緊支撐正交復(fù)小波濾波器的參數(shù)化

李林杉,胡琳,楊玉潔,方怡,師國(guó)偉

(1.北京聯(lián)合大學(xué)基礎(chǔ)與交叉科學(xué)研究所,北京100101;2.空軍特色醫(yī)學(xué)中心,北京100142)

1.引言

近年來(lái),小波濾波器的理論和應(yīng)用迅速的增加.正交性、對(duì)稱(chēng)性、緊支性是小波應(yīng)用于工程中非常重要的特性.眾所周知,除了Harr小波,不存在緊支撐并且對(duì)稱(chēng)正交的2 帶實(shí)小波.為了克服這一缺陷,小波的概念被推廣到高維小波[2?5]、多帶小波[6]、多小波[7]、復(fù)小波[8?12]等.復(fù)數(shù)小波具有較好的方向性,平移不變性和精確的相空間等信息,使其在實(shí)際應(yīng)用中比實(shí)小波更具有優(yōu)勢(shì),因此復(fù)小波的研究受到人們的高度關(guān)注.這方面的文章不斷涌現(xiàn),構(gòu)造的方法也各具特色.Lawton[7]構(gòu)造了對(duì)稱(chēng)正交的復(fù)小波;Lina[9]從小波值域的拓展和構(gòu)造平移不變的小波變換出發(fā),提出了Daubechies復(fù)數(shù)小波的概念;ZHANG[10]和HAN[11]討論了復(fù)小波的一些性質(zhì),做了進(jìn)一步的研究;FENG[12]給出緊支撐復(fù)小波的參數(shù)化.本文受到文[12]的啟發(fā),給出了緊支撐正交復(fù)小波參數(shù)化的最簡(jiǎn)單的形式,比文[12]減少了參數(shù)的個(gè)數(shù),更易于得到正交的復(fù)小波,從而為工程人員選擇合適的復(fù)小波帶來(lái)更大的方便,并給出了算例.

2.預(yù)備知識(shí)

由多分辨率分析知道,構(gòu)造小波的方法通常開(kāi)始于雙尺度方程,尺度函數(shù)φ(x)和小波函數(shù)ψ(x)是小波理論的核心,但在工程實(shí)現(xiàn)時(shí)并不直接使用φ(x)和ψ(x),而是使用與他們對(duì)應(yīng)的H(ξ)和G(ξ)的沖激響應(yīng){hk}和{gk}.構(gòu)造小波實(shí)際上就是求解低通濾波器系數(shù){hk}和高通濾波器系數(shù){gk},而{hk}與{gk}的關(guān)系是確定的,即gk=(?1)n?1h1?k.[1]因此只需確定{hk},便可確定{gk},從而也就確定了尺度函數(shù)φ(x)和ψ(x).

定義2.5當(dāng)濾波器{hk}、{gk},為滿足正交小波條件的復(fù)數(shù)時(shí),該濾波器即為復(fù)小波濾波器.

3.正交復(fù)小波濾波器的參數(shù)化結(jié)果

定理3.2H6(z) 滿足H6(1)=1 ,|H6(z)|2+|H6(?z)|2=1,當(dāng)且僅當(dāng):

證由條件|H6(z)|2+|H6(?z)|2=1,推出:

結(jié)合(3.15)(3.16)得:

4.結(jié)論

本文給出了長(zhǎng)度為4、6的正交復(fù)小波濾波器的參數(shù)化,在目前所知的文獻(xiàn)中參數(shù)的個(gè)數(shù)是最少的.在以后的工作中做更深入的研究,研究更高階的復(fù)小波濾波器及具有消失矩、共軛對(duì)稱(chēng)等性質(zhì)更好的復(fù)小波濾波器的參數(shù)化,以便于工程人員在解決實(shí)際問(wèn)題中的有更好的應(yīng)用.