微積分思想在靜電場問題建模中的作用初探

田永輝 肖恢芙 趙婷

摘 ? 要：微積分是科學(xué)史上最偉大的發(fā)明之一，在許多科學(xué)與工程中，尤其是物理學(xué)科中有著廣泛的應(yīng)用。利用微積分思想建立物理模型，不但方便解決相關(guān)問題，而且對理解其中相關(guān)的物理內(nèi)涵有很大的幫助。文章以靜電場問題為例，從最基本的庫侖定律出發(fā)，求解點電荷周圍產(chǎn)生的電場，然后利用微積分思想解決體電荷分布的靜電場求解問題，著重強調(diào)微積分思想對物理模型的建立及物理圖像理解的重要性，從而把較為抽象、復(fù)雜的物理問題簡單化、直觀化，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，實現(xiàn)物理核心素養(yǎng)教學(xué)的目的。

關(guān)鍵詞：物理模型;微積分;靜電場;庫侖定律

中圖分類號：G633.7 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A ? ?文章編號：1003-6148（2020）6-0078-3

微積分是十七世紀(jì)最偉大的發(fā)明之一，微積分的出現(xiàn)也極大地推動了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，尤其是在物理學(xué)領(lǐng)域應(yīng)用非常廣泛，例如求解變加速問題，任意電荷分布的靜電場問題，流體流速問題。可以說，在物理學(xué)領(lǐng)域微積分思想無處不在。利用微積分思想建立物理模型不但可使問題求解變得簡單，而且可以把較為抽象的、復(fù)雜的物理問題簡單化、直觀化，更方便學(xué)生理解、接受。本文以靜電場為例，說明微積分思想在物理模型建立過程中的作用。

當(dāng)然，這只是我們?yōu)榱搜芯糠奖?，根?jù)庫侖定律建立了一個理想的點電荷模型，從而很方便地求解點電荷周圍的電場分布情況。物理教學(xué)可以讓學(xué)生認(rèn)識自然界中的物理現(xiàn)象，并掌握其中的物理內(nèi)涵，從而實現(xiàn)在工程中的應(yīng)用。而實際上，真正理想的點電荷是不存在。例如，一個半徑為r的均勻帶電球體在其周圍產(chǎn)生的電場情況是怎么樣的呢？當(dāng)然，這里如果半徑r遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于所考慮的空間尺寸，此時r可以認(rèn)為是一個無窮小量，也就是該均勻帶電球體可以看成一個點電荷，這也就是微積分的思想。當(dāng)然，如果r相對于所考慮的空間尺寸不可忽略，這時我們就要考慮球體尺寸對所求解問題的影響，因為這種情況偏離了庫侖定律成立的條件，無法直接利用庫侖定律建立的點電荷模型求解電場問題。

這里可以引導(dǎo)學(xué)生深入思考這種偏離庫侖定律成立條件問題的靜電場求解問題。給學(xué)生提出問題，讓學(xué)生深入思考可能的解決辦法，讓學(xué)生帶著疑問繼續(xù)下面的課堂學(xué)習(xí)。如提出問題：

（1）如果帶電小球的體積不能忽略，如何求解帶電小球周圍的電場情況？

（2）對于任意幾何形狀的體電荷分布的靜電場問題如何求解？

顯然，以上的問題無法直接應(yīng)用庫侖定律解決，但是庫侖定律又是解決靜電場問題之根本。因此，可以利用庫侖定律并借助數(shù)學(xué)——微積分建立合適的物理模型，從而把所要求解的問題簡單化、直觀化，使問題得到解答。

2 ? ?真空中多個點電荷系統(tǒng)的靜電場求解

回答以上問題實際上就是體電荷分布的靜電場求解問題。在討論該問題之前，我們首先討論多個點電荷系統(tǒng)的靜電場求解問題。

例如，如果真空中有兩個點電荷Q1、Q2（如圖2所示），如何求解空間中某一點P處的電場？

因為電場的疊加原理學(xué)生是清楚的，這里可以直接利用場的線性疊加原理求解點P處的電場。也就是說，點P處的電場是點電荷Q1在點P處產(chǎn)生的電場E1（r）與點電荷Q2在點P處產(chǎn)生的電場E2（r）的矢量和E1（r）+E2（r）。

庫侖定律是一個實驗定律，利用庫侖定律可以方便、直觀地解釋日常生活中經(jīng)常遇到的一些靜電現(xiàn)象。因此，對學(xué)生而言從庫侖定律出發(fā)求解點電荷系統(tǒng)在其周圍產(chǎn)生的電場情況相對較為容易接受，但是如何從點電荷系統(tǒng)過渡到體電荷系統(tǒng)是一個棘手的問題。因為對于體電荷分布系統(tǒng)，產(chǎn)生電場的源（場源）的幾何尺寸不能忽略，但是在考慮場源幾何尺寸效應(yīng)的情況下，又無法直接利用庫侖定律求解其周圍的靜電場問題。因此，這里可以首先利用微積分思想把連續(xù)的體電荷分布離散化，然后過渡到點電荷系統(tǒng)，而點電荷系統(tǒng)的靜電場求解問題相對就較為容易了[4-6]。

3 ? ?真空中體電荷分布的靜電場求解

如圖3所示，一個任意的帶電體，其體電荷密度為ρv，求其周圍的電場分布情況。顯然，這個問題不能直接利用庫侖定律求解。我們可以利用微積分思想建立點電荷模型，然后再利用庫侖定律求解。首先，把這個體電荷離散為無數(shù)多個小的體電荷，每個體電荷的體積為dvi，根據(jù)體電荷的密度可知，該小體電荷所包含的電量為ρvdvi，這里dvi認(rèn)為是一個體微分元，即其體積趨向于零，但永遠(yuǎn)不等于零，那么這個小體電荷微分元就退化為了一個點電荷（只有電量，沒有幾何尺寸）。根據(jù)單個點電荷在空間任意位置P處產(chǎn)生的電場可知：這個體電荷微分元在任意位置P處產(chǎn)生的電場為Ei（r），因為我們把這個體電荷離散為無窮多個體電荷微分元，這個體電荷周圍的電場是由這無窮多個體電荷微分元共同作用的結(jié)果，而每個體電荷微分元又可以看成一個點電荷（電量為ρvdvi），因此該問題就轉(zhuǎn)化為真空中無窮多個點電荷系統(tǒng)求解其周圍靜電場問題。

4 ? ?總 ?結(jié)

本文著重強調(diào)微積分思想在物理理論模型的建立、物理圖像的認(rèn)知及物理本質(zhì)的理解等方面的重要性。為了說明這個問題，本文從標(biāo)準(zhǔn)的點電荷模型出發(fā)，利用庫侖定律求解其周圍的靜電場分布問題，然后利用微積分思想把體電荷分布離散化為無窮多個點電荷分布，從而建立了由無窮多個點電荷組成的體電荷模型，使得原本不滿足庫侖定律條件的靜電場問題得到解答。

《普通高中物理課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》中提出的物理學(xué)科核心素養(yǎng)之一便是科學(xué)思維，建立物理模型是科學(xué)思維和科學(xué)探究的重要組成部分。本文通過微積分思想在物理理論模型建立過程中應(yīng)用的討論，力圖讓職前教師對數(shù)學(xué)方法在物理建模中的作用有更深入的理解，從而提升職前教師的建模能力，提升物理教師的教學(xué)素養(yǎng)。

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（欄目編輯 ? ?李富強）