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    微積分思想在靜電場問題建模中的作用初探

    2020-07-31 09:36田永輝肖恢芙趙婷
    物理教學(xué)探討 2020年6期
    關(guān)鍵詞:庫侖定律物理模型靜電場

    田永輝 肖恢芙 趙婷

    摘 ? 要:微積分是科學(xué)史上最偉大的發(fā)明之一,在許多科學(xué)與工程中,尤其是物理學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。利用微積分思想建立物理模型,不但方便解決相關(guān)問題,而且對理解其中相關(guān)的物理內(nèi)涵有很大的幫助。文章以靜電場問題為例,從最基本的庫侖定律出發(fā),求解點電荷周圍產(chǎn)生的電場,然后利用微積分思想解決體電荷分布的靜電場求解問題,著重強調(diào)微積分思想對物理模型的建立及物理圖像理解的重要性,從而把較為抽象、復(fù)雜的物理問題簡單化、直觀化,培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力,實現(xiàn)物理核心素養(yǎng)教學(xué)的目的。

    關(guān)鍵詞:物理模型;微積分;靜電場;庫侖定律

    中圖分類號:G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼:A ? ?文章編號:1003-6148(2020)6-0078-3

    微積分是十七世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一,微積分的出現(xiàn)也極大地推動了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展,尤其是在物理學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛,例如求解變加速問題,任意電荷分布的靜電場問題,流體流速問題。可以說,在物理學(xué)領(lǐng)域微積分思想無處不在。利用微積分思想建立物理模型不但可使問題求解變得簡單,而且可以把較為抽象的、復(fù)雜的物理問題簡單化、直觀化,更方便學(xué)生理解、接受。本文以靜電場為例,說明微積分思想在物理模型建立過程中的作用。

    當(dāng)然,這只是我們?yōu)榱搜芯糠奖?,根?jù)庫侖定律建立了一個理想的點電荷模型,從而很方便地求解點電荷周圍的電場分布情況。物理教學(xué)可以讓學(xué)生認(rèn)識自然界中的物理現(xiàn)象,并掌握其中的物理內(nèi)涵,從而實現(xiàn)在工程中的應(yīng)用。而實際上,真正理想的點電荷是不存在。例如,一個半徑為r的均勻帶電球體在其周圍產(chǎn)生的電場情況是怎么樣的呢?當(dāng)然,這里如果半徑r遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于所考慮的空間尺寸,此時r可以認(rèn)為是一個無窮小量,也就是該均勻帶電球體可以看成一個點電荷,這也就是微積分的思想。當(dāng)然,如果r相對于所考慮的空間尺寸不可忽略,這時我們就要考慮球體尺寸對所求解問題的影響,因為這種情況偏離了庫侖定律成立的條件,無法直接利用庫侖定律建立的點電荷模型求解電場問題。

    這里可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考這種偏離庫侖定律成立條件問題的靜電場求解問題。給學(xué)生提出問題,讓學(xué)生深入思考可能的解決辦法,讓學(xué)生帶著疑問繼續(xù)下面的課堂學(xué)習(xí)。如提出問題:

    (1)如果帶電小球的體積不能忽略,如何求解帶電小球周圍的電場情況?

    (2)對于任意幾何形狀的體電荷分布的靜電場問題如何求解?

    顯然,以上的問題無法直接應(yīng)用庫侖定律解決,但是庫侖定律又是解決靜電場問題之根本。因此,可以利用庫侖定律并借助數(shù)學(xué)——微積分建立合適的物理模型,從而把所要求解的問題簡單化、直觀化,使問題得到解答。

    2 ? ?真空中多個點電荷系統(tǒng)的靜電場求解

    回答以上問題實際上就是體電荷分布的靜電場求解問題。在討論該問題之前,我們首先討論多個點電荷系統(tǒng)的靜電場求解問題。

    例如,如果真空中有兩個點電荷Q1、Q2(如圖2所示),如何求解空間中某一點P處的電場?

    因為電場的疊加原理學(xué)生是清楚的,這里可以直接利用場的線性疊加原理求解點P處的電場。也就是說,點P處的電場是點電荷Q1在點P處產(chǎn)生的電場E1(r)與點電荷Q2在點P處產(chǎn)生的電場E2(r)的矢量和E1(r)+E2(r)。

    庫侖定律是一個實驗定律,利用庫侖定律可以方便、直觀地解釋日常生活中經(jīng)常遇到的一些靜電現(xiàn)象。因此,對學(xué)生而言從庫侖定律出發(fā)求解點電荷系統(tǒng)在其周圍產(chǎn)生的電場情況相對較為容易接受,但是如何從點電荷系統(tǒng)過渡到體電荷系統(tǒng)是一個棘手的問題。因為對于體電荷分布系統(tǒng),產(chǎn)生電場的源(場源)的幾何尺寸不能忽略,但是在考慮場源幾何尺寸效應(yīng)的情況下,又無法直接利用庫侖定律求解其周圍的靜電場問題。因此,這里可以首先利用微積分思想把連續(xù)的體電荷分布離散化,然后過渡到點電荷系統(tǒng),而點電荷系統(tǒng)的靜電場求解問題相對就較為容易了[4-6]。

    3 ? ?真空中體電荷分布的靜電場求解

    如圖3所示,一個任意的帶電體,其體電荷密度為ρv,求其周圍的電場分布情況。顯然,這個問題不能直接利用庫侖定律求解。我們可以利用微積分思想建立點電荷模型,然后再利用庫侖定律求解。首先,把這個體電荷離散為無數(shù)多個小的體電荷,每個體電荷的體積為dvi,根據(jù)體電荷的密度可知,該小體電荷所包含的電量為ρvdvi,這里dvi認(rèn)為是一個體微分元,即其體積趨向于零,但永遠(yuǎn)不等于零,那么這個小體電荷微分元就退化為了一個點電荷(只有電量,沒有幾何尺寸)。根據(jù)單個點電荷在空間任意位置P處產(chǎn)生的電場可知:這個體電荷微分元在任意位置P處產(chǎn)生的電場為Ei(r),因為我們把這個體電荷離散為無窮多個體電荷微分元,這個體電荷周圍的電場是由這無窮多個體電荷微分元共同作用的結(jié)果,而每個體電荷微分元又可以看成一個點電荷(電量為ρvdvi),因此該問題就轉(zhuǎn)化為真空中無窮多個點電荷系統(tǒng)求解其周圍靜電場問題。

    4 ? ?總 ?結(jié)

    本文著重強調(diào)微積分思想在物理理論模型的建立、物理圖像的認(rèn)知及物理本質(zhì)的理解等方面的重要性。為了說明這個問題,本文從標(biāo)準(zhǔn)的點電荷模型出發(fā),利用庫侖定律求解其周圍的靜電場分布問題,然后利用微積分思想把體電荷分布離散化為無窮多個點電荷分布,從而建立了由無窮多個點電荷組成的體電荷模型,使得原本不滿足庫侖定律條件的靜電場問題得到解答。

    《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》中提出的物理學(xué)科核心素養(yǎng)之一便是科學(xué)思維,建立物理模型是科學(xué)思維和科學(xué)探究的重要組成部分。本文通過微積分思想在物理理論模型建立過程中應(yīng)用的討論,力圖讓職前教師對數(shù)學(xué)方法在物理建模中的作用有更深入的理解,從而提升職前教師的建模能力,提升物理教師的教學(xué)素養(yǎng)。

    參考文獻(xiàn):

    [1]程守珠,江之永.普通物理學(xué)上冊[M].北京:高等教育出版社,2006.

    [2]張三慧.大學(xué)物理學(xué)第三冊[M].北京:清華大學(xué)出版社,1999.

    [3]詹煜,張成義.大學(xué)物理教程(下冊)[M].北京:科學(xué)出版社,2011.

    [4]馮慈璋,馬西奎. 工程電磁場導(dǎo)論[M].北京:高等教育出版社,2011.

    [5]郭泓昊,張雅男,李慶芳.疊加法求均勻帶電球體電場問題[J].物理與工程,2018(1):119-122.

    [6]賈秀敏.均勻帶電圓環(huán)片的空間靜電場分布[J].物理與工程,2014(2):54-55.

    [7]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)系. 高等數(shù)學(xué)上冊[M].北京:高等教育出版社,2007.

    (欄目編輯 ? ?李富強)

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