基于離散觀測下Cauchy-OU過程的最大似然估計

陳至芬,陳曉鵬

(汕頭大學理學院數(shù)學系,廣東 汕頭515063)

1.引言

隨機過程X={X(t),t ≥0}稱為Ornstein-Uhlenbeck(OU)型的,如果它滿足隨機微分方程

其中Z={Z(t),t ≥0}是一個背景驅動Lévy過程(參考文[1]),強度參數(shù)λ >0,初始條件X0與Z無關.參考文[2]證明了Z存在右連左極的修正,本文僅考慮(1.1)式的如下修正過程

這里修正Z(λt)去除了X(t)在平穩(wěn)性中對λ的依賴,即無論λ取何值,X(t)的邊緣分布都不發(fā)生改變.

OU型過程在金融和經濟等領域有著十分廣泛的應用,例如Barndorff-Nielsen和Shephard[3]提出了利用Gamma-OU和IG-OU等OU型過程來刻畫金融資產的波動情況.在本文中,我們主要感興趣的是研究Cauchy-OU過程的參數(shù)估計問題.

但在實際應用中,連續(xù)時間的隨機微分方程模型總是在離散的時間上觀測.到目前為止,基于離散觀測的統(tǒng)計方法已經得到了廣泛發(fā)展,其中最大似然估計法是最常見的一種方法.然而,除了極少數(shù)特殊的過程外,OU型過程的似然函數(shù)并沒有簡單的閉型解析式.目前,對于離散時間觀測采樣,計算似然函數(shù)的現(xiàn)有方法包括數(shù)值求解Fokker-Planck-Kolmogorov偏微分方程[4]或模擬大量采樣路徑并沿著這些路徑對過程進行精細的采樣[5?6].但以上的這些方法并不能夠在參數(shù)空間上得出能使之最大化的閉型解析式.另外,對于布朗運動驅動的隨機微分方程,A?t-Sahalia[7]提出利用Hermite多項式來構造一個顯式的閉型函數(shù)序列的一種封閉的估計方法.對于Gamma-OU過程,ZHANG[8]等通過特征函數(shù)及拉普拉斯逆變換得到轉移密度函數(shù),再利用Gaver-Stehfest算法構造了似然函數(shù)的逼近序列,最后得到Gamma-OU過程的最大似然估計.

受以上所述文獻啟發(fā),本文采用Gamma-OU過程參數(shù)估計的研究思路,主要研究了離散觀測樣本下,以復合泊松過程為背景驅動的Ornstein-Uhlenbeck過程的最大似然估計.我們假定離散時間觀測Xk=X(tk),其中{tk=k?,k=0,1,··· ,n},?>0固定,考慮強度參數(shù)和密度參數(shù)的估計.

本文其他部分安排如下: 第2節(jié)介紹了Cauchy-OU過程.第3節(jié)推導出Cauchy-OU過程的累積分布及轉移密度函數(shù).第4節(jié)構造了轉移密度函數(shù)的近似序列.第5節(jié)討論未知參數(shù)的估計及其仿真.第6節(jié)得出結論及后續(xù)工作.

2.Cauchy-OU過程

隨機過程X={X(t),t ≥0}稱為Cauchy-OU過程,如果滿足下列齊次線性隨機微分方程

其中{C(t),t ≥0}具有正增量,是一個背景驅動Lévy過程,強度參數(shù)λ >0,且不論λ取何值,X(t)的邊緣分布都是Cauchy分布.

根據(jù)Lévy過程的相關積分理論[9],易證得(2.1)式存在如下強解

對于任一?>0,遞歸地有

命題2.1假設?(u)為分布的特征函數(shù),則其累積特征函數(shù)(也稱特征指數(shù))ψ(u) =log?(u)滿足如下Lévy-Khinchine公式

命題2.2對任意固定的λ>0,若X是由(σ,γ,ν,λ)生成的OU型過程,并且Lévy測度ν滿足

根據(jù)Acceptance-Rejection算法,取定λ=1,a=0.5,?=0.5,n=100,利用MATLAB模擬以上復合泊松過程(參考文[12]),得到如下圖2.1以C(λt)過程為例的一個仿真路徑.

圖2.1 復合泊松過程C(λt)關于t 的圖像(λ=1, a=0.5,?=0.5, n=100)

由(2.2)式易知X(t)是左極右連半鞅[2],故OU過程{X(t),t ≥0}可假定為左極右連的.又因為在概率意義上,C(t)的路徑在每個區(qū)間(0,t],t ∈(0,∞)上是有限變差函數(shù)(almost-surely),故(2.2)式可看作是一個Lebesgue-Stieltjes積分.

記

并且根據(jù)文[2]中的引理17.1可知,

其中

于是,

所以,{C?(t),t>0}是一個復合泊松過程,即

3.Cauchy-OU過程的轉移密度推導

為了得到Cauchy-OU過程{X(t),t ≥0}的轉移概率密度,先考慮其累積分布函數(shù).

引理3.1對固定t>0,C?(t)的累積分布函數(shù)為

其中,對于fn(x)(n ≥1),這里定義為f1(x)=f(x),

證考慮到(2.4)式中W1,W2,···是一列獨立同分布的正隨機變量序列,且其密度函數(shù)為(2.5)式,故當x ≤1時,引理3.1成立;對x>1時,C?(t)的累積分布函數(shù)為

引理3.2對固定t>0,隨機變量C?(t)的密度函數(shù)可以表示為

其中,當x>1時,fC?(t)(x)是連續(xù)的.

證我們分以下步驟討論:

(i) 當x>1時,(2.5)式中定義的f(x)單調遞減;

(ii) 對?n>0及x>1,有

所以,

(iii) 因為

定理3.1(2.2)式中Cauchy-OU過程X(t)的時間齊次轉移函數(shù)為

其中p(t,y;x,λ,a)表示X(t)在時間區(qū)間(0,t]上從x到y(tǒng)的轉移函數(shù).

4.轉移密度函數(shù)的近似

為了得到轉移密度p(t,y;x,λ,a)的估計,固定t,y,x,λ和a,令

5.未知參數(shù)的估計與仿真

先觀察強度參數(shù)λ和密度參數(shù)a分別對Cauchy-OU過程X(t)的影響,不妨取定?= 0.5,樣本容量n=100.下面圖5.1-5.3是a=0.5,λ分別取值為λ=0.1,λ=1和λ=10時X(λt)關于t的變化情況.而圖5.4-5.6是λ=1,a分別取a=0.1,a=0.5 和a=1 時X(λt)關于t的變化情況.

總體上,強度參數(shù)λ值的不同,對其波動即Cauchy-OU過程X(λt)的影響比較大,且由以上述圖5.1-5.3可以觀察到強度參數(shù)λ值越大,該過程的波動頻率越大;而圖5.4-5.6可以看到相對強度參數(shù)λ而言,密度參數(shù)a對模型的波動影響較小一些.故此,下文優(yōu)先選擇對強度參數(shù)λ進行估計.

Ⅰ強度參數(shù)λ的估計

假定在離散時間觀測下,令Xk=X(tk) =X(k?),其中{tk=k?,k=0,1,··· ,n},?>0固定.令(X0,X1,...,Xn) 的一個樣本值為(x0,x1,...,xn),則由定理3.1及貝葉斯法則知似然函數(shù)具有如下形式

圖5.1 X(λt)關于t 的圖像(λ=0.1, a=0.5,?=0.5, n=100)

圖5.2 X(λt)關于t 的圖像(λ=1, a=0.5,?=0.5,n=100)

圖5.3 X(λt)關于t 的圖像(λ=10, a=0.5,?=0.5, n=100)

圖5.4 X(λt)關于t 的圖像(a=0.1, λ=1,?=0.5,n=100)

圖5.5 X(λt)關于t 的圖像(a=0.5, λ=1,?=0.5, n=100)

圖5.6 X(λt)關于t 的圖像(a=1, λ=1,?=0.5,n=100)

圖5.7 估計值n的直方圖(真實值λ=2, a=0.5,?=1, n=100)

為了得到強度參數(shù)λ更加精確的估計,分別取樣本容量n=100,n=200和n=400進行試驗,假定?=1,a=0.5,通過仿真得到估計值的均值,方差以及誤差如下表.

表5.1 樣本容量n=100下關于強度參數(shù)λ的估計表

表5.2 樣本容量n=200下關于強度參數(shù)λ的估計表

表5.3 樣本容量n=400下關于強度參數(shù)λ的估計表

由上述表5.1-5.3可見,隨著樣本容量n的增加,所得到估計值?λn的誤差逐漸減小,即估計更加準確.另外,由以上表中可以發(fā)現(xiàn),當真實值λ取值為0.1時,所得到估計的誤差最小,故以下文章將假定強度參數(shù)λ的估計值為0.1來進行對密度參數(shù)a的估計.

Ⅲ密度參數(shù)a的估計

通過上面方法已經得到參數(shù)λ的估計值,不妨記為λ0.接下來估計密度參數(shù)a.我們假定強度參數(shù)λ是已知的,即令λ=λ0.此時,(5.1)式即為

Ⅳ密度參數(shù)a的仿真

由5.1節(jié)我們已經得到了強度參數(shù)λ的真實估計值λ0,通過5.2節(jié)得出了密度參數(shù)a的估計方法.這里,我們同樣取定?=1及已估計值λ=λ0=0.1(假定取為0.1).利用MATLAB仿真,這里我們分別取樣本容量n=200和n=400進行試驗,假定?= 1,λ=0.1,通過仿真得到估計值?an的均值,方差以及誤差如下表.

表5.4 不同樣本容量n下關于密度參數(shù)a的估計表

6.結語

本文在離散觀測樣本下通過轉移函數(shù),采用最大似然估計法研究了Cauchy-OU過程的參數(shù)估計問題.通過傅里葉變換及Gaver-Stehfest算法,構造了收斂于真實但未知的似然函數(shù)的一個顯式逼近序列,從而建立了基于離散時間下Cauchy-OU過程X(t)的似然函數(shù).通過實驗仿真,發(fā)現(xiàn)強度參數(shù)λ對該過程的波動影響明顯大于密度參數(shù)a的影響,故此優(yōu)先估計出強度參數(shù)λ,再根據(jù)最大似然估計法得出密度參數(shù)a的估計值.最后的仿真結果表明,本文得到的強度參數(shù)和密度參數(shù)估計是比較準確且穩(wěn)定的.在后續(xù)工作中,可以考慮其他更一般的OU類過程的參數(shù)估計問題,這將在金融領域中對分析資產波動具有重要的作用,但其相應的最大似然函數(shù)的解析表達式將會是一個繼續(xù)深入研究的問題.