“同心協(xié)力”策略研究

張燕琴 王才明 李勇

摘要：本文根據(jù)動(dòng)力學(xué)分析、剛體的轉(zhuǎn)動(dòng)定律、動(dòng)量守恒定律以及動(dòng)能守恒定律等物理學(xué)知識(shí)建立了理想狀態(tài)下的最佳協(xié)作策略模型以及轉(zhuǎn)矩傾斜模型，并結(jié)合現(xiàn)實(shí)情形對(duì)該模型進(jìn)行了優(yōu)化，建立了合適的指標(biāo)衡量實(shí)際情況下該策略的實(shí)施效果，具有一定的參考價(jià)值。

關(guān)鍵詞：動(dòng)力學(xué)分析;轉(zhuǎn)動(dòng)定律;轉(zhuǎn)矩傾斜模型

“同心鼓”是一項(xiàng)團(tuán)隊(duì)協(xié)作的項(xiàng)目，在同心鼓的邊緣均勻固定著多條繩子，要求每個(gè)隊(duì)員通過(guò)拉繩使球顛起，并使其有節(jié)奏在鼓面上做往返運(yùn)動(dòng)。在顛球的過(guò)程中，要求隊(duì)員只能手握繩子的尾部，而不能接觸其他位置。要求建立模型求解出項(xiàng)目的最終目標(biāo)，使連續(xù)顛球的次數(shù)盡可能多。

1基于動(dòng)力學(xué)分析的最佳協(xié)作策略模型

1.1碰撞過(guò)程中關(guān)系式的建立

碰撞前，在忽略空氣阻力作用的影響下，球在重力的作用下做自由落體運(yùn)動(dòng)，直到與鼓發(fā)生碰撞。鼓在繩子的作用下做加速運(yùn)動(dòng)，直到與排球發(fā)生碰撞。在此過(guò)程中，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，對(duì)排球而言，有

對(duì)于雙面鼓而言，在其上升過(guò)程中，θ隨其而不斷發(fā)生改變，從最初時(shí)刻的θ₀不斷減少至發(fā)生碰撞結(jié)束。

根據(jù)牛頓定律，可得到雙面鼓的加速度a_θ與繩對(duì)鼓的作用力F的關(guān)系式為

碰裝過(guò)程中，可知理想狀態(tài)下的碰撞為完全彈性碰撞，存在動(dòng)能守恒與動(dòng)量守恒，基于該定律得到如下關(guān)系式。

碰裝后，自排球與雙面鼓碰撞結(jié)束后，在忽略空氣阻力的影響下，排球?qū)⒁灾亓铀俣萭做豎直向上的減速運(yùn)動(dòng)，雙面鼓在人的作用下保持某一狀態(tài)。因而在此過(guò)程中，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)定律，有

1.2綜合模型的確立

理想狀態(tài)下的最佳協(xié)作策略從以下兩種情形進(jìn)行考慮最佳協(xié)作策略首先需要滿足顛球高度大于40cm的條件，其次考慮第一種情形時(shí)，隊(duì)員人數(shù)n、繩子長(zhǎng)度s、初始位置較繩子水平時(shí)下降的高度l不變，確定滿足條件繩的最小拉力值;再考慮第二種情形時(shí)，保持繩的拉力F、繩子長(zhǎng)度s、初始位置較繩子水平時(shí)下降的高度l不變，確定滿足條件隊(duì)員人數(shù)n的最小值。

2基于矩陣作用的鼓面傾角模型

2.1傾斜角度的確定

（1）力矩的分解與合成

基于上述分析，可知作用在鼓邊緣的力可以分解該點(diǎn)的矢徑方向與豎直向上的方向，其中分解到矢徑方向的力對(duì)鼓面的傾斜沒(méi)有影響，故而只考慮豎直反向上的力產(chǎn)生的力矩。

（2）鼓面傾角公式的推導(dǎo)

根據(jù)上文得到的鼓面在x、y軸方向上的傾斜角度P_X、P_Y，建立空間直角坐標(biāo)系對(duì)其進(jìn)行推導(dǎo)求解，坐標(biāo)系如圖3所示。

3最佳協(xié)作策略模型的優(yōu)化

在問(wèn)題二中，通過(guò)將各個(gè)力矩分解到x、y軸，分析每個(gè)力矩的作用效果。由于各個(gè)力矩在圓周的邊緣呈均勻分布狀態(tài)，根據(jù)圓的對(duì)稱性，可知兩個(gè)呈對(duì)稱分布的力所產(chǎn)生的力矩的作用效果兩兩相互抵消，如圖4所示。

觀察該圖，可以發(fā)現(xiàn)M₃和M₇大小相同，方向相反。對(duì)鼓產(chǎn)生的綜合效果不會(huì)使鼓面發(fā)生傾斜。

基于問(wèn)題一中的最佳協(xié)作策略模型，主要從用力方向和力度兩個(gè)方面進(jìn)行優(yōu)化。鼓面保持水平時(shí)，則不需要控制每個(gè)隊(duì)員的用力方向和力度都相同，只需滿足在圓內(nèi)呈對(duì)稱分布的隊(duì)員的用力時(shí)機(jī)和力度相同即可。即

其中n為隊(duì)員的個(gè)數(shù)，根據(jù)圓的對(duì)稱性可知第i個(gè)隊(duì)員與第個(gè)隊(duì)員成對(duì)稱分布。

4模型的結(jié)果

1）已知變量

由于球偏離豎直方向產(chǎn)生傾斜，且傾斜方向在水平面上的投影為在兩位隊(duì)員之間，且分別與兩位隊(duì)員產(chǎn)生的角度比為1：2，其角度關(guān)系如圖5

由于人數(shù)為10，因此相鄰兩個(gè)力之間的角度為36°，則該兩名隊(duì)員對(duì)繩子的拉力存在著某種關(guān)系，由三角形的正弦定理有

2）合理猜想

當(dāng)球的傾斜方向在水平面上的投影指向某兩位隊(duì)員之間時(shí)，其原因可能是該隊(duì)員存在提前發(fā)力情況，其余隊(duì)員產(chǎn)生的力的大小與發(fā)力時(shí)機(jī)可視為相同，適當(dāng)簡(jiǎn)化了求解隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的過(guò)程。

3）發(fā)力時(shí)機(jī)和力度的確定及實(shí)施效果的檢驗(yàn)

以球的偏離角度B最小、球的反彈高度盡可能略大于0.4m為目標(biāo)，通過(guò)Matlab程序_[2]，求解得到所有隊(duì)員的發(fā)力時(shí)機(jī)及力度，其結(jié)果如表6所示

此時(shí)球的偏離角B=0.532°，衡量該策略的實(shí)施效果的指標(biāo)B修=93.42%，該指標(biāo)值與1很相近，表明該策略在一定程度上的可行性較高。

參考文獻(xiàn)

[1] 薛艷霞，蘇振超.理論力學(xué)中等效力系的幾個(gè)性質(zhì).嘉應(yīng)學(xué)院學(xué)報(bào)[J].2019.37：40-42.

[2] 司守奎，孫兆亮.數(shù)學(xué)建模與算法運(yùn)用[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2015.4：430-438.