涉深水觀鮫龍，探模型“放大”價(jià)值

戴向陽(yáng) 周米

波利亞曾說(shuō)：“一道好題的價(jià)值之一在于它能產(chǎn)生其他一些好題?！辈⒅赋觯骸皬暮玫臇|西中再提煉出更加純凈的精制品是不容易的。但卻有價(jià)值?！泵鎸?duì)數(shù)學(xué)史中經(jīng)典名題，數(shù)學(xué)解題不能僅喜于解的研究，更為重要的是揭示經(jīng)典中所包含的一般性模型，由一題通識(shí)一類(lèi)。正所謂“涉淺水者得魚(yú)蝦，涉深水者觀鮫龍。”關(guān)注問(wèn)題的解只是撈魚(yú)蝦，關(guān)注問(wèn)題的內(nèi)在的模型，才是解題工作的遠(yuǎn)足。

掌握一個(gè)模型，看清百題一轍：掌握系列模型，通識(shí)萬(wàn)千變化。解題不單是論解，還有放眼模型，“做大”解題，“串燒”一片，實(shí)現(xiàn)“簡(jiǎn)約學(xué)習(xí)”，滋養(yǎng)思維，“放大”解題價(jià)值。

本文就從數(shù)學(xué)史上膾炙人口的海盜藏寶圖說(shuō)起，漫談一類(lèi)旋轉(zhuǎn)模型的發(fā)現(xiàn)、變式、拓展串珠成鏈的過(guò)程及其應(yīng)用，寄望能提高中考復(fù)習(xí)效率，并為中考命題創(chuàng)新提供模型支撐。不妥之處，希不吝指正。

1 海盜藏寶

話說(shuō)一群海盜把一批寶藏埋在荒島上，如圖1所示。島上只有三棵樹(shù)，一棵山毛櫸、兩棵橡樹(shù)。海盜從山毛櫸B點(diǎn)到橡樹(shù)A拉一根繩子。然后從橡樹(shù)A出發(fā)，沿著垂直于繩子的方向，往島里走一段路到達(dá)D點(diǎn)，使AD=AO。然后又從B點(diǎn)山毛櫸出發(fā)，向橡樹(shù)C拉一根繩子，沿著垂直于繩子的方向。往島里走一段路到達(dá)E點(diǎn)，使CE=BC。最后在皿的中點(diǎn)F埋下寶藏。

后來(lái)，挖寶時(shí)山毛櫸B消失得無(wú)影無(wú)蹤，沒(méi)有了參照物。挖寶人細(xì)思后，在AC的垂直平分線上等于AC一半的位置找到寶藏。如圖2所示。

2 解題探索

據(jù)挖寶人做法，可知藏寶點(diǎn)F與AC構(gòu)成以AC為斜邊的等腰直角三角形，如圖3所示。

3 基本模型——雙等腰直角三角形

數(shù)學(xué)家?jiàn)W加涅說(shuō)：“很多習(xí)題潛在著進(jìn)一步擴(kuò)展其數(shù)學(xué)功能和教育功能的可行性?！奔?xì)嚼藏寶圖的解答，可得下列基本模型：

4 模型拓變與案例簡(jiǎn)析

基本模型的發(fā)現(xiàn)，僅是解題工作的一個(gè)驚喜開(kāi)端，是解題研究邁出的“一小步”。尚有“一大步”——模型的拓變工作，正靜待著解題者“放大價(jià)值”。

4.1 去特殊添約束。模型拓展

鑒于“雙等腰直角三角形旋轉(zhuǎn)模型”中直角的特殊性，試將條件放寬到任意等腰三角形，并追加相關(guān)約束條件，于是又得到“底連雙等腰三角形旋轉(zhuǎn)模型”，如圖5所示。其結(jié)論的“相似”性，是對(duì)基本模型結(jié)論的全等特點(diǎn)的進(jìn)一步繼承。

模型1——底連雙等腰三角形

4.2 變底連為頂連，模型變式

變模型1中“底角連接”方式為“頂角連接”，便得下列應(yīng)用廣泛的模型2.

模型2——頂連雙等腰三角形

4.3 以相似審視之，終極拓展

鑒于模型2中兩個(gè)等腰三角形相似特點(diǎn)，可有如下“相似模型”。兩個(gè)相似三角形在一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)處重合，那么這兩個(gè)三角形存在兩種位置關(guān)系：同向相似與相向相似。如果另兩對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)從一個(gè)三角形到另一個(gè)三角形的旋轉(zhuǎn)方向相同，則稱(chēng)這兩個(gè)三角形是“同向相似”，反之稱(chēng)之為“相向相似”。例如圖11中，△AOP～△QOB，其中A與Q是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，P與B是對(duì)應(yīng)點(diǎn)。在旋轉(zhuǎn)角小于180°時(shí)，從A到O和P到B的旋轉(zhuǎn)方向都是順時(shí)針的，故屬“同向相似模型”。

模型3——同向相似模型

數(shù)學(xué)解題的基本任務(wù)是解題，但它并非僅限于解出、多解、優(yōu)解、通解等探解工作，還有揭示試題內(nèi)蘊(yùn)藏的其它更有益的結(jié)論以及預(yù)知試題的可能變化——偽裝與變式，而最具價(jià)值的工作，是于解題中發(fā)現(xiàn)潛在的模型以及對(duì)模型的拓展與變式，形成“模型鏈”，以“一鏈”挈領(lǐng)一片“生態(tài)種群”。