過程中溫度變化劇烈，為提高計算效率，模型求解采用變時間步長0.001 s～10 s，每個時間步長的最大溫度變化為1 ℃.

圖3 反傳熱的冷卻曲線圖

圖4 表面換熱系數(shù)

4 齒輪滲碳淬火過程的數(shù)值模擬

4.1 滲碳淬火模型的建立

表面改性技術(shù)與工藝作為改善齒輪表面完整性的關鍵措施，是提高材料和齒輪使用性能的核心和關鍵，滲碳淬火是常用的表面改性技術(shù)，可以提高齒輪表面硬度，具有良好的綜合力學性能，可滿足齒輪的較多技術(shù)要求，而表面淬火可以提高疲勞強度和耐磨性并保持芯部韌性。圖5 為料齒輪熱處理工藝流程圖。齒輪熱處理選擇優(yōu)質(zhì)的生產(chǎn)工藝材料，可以保證齒輪獲得優(yōu)良熱處理質(zhì)量、防止產(chǎn)生熱處理缺陷。

圖5 斜齒輪熱處理工藝流程圖

4.2 材料屬性和相關參數(shù)

對鋼鐵材料齒輪進行適當熱處理，其目的是為了能夠提高鋼鐵的使用壽命、充分發(fā)揮材料的優(yōu)良性能，同時也能夠提高齒輪表面質(zhì)量，改善鋼材的加工性能。18CrNiMo7-6 作為一種廣泛使用的結(jié)構(gòu)鋼，本文將其作為齒輪材料，分析齒輪在滲碳淬火工藝組織性能與幾何尺寸變化規(guī)律，其化學成分見表2.

表2 18CrNiMo7-6 低碳合金鋼的化學成分（質(zhì)量分數(shù)，%）

熱物性參數(shù)有：熱導率、密度和定壓比熱。一般來說這些參數(shù)并不是常數(shù)，是隨材料的組織狀態(tài)和溫度而變化的，因此也是隨時間的變化而變化。在計算濃度分布時需要材料的擴散系數(shù)。定壓比熱容和熱導率隨溫度變化曲線分別如圖6、圖7 所示。

圖6 比熱容隨溫度變化曲線

4.3 邊界條件的設定

根據(jù)試樣的端部淬火，本文選用反演的表面換熱系數(shù)作為溫度場模擬的邊界條件。

5 齒輪熱處理數(shù)值模擬結(jié)果分析

DEFORM 是在一個集成環(huán)境內(nèi)綜合建模、成形、熱傳導和成形特性進行模擬仿真分析。本文使用熱處理仿真軟件DEFORM 模擬斜齒輪滲碳淬火工藝，計算流程如圖8 所示。

5.1 表面力分析

表面擴張力、表面區(qū)域是表面力分析的主要環(huán)節(jié)，見圖9.分析圖9 a），表面擴張力指表面的承載能力，針對齒輪容易形成裂紋，由于熱脹冷縮的原因，致使齒輪在不同工藝過程的向外擴張的能力是不同的，輪齒最薄處表面擴張力最大。分析圖9b），表面區(qū)域是指單齒在加熱和冷卻的過程中，其表面受力不相同的區(qū)域。

圖8 滲碳淬火計算流程

圖9 表面力分析

圖10 碳元素分布云圖

5.2 碳元素分布

滲碳齒輪可以得到高的表面硬度和韌性的芯部，具有良好的綜合力學性能，燒透還原、強滲過程和降溫擴散是齒輪滲碳的三個過程[12]。圖10 為滲碳處理后碳元素分布圖。

由圖10 可知，滲碳過程的每個階段結(jié)束后的碳含量分布是不一樣的，經(jīng)過燒透還原、強滲碳和降溫擴散后，滲碳后碳元素含量滿足齒頂＞齒面＞齒根的規(guī)律，齒輪均勻滲碳，為之后的工藝制定提供良好的基礎。

圖11 碳淬火流程中碳元素的含量

圖11 反映了整個滲碳淬火工藝過程中碳含量分布，隨時間變化碳元素分布因位置不同而不同，圖11b）表示不同深度的碳含量，齒頂?shù)奶己渴亲罡叩模哂谄渌课?，齒面與齒輪底面碳元素分布一樣，齒根由于特殊的幾何形狀，碳原素擴散速率較低，導致齒根的碳含量最低。

圖12 齒輪滲碳淬火溫度云圖

圖13 齒輪滲碳淬火溫度分布

5.3 溫度場分布

圖12a）、b）分別為淬火10 s 和100 s 時斜齒輪溫度場。分析可知，齒面由于冷卻速率快而溫度下降快，齒輪底面與齒面溫度下降速率相當。

圖13 為斜齒輪不同部位溫度隨時間變化曲線圖，由于齒面、齒頂?shù)睦鋮s速率快，所以齒頂溫度下降速度最快；而冷卻介質(zhì)無法直接到達齒輪芯部齒輪，齒根和輪齒芯部由于冷卻速率的特性，齒輪的溫度下降趨勢變緩慢。

5.4 組織場分布

在淬火之前模擬滲碳工藝，導致齒輪各部位碳濃度的非均質(zhì)分布，在冷卻和淬火過程中，奧氏體轉(zhuǎn)變?yōu)樽酉?，對應組織轉(zhuǎn)變是等溫相變。由表2 可知，馬氏體的形成主要由輪齒含碳量和冷卻速率影響，而馬氏體的含量決定齒輪硬度，分析滲碳淬火后輪齒的性能，見圖14.

圖14 斜齒輪組織分布

表3 齒輪整體的馬氏體與硬度數(shù)值

由圖14 可知，由于冷卻速率的特性，齒輪表面冷卻速率快，馬氏體在齒輪轉(zhuǎn)變積累多，因而含量相對較高；而芯部通過熱傳導散熱冷卻速率低，淬火形成的馬氏體少，最終形成齒輪表面硬度高而芯部保持人性。滲碳淬火結(jié)束時，齒輪整體的馬氏體與硬度數(shù)值布如表3 所示。

5.5 應力與應變

熱處理殘余應力是工件經(jīng)過熱處理后最終殘存下來的應力，對工件的形狀尺寸和性能都有極為重要的影響，工件在加熱和冷卻的過程中，由于溫度差在熱脹冷縮的作用下產(chǎn)生熱應力，工件變形和位移是熱應力作用的結(jié)果，圖15 為斜齒輪切應力曲線圖。

圖15 斜齒輪切應力曲線圖

圖16 斜齒輪熱畸變圖

在淬火前期時，輪齒表面呈現(xiàn)拉應力狀態(tài)，芯部呈現(xiàn)壓應力狀態(tài)。這是因為表面降溫速率遠高于芯部，齒輪表層冷卻較快，齒面因收縮產(chǎn)生拉應力，芯部溫度較高，阻礙表層組織收縮，而呈現(xiàn)壓應力狀態(tài)。在此之后溫度的快速下降，在100 s 左右達到穩(wěn)態(tài)，齒頂、齒面呈現(xiàn)壓應力，大小分別為380 MPa、240 MPa，輪齒芯部呈現(xiàn)拉應力為180 MPa.

圖16 為斜齒輪熱畸變圖。由圖16 可知，在輪齒根部和中部齒頂處明顯存在較大的熱畸變。齒頂產(chǎn)生鼓形變形，這是因為齒輪中部相對散熱慢，在熱應力的作用下呈現(xiàn)中部凸起。

6 結(jié)論

本文基于反向熱傳導問題，利用Deform 反傳熱模型首先假定表面換熱系數(shù)初值，通過導熱微分方程推算內(nèi)部溫度值，然后根據(jù)推算值與實驗測定值的差值不斷修正設定值，最終使推算值逼近測定值，求得表面換熱系數(shù)，在熱處理數(shù)值計算中作為邊界條件，使用專業(yè)模擬軟件Jmatpro 預測低碳鋼18CrNiMo7-6 的材料性能，然后導入Deform 軟件對斜齒輪滲碳淬火熱處理，仿真結(jié)束得到齒輪碳元素分布云圖、溫度場、組織場、應力場和齒面對應位置硬度，得到以下結(jié)論：

1）滲碳后碳元素含量滿足齒頂、齒面、齒根依次下降的規(guī)律，滲碳后進行淬火工藝，由于碳含量的分布情況，表面硬度和殘余應力也符合相應的規(guī)律。

2）齒輪滲碳淬火后得到表面碳含量高、芯部含量低，達到了表面硬化、芯部保持韌性，從而達到提高疲勞強度和耐磨性，并且保持芯部韌性的優(yōu)良綜合性能。

3）由于金相組織變化和熱應力的綜合疊加結(jié)果，在淬火前期時，輪齒表面呈現(xiàn)拉應力狀態(tài)，芯部呈現(xiàn)壓應力狀態(tài)。在此之后溫度快速下降，在100 s左右達到穩(wěn)態(tài)，齒頂、齒面呈現(xiàn)為380 MPa、240 MPa壓應力，輪齒芯部呈現(xiàn)拉應力為180 MPa.

結(jié)果表明，Deform 軟件可以反演具有函數(shù)形式的導熱系數(shù)，由此證明，本文提出的基于Deform 反演系數(shù)隨溫度變化的導熱系數(shù)的預測模型具有較高的精度，并且方法簡單，易于實現(xiàn)，可廣泛應用于各類材料的導熱系數(shù)的預測，對材料研究以及用于加工零件的材料性能的后續(xù)研究具有良好的借鑒意義。由于物理實驗條件匱乏，本文只進行了仿真虛擬實驗，實際上，為了更準確的預測材料的導熱系數(shù)，理論模型和仿真模型都應更貼合實際，有條件還應進行物理實驗驗證。其次，文中忽略了環(huán)境溫度的變化對測點溫度的測量值的影響，這些都有待今后的進一步研究。