尋找題根搭支架 積累經(jīng)驗(yàn)通思路

沈岳夫

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾說過“掌握數(shù)學(xué)就意味著擅于解題”。數(shù)學(xué)教學(xué)。從某種意義上說就是解題教學(xué)，而在實(shí)際數(shù)學(xué)解題過程中，師生在解決幾何類問題時(shí)常常不知所措。因此。教師在備課時(shí)應(yīng)圍繞試題的核心知識(shí)。從不同視角分析圖形。找準(zhǔn)切入點(diǎn)（題根），梳理關(guān)聯(lián)線，搭建“思維腳手架”。便可“借梯”拾級(jí)而上。現(xiàn)以一道周周清測試題為例。做一些有益的探索。供大家參考。

1 試題背景及分析

在期末《圓的基本性質(zhì)》等相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的微專題復(fù)習(xí)時(shí)，筆者在周周清的單元檢測時(shí)。遴選了如下一道試題：

試卷批閱后。筆者發(fā)現(xiàn)這道題的得分率較低。尤其是第（2）問的第②小題做得很差，更不要說第（3）問了。本題源于寧波市鄞州區(qū)的一道期末考試題。該題既考查了圓的基本知識(shí)。又考查了相似三角形和解直角三角形等知識(shí)，滲透了轉(zhuǎn)化思想和方程思想，是一道融圓與解直角三角形于一體的綜合性問題。思維含量較大。

講評(píng)試卷前，筆者特別對(duì)第（2）問的第②小題做了進(jìn)一步的調(diào)查。發(fā)現(xiàn)學(xué)生“卡殼”有兩處：一是角的轉(zhuǎn)化，如何用等弧或同弧所對(duì)圓周角相等，尋找等角;二是添加輔助線，如何通過三角形相似或全等，求出CF。BF的長。針對(duì)學(xué)生在解題時(shí)出現(xiàn)的“卡殼”現(xiàn)象，在試卷講評(píng)時(shí)，筆者對(duì)這道題做了如下處理，望得到同行的指正。

2 教學(xué)片斷回放

2.1 追本溯源。由淺入深

師：同學(xué)們，老師先給出兩個(gè)題目，你們一定很熟悉吧，請(qǐng)你們回憶思考一下。

師：那么試題中的第（1）問不是解決了嗎？其實(shí)命題者往往以教材例、習(xí)題的圖形為根，抓住核心條件適當(dāng)變式而成為新的試題，因此，同學(xué)們對(duì)課本的經(jīng)典例（習(xí)）題要研深、研透。

師：剛才我們復(fù)習(xí)了課本中的兩個(gè)題目，接下去我們一起來看問題3.

師：（用微笑給予鼓勵(lì)）很好，這個(gè)學(xué)生回答得不錯(cuò)！同學(xué)們，通過這幾個(gè)題目的練習(xí)，你收獲了什么？誰能談?wù)劊?/p>

生2：在以圓為背景的試題中，要證角相等或找三角形相似時(shí)，一般可以采?。簩ふ摇?”字型或“A”字型基本圖形，如△DQC～△AQB：或?qū)ふ彝』虻然∷鶎?duì)的圓周角相等，如△PDB～△PCA：或利用圓內(nèi)接四邊形的圓外角等于圓內(nèi)對(duì)角。如△PDC～△PBA，等等。

師：（笑笑看著生2）很好，在平時(shí)解決問題的過程中，我們要善于總結(jié)、提煉、建模，通過解部分題掌握一類題，達(dá)到觸類旁通之效。

設(shè)計(jì)意圖 問題是思維的起點(diǎn)。巧設(shè)題組。層層推進(jìn)，由表（題根）及里（問題串），將學(xué)生淺顯易懂的知識(shí)進(jìn)行剝離，表象知識(shí)內(nèi)隱化，去表存真，探本求源，幫助學(xué)生找到思維的原點(diǎn)（題根）。由此可見，我們要通過學(xué)生熟悉的習(xí)題下手，將問題合理變式，化題為型，串題成鏈，織題成網(wǎng)，讓課本例題、習(xí)題成為鞏固知識(shí)、發(fā)展能力、掌握思想的重要渠道，真正實(shí)現(xiàn)思維品質(zhì)的提升。

2.2 引領(lǐng)思維，拾級(jí)而上

師：剛才我們解決了3個(gè)問題，如果老師再改變題目條件，請(qǐng)大家繼續(xù)探究：

師：真棒！我們通過相似關(guān)系已經(jīng)求得了如BP，DP線段的長度，這對(duì)探求△DPE的面積很有幫助，那△DPE的面積又如何求呢？

師：很好，板演的學(xué)生已經(jīng)掌握了會(huì)用轉(zhuǎn)化思想來解決問題。當(dāng)我們遇到求三角形面積時(shí)，不妨采取直接法（如公式法）和間接法（相似法，等積法，等高或等底法，和差法等），這是求面積類問題的常用方法，特別是間接法，同學(xué)們一定要善于總結(jié)，好好歸納，并會(huì)靈活運(yùn)用。

師：剛才我們已經(jīng)解決了問題4.那么題目中的第（2）問的第①小題又該如何解決？

（學(xué)生立即議論起來）

師：很好！同學(xué)們，那第（2）問的第②小題又該如何解決？

師：（用敬佩眼光）生8的方法也不錯(cuò)！你是一個(gè)善于捕捉問題前后關(guān)聯(lián)的學(xué)生。

師：嗯，這3位學(xué)生從不同的視角解決問題，生6重在于構(gòu)造垂徑定理的基本圖形，生7重在于構(gòu)造“手拉手”旋轉(zhuǎn)全等模型，生8重在于借助公共直角邊建立方程。這3種解法都是常用的解題通法，同學(xué)們要多加體悟、多加積累！其實(shí)，此題還有其他解法，同學(xué)們課后再去探索一下。

師：剛才我們解決了第（2）問。那么題目中的第（3）問又該如何解決？能否從問題4受到啟發(fā)？

（學(xué)生立即議論起來）

至此，學(xué)生通過交流、碰撞、探究尋找到解決問題的方法。

設(shè)計(jì)意圖 通過問題4的鋪墊，深化思維。順應(yīng)學(xué)生的思維軌跡，巧設(shè)階梯型問題，通過師生對(duì)話，啟迪學(xué)生的思維，化解了原題的難點(diǎn)——求三角函數(shù)值和面積差問題，促進(jìn)了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的深度理解，激發(fā)了學(xué)生思維發(fā)展的內(nèi)部動(dòng)機(jī)。讓學(xué)生在對(duì)話和思維的碰撞中提升思維能力，活化所學(xué)知識(shí)，內(nèi)化思維技能。讓學(xué)生在探究的過程中既掌握所學(xué)知識(shí)和技能，又感知知識(shí)的本質(zhì)，積累思維和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，形成和發(fā)展核心素養(yǎng)，讓不同思維層次的學(xué)生更上一個(gè)思維臺(tái)階。

3 解題感悟

由此看來，應(yīng)用從特殊到一般，小步跨，大步變的基本策略，將綜合題轉(zhuǎn)化為基本問題，解出基礎(chǔ)題，是解答綜合題的關(guān)鍵。具體要抓好如下環(huán)節(jié)：

3.1 關(guān)注題根。照亮思維

回望本題，試題是由課本習(xí)題改編而來。關(guān)注課本的“題根”，把握試題的“變式”，有利于啟發(fā)思路，照亮思維，悟出方法。教師在初三復(fù)習(xí)教學(xué)中，要科學(xué)、合理地創(chuàng)設(shè)一系列問題，形成一個(gè)螺旋上升的“問題串”，通過設(shè)計(jì)“問題串”變告知為探索，逐步使學(xué)生的“最近發(fā)展區(qū)”向“潛在發(fā)展水平”轉(zhuǎn)化，進(jìn)而形成良性循環(huán)，使學(xué)生的思維向深層次發(fā)展”，。

3.2 注重反思，優(yōu)化思路

著名數(shù)學(xué)教育家G·波利亞曾說：“如果沒有反思，他們就錯(cuò)過了解題的一次重要而有效益的方法。”他認(rèn)為。反思是鞏固知識(shí)和發(fā)展能力的重要環(huán)節(jié)。通過反思，能夠認(rèn)清問題的本質(zhì)，優(yōu)化解題的方法。如上述解法中。一方面要發(fā)現(xiàn)問題解決的通性通法，對(duì)其“普適性”加以歸納總結(jié)，建立起解題方法的常見套路;另一方面，還要比較方法的優(yōu)劣，做到去蕪取精，擇優(yōu)丟劣。

3.3 建構(gòu)模型。積累經(jīng)驗(yàn)

著名數(shù)學(xué)家懷特海曾說：“數(shù)學(xué)就是對(duì)于模式的研究?！比粘５臄?shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)離不開解題，每解一題都是一次數(shù)學(xué)實(shí)踐，應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)與思想方法解決問題，提升問題解決的能力。解決一道新題是經(jīng)歷“問題情境——建立模型——求解驗(yàn)證”的數(shù)學(xué)活動(dòng)，外見于“形”，內(nèi)化于“型”，掌握解法的同時(shí)，積累數(shù)學(xué)解題經(jīng)驗(yàn)。提煉問題“模型”，更好地培養(yǎng)學(xué)生分析、解決問題的能力。