基于單參數(shù)Logistic的典型作物相對葉面積指數(shù)模型研究

王全九 劉云鶴 蘇李君

(1.西安理工大學(xué)省部共建西北旱區(qū)生態(tài)水利國家重點實驗室， 西安 710048；2.中國科學(xué)院水利部水土保持研究所黃土高原土壤侵蝕與旱地農(nóng)業(yè)國家重點實驗室， 陜西楊凌 712100)

0 引言

冬小麥、夏玉米和水稻是3種主要的糧食作物，占我國糧食總產(chǎn)量的90%左右，準(zhǔn)確分析作物生長過程和預(yù)測糧食產(chǎn)量越來越受到關(guān)注。葉面積指數(shù)作為表征作物生長的主要指標(biāo)，可間接反映作物對水、肥、光等環(huán)境因子的吸收利用情況，并在很大程度上決定產(chǎn)量[1-3]。因此，對葉面積指數(shù)變化特征分析是產(chǎn)量預(yù)測的重要環(huán)節(jié)。

Logistic方程由生態(tài)學(xué)家首次提出，被用于描述細(xì)菌種群密度增長的規(guī)律，即隨著種群密度的增加，細(xì)菌的相對增長率呈下降趨勢，與時間無關(guān)[4]。此后，該方程被廣泛應(yīng)用于農(nóng)業(yè)氣象學(xué)領(lǐng)域，描述作物的生長過程，包括干物質(zhì)積累和株高的增長等[5-7]。文獻(xiàn)[8]在進(jìn)行植物表型測量系統(tǒng)的研究以及實現(xiàn)作物生長的可視化研究中也利用了Logistic方程。但Logistic方程僅能描述作物指標(biāo)的增長過程，無法分析某些指標(biāo)在作物生育后期的下降過程。文獻(xiàn)[7]提出了一種修飾的Logisic方程——雙Logistic方程，該方程引入了一個新的參數(shù)kt，表示受作物基因影響和環(huán)境約束的最長生育期，卻仍未能對作物生育后期的葉面積指數(shù)變化特征進(jìn)行很好的模擬。文獻(xiàn)[4]指出了Logistic方程描述作物群體動態(tài)的不足，認(rèn)為作物器官的生長變化率不僅與種群競爭有關(guān)，還與作物自身所處的生育期有關(guān)，即使不存在種群競爭，作物也會逐漸生長、消亡。因此，在Logistic方程的基礎(chǔ)上提出了修正的Logistic模型，并被大量應(yīng)用于描述作物全生育期內(nèi)葉面積指數(shù)的變化過程。

有效積溫是指作物生長到某個階段所積累的有效溫度，與作物的生物學(xué)上、下限溫度有關(guān)[9]。相較于生育期天數(shù)，有效積溫更能反映作物生長與氣象條件之間的內(nèi)在聯(lián)系和更好地描述作物生長過程，因此，以有效積溫為自變量建立作物的葉面積指數(shù)生長模型更具有生物學(xué)意義。文獻(xiàn)[10]基于遙感、Logistic模型和有效積溫研究了冬小麥生育期的提取方法。文獻(xiàn)[11]在實現(xiàn)黃瓜葉片生長變化的仿真過程中，以有效積溫作為外界環(huán)境驅(qū)動因子進(jìn)行了研究。文獻(xiàn)[12]利用有效積溫和Logistic方程，建立了馬鈴薯的葉面積指數(shù)和干物質(zhì)的增長模型。文獻(xiàn)[13]借助修正的Logistic模型，分別以播種后天數(shù)和有效積溫為自變量，建立了冬小麥葉面積指數(shù)的增長模型，分析了兩種建模方法的擬合效果，并進(jìn)一步利用相對有效積溫建立了冬小麥返青至成熟階段的相對葉面積指數(shù)變化模型，結(jié)果表明，相對葉面積指數(shù)與相對有效積溫之間具有相關(guān)關(guān)系，指出此種方法能夠很好地描述葉面積的生長變化過程。文獻(xiàn)[14]在修正Logistic模型的基礎(chǔ)上，擴(kuò)充了時間項，建立了冬小麥株高及葉面積指數(shù)與有效積溫之間的擴(kuò)充Logistic模型，但該模型中待定參數(shù)較多，且需采取試算法確定參數(shù)，計算較為復(fù)雜。

已有研究表明，利用修正的Logistic模型可較好地描述不同作物的葉面積指數(shù)變化特征[15-16]，但對于模型參數(shù)的變化特征以及參數(shù)之間的關(guān)系仍缺乏深入分析。本文針對冬小麥、夏玉米、水稻3種典型糧食作物，分析葉面積指數(shù)隨相對有效積溫的變化過程，探討修正的Logistic模型參數(shù)間的關(guān)系，以期建立簡單的、適于實際應(yīng)用的相對葉面積增長模型。

1 研究方法

1.1 數(shù)據(jù)來源

針對冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物，查閱文獻(xiàn)資料，分別收集了45組不同地區(qū)、不同種植時間的作物葉面積指數(shù)生長數(shù)據(jù)，其中30組用于模型參數(shù)分析，15組用于模型準(zhǔn)確性評價。利用中國氣象數(shù)據(jù)網(wǎng)獲取不同作物生長階段的溫度數(shù)據(jù)，計算其對應(yīng)的相對葉面積指數(shù)和相對有效積溫。表1為3種作物的葉面積生長數(shù)據(jù)來源。在選取數(shù)據(jù)時，以典型種植管理模式下的作物生長數(shù)據(jù)為主，不選取未經(jīng)大面積推廣技術(shù)條件下的生長數(shù)據(jù)。

表1 冬小麥、夏玉米、水稻生長數(shù)據(jù)來源Tab.1 Data sources for three crops of winter wheat, summer maize and rice

1.2 簡化葉面積增長Logistic模型建立與評價方法

結(jié)合具體作物葉面積指數(shù)增長至某一特殊階段時(如葉面積指數(shù)最大時、葉面積指數(shù)為最大值的一半時)的相對有效積溫，考慮相對化修正Logistic模型的參數(shù)關(guān)系，對修正Logistic模型

(1)

式中y——研究指標(biāo)，可表示種群密度、作物干物質(zhì)積累量、株高等

ymax——y的上限

a、b、c——參數(shù)t——時間

進(jìn)行數(shù)學(xué)變換。針對3種典型作物，分別建立其對應(yīng)的簡化葉面積增長Logistic模型。

采用常用的3種評價指標(biāo)對模型準(zhǔn)確性進(jìn)行評價，即決定系數(shù)R2、均方根誤差(RMSE)和相對誤差(RE)。R2越接近于1，模型模擬值與實際值的一致性越好；RMSE和RE越小，表示模型模擬效果越好。對于最終建立的簡化修正Logistic模型，利用SPSS 22.0軟件分析其模擬結(jié)果，與實際相對葉面積指數(shù)進(jìn)行對比，分析殘差和方差顯著性。

2 模型構(gòu)建

2.1 相對化的修正Logistic模型

為了體現(xiàn)氣候?qū)θ~面積指數(shù)增長的影響，采用有效積溫代替時間，形成了以有效積溫為自變量的修正Logistic模型。同時為了消除作物不同品種、土壤條件對葉面積指數(shù)所引起的差異，對葉面積指數(shù)進(jìn)行了歸一化處理，采用相對葉面積指數(shù)為因變量的修正Logistic模型，具體表示為

(2)

其中

PGDD=∑(Tavg-Tbase)

(3)

式中RLAI——相對葉面積指數(shù)

PGDD——有效積溫，℃

Tavg——日平均氣溫，℃

Tbase——生物學(xué)下限溫度，℃

為了統(tǒng)一分析不同地區(qū)溫度對作物生長的影響，利用相對有效積溫作為自變量，建立相對有效積溫與相對葉面積指數(shù)的修正Logistic模型，具體表示為

(4)

式中RGDD——相對有效積溫，利用各生育期對應(yīng)的有效積溫除以全生育期的總有效積溫計算所得

2.2 模型參數(shù)間關(guān)系

相對化的修正Logistic模型中包含3個參數(shù)，即a、b和c。在不同地區(qū)或不同時間下模型應(yīng)用和參數(shù)率定過程較為繁雜，不利于模型的推廣使用。因此，結(jié)合了3種典型作物關(guān)鍵生育階段的相對有效積溫，通過對模型的數(shù)學(xué)變換以及實際數(shù)據(jù)擬合，以期探明相對化的修正Logistic模型中3個參數(shù)之間的關(guān)系，建立便于參數(shù)確定的數(shù)學(xué)模型。

2.2.1參數(shù)b和c與相對有效積溫的關(guān)系

(5)

則b可以表示為

b=-2cRGl

(6)

式(6)表明，當(dāng)某種作物的RGl一定時，隨著參數(shù)c的不斷增大，b呈線性減小的趨勢，減小速率與作物最大葉面積指數(shù)對應(yīng)的相對有效積溫有關(guān)，且該種作物對應(yīng)的參數(shù)b與c的關(guān)系即可確定。此外，各作物的最大葉面積指數(shù)基本出現(xiàn)在孕穗灌漿期，因此孕穗灌漿期的相對有效積溫與參數(shù)b和c有關(guān)。

2.2.2參數(shù)a、b、c與相對有效積溫的關(guān)系

(7)

式(7)表明，作物葉面積指數(shù)達(dá)到最大值的一半時，其相對有效積溫與修正Logistic模型中的3個參數(shù)均有關(guān)。為了進(jìn)一步探討參數(shù)間的關(guān)系，分別利用數(shù)據(jù)來源中10組不同地區(qū)、不同種植時間的冬小麥、夏玉米和水稻生長數(shù)據(jù)，對式(4)進(jìn)行參數(shù)擬合，擬合結(jié)果如表2～4所示。由表2～4可以看出，在將有效積溫和葉面積指數(shù)都相對化的情況下，修正的Logistic模型對3種作物葉面積指數(shù)變化擬合效果較好。表中擬合參數(shù)值也表明，3個參數(shù)之間存在一定函數(shù)關(guān)系。假定-b=α(a+c)，其中α為常數(shù)。由于從理論上難以建立3個參數(shù)間關(guān)系，只能利用實驗資料來分析α變化特征。為了確定系數(shù)α，分別作3種作物a+c與-b之間的關(guān)系圖，見圖1。圖1結(jié)果表明，a+c與-b之間存在著明顯的線性關(guān)系，R2均等于0.99，RMSE不大于0.13，RE不大于0.002%，而且α近似等于1，這樣α可認(rèn)為等于1，并有

圖1 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物修正Logistic模型中a+c與-b的關(guān)系Fig.1 Relationships between a+c and -b in modified Logistic model of winter wheat, summer maize and rice

表2 不同地區(qū)冬小麥葉面積指數(shù)修正Logistic模型參數(shù)擬合結(jié)果Tab.2 Parameter fitting results of modified Logistic model for winter wheat leaf area index in different regions

表3 不同地區(qū)夏玉米葉面積指數(shù)修正Logistic模型參數(shù)擬合結(jié)果Tab.3 Parameter fitting results of modified Logistic model for summer maize leaf area index in different regions

表4 不同地區(qū)水稻葉面積指數(shù)修正Logistic模型參數(shù)擬合結(jié)果Tab.4 Parameter fitting results of modified Logistic model for rice leaf area index in different regions

-b=a+c

(8)

2.2.3參數(shù)a和c與相對有效積溫的關(guān)系

為了獲得修正Logistic模型中參數(shù)a和c與相對有效積溫的關(guān)系，將式(8)代入到式(7)可得

由表2～4可知，c>a，可獲得

(9)

則參數(shù)a可表示為

a=RGhlc

(10)

這樣可以利用有效積溫獲得相對化修正Logistic模型參數(shù)

(11)

2.2.4參數(shù)a、b、c與相對有效積溫的關(guān)系評估

圖2 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物RGhl與a/c對比Fig.2 Comparisons of RGhl and a/c values of three crops of winter wheat, summer maize and rice

為了進(jìn)一步評估式(8)的合理性，利用式(11)獲得了最大相對葉面積指數(shù)對應(yīng)相對有效積溫和相對葉面積指數(shù)為1/2時對應(yīng)的相對有效積溫的關(guān)系

(12)

圖3 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物RGl與對比Fig.3 Comparisons of RGl and values of three crops of winter wheat, summer maize and rice

3 單參數(shù)相對葉面積指數(shù)模型及其評估

3.1 單參數(shù)修正Logistic模型

前面已經(jīng)確定了相對化的修正Logistic模型中3個參數(shù)之間的關(guān)系，并且明確了參數(shù)與相對有效積溫的定量表達(dá)式(式(11))，利用式(11)對修正的Logistic模型進(jìn)行參數(shù)簡化，則有簡化模型

(13)

由于不同作物種類對應(yīng)的RGhl不同，利用表1中所列的3種作物數(shù)據(jù)，分別計算其RGhl。結(jié)果顯示，冬小麥RGhlw在0.48～0.50之間，夏玉米RGhlm在0.28～0.41之間，水稻RGhlr在0.22～0.38之間。由于RGhl變化幅度和數(shù)值較小，其對計算結(jié)果影響也較小，為了簡化模型分別取各范圍平均值，即RGhlw=0.49，RGhlm=0.35，RGhlr=0.30，則冬小麥、夏玉米、水稻3種作物的單參數(shù)Logistic相對葉面積指數(shù)增長模型可表示為

(14)

式中RLAIw——冬小麥相對葉面積指數(shù)

RLAIm——夏玉米相對葉面積指數(shù)

RLAIr——水稻相對葉面積指數(shù)

這樣將冬小麥、夏玉米和水稻3種作物的修正Logistic三參數(shù)模型簡化為單參數(shù)模型，可以利用單參數(shù)模型和相對有效積溫特征值，計算作物相對葉面積指數(shù)變化過程。

3.2 單參數(shù)修正Logistic模型評估

3.2.1利用建模數(shù)據(jù)進(jìn)行評估

為了評價所建單參數(shù)修正Logistic模型，利用式(14)擬合3種作物對應(yīng)的參數(shù)c，并分別計算3種作物的相對葉面積指數(shù)，并與實測的葉面積生長數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果繪制成圖4。由圖4可以看出，計算結(jié)果和實測數(shù)據(jù)之間的散點與1∶1線吻合較好，3種作物的決定系數(shù)均大于等于0.93，相對誤差在1%以內(nèi)。同時，利用計算結(jié)果與實測數(shù)據(jù)進(jìn)行了獨立樣本T檢驗，分析兩組數(shù)據(jù)的方差顯著性。結(jié)果顯示3種作物檢驗結(jié)果P均大于0.911，遠(yuǎn)大于置信區(qū)間0.05。因此，利用本模型所計算的相對葉面積指數(shù)并與實測相對葉面積指數(shù)之間不具有顯著性差異，表明本研究所建模型符合作物實際生長過程，模型計算效果較好。為了進(jìn)一步說明簡化相對修正Logistic模型的計算結(jié)果與實際相對葉面積指數(shù)變化過程吻合程度，利用模型計算了相對葉面積指數(shù)并與實測數(shù)據(jù)進(jìn)行對比，結(jié)果如圖5所示。由圖5可知，所建單參數(shù)模型比較好地描述了冬小麥、夏玉米、水稻3種作物的相對葉面積指數(shù)變化過程，模擬效果較好，R2均大于0.90。

圖4 模型計算結(jié)果與建模實測數(shù)據(jù)比較Fig.4 Comparisons between simulated RLAI and measured data used in establishing model

圖5 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物建模葉面積指數(shù)的簡化相對修正Logistic模型擬合曲線Fig.5 Curves of relative leaf area index of three crops of winter wheat, summer maize and rice fitted by simplified Logistic model (data used in establishing model)

3.2.2利用其他數(shù)據(jù)進(jìn)行評估

為了進(jìn)一步評價單參數(shù)Logistic模型的擬合效果，采用表1提供的冬小麥、夏玉米、水稻3種作物生長數(shù)據(jù)作為驗證數(shù)據(jù)，利用式(14)計算相對葉面積指數(shù)，并與實際值進(jìn)行比較，結(jié)果如圖6所示。由圖6可知，3種作物的5組驗證數(shù)據(jù)同樣與1∶1線較為吻合，R2均不小于0.90，相對誤差均不大于1.94%，表明實測數(shù)據(jù)與計算結(jié)果之間較為吻合。計算和實測的3種作物相對葉面積指數(shù)變化曲線如圖7所示。由圖7可以看出，簡化Logistic模型的計算效果較好，3種作物的擬合曲線決定系數(shù)均大于0.90，RMSE均小于0.2000，擬合效果較好。進(jìn)一步對模型進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化殘差分析，結(jié)果如圖8所示。由圖8a、8b可以看出，誤差服從正態(tài)分布，且殘差散點圖中，殘差在-2～2之間隨機(jī)分布，可解釋大部分預(yù)測值，殘差獨立。綜上可知，該模型可以用于描述作物相對葉面積指數(shù)變化過程。

圖8 單參數(shù)Logistic模型殘差分析結(jié)果Fig.8 Residual analysis results of single parameter Logistic model

圖7 冬小麥、夏玉米、水稻3種作物驗證葉面積指數(shù)的簡化相對修正Logistic模型擬合曲線Fig.7 Curves of relative leaf area index of three crops of winter wheat, summer maize and rice fitted by simplified Logistic model (verification data)

圖6 模型計算結(jié)果與驗證數(shù)據(jù)比較Fig.6 Comparisons of model simulated data and verification data

4 討論

作物葉面積指數(shù)在一定程度上可以反映最終產(chǎn)量，葉面積指數(shù)過小時，作物可能因營養(yǎng)吸收不良而導(dǎo)致低產(chǎn)，過大則可能說明作物所吸收的營養(yǎng)物質(zhì)在其器官內(nèi)分配不合理，也將造成減產(chǎn)，因此對葉面積變化情況的模擬分析對預(yù)測作物產(chǎn)量有著重要作用[39]。現(xiàn)有研究對作物葉面積指數(shù)的模擬方法主要包括修正Logistic模型、有理方程[40]以及對數(shù)模型[13]等，這些方法均能較好地描述葉面積的變化過程，其中修正Logistic模型應(yīng)用最為廣泛。

活動積溫是指高于作物生物學(xué)下限溫度的日均溫度之和，包含了低于生物學(xué)下限溫度的無效積溫，相對于活動積溫，有效積溫更能確切、穩(wěn)定地反映作物對熱量的需求。本研究主要針對修正Logistic模型，以冬小麥、夏玉米和水稻3種作物為研究對象，借助相對有效積溫建立了相對化的修正Logistic模型，并對模型中的參數(shù)關(guān)系進(jìn)行了分析，同時進(jìn)一步簡化模型，建立了3種作物的單參數(shù)修正Logistic模型。模型評價結(jié)果顯示，該模型對作物相對葉面積指數(shù)的計算結(jié)果與實際數(shù)據(jù)之間差異不顯著，模擬效果良好。且該簡化模型因其參數(shù)少，形式簡單，較三參數(shù)模型更易推廣應(yīng)用。在建立簡化修正Logistic模型時，-b=a+c是一項不可或缺的條件，此條件是基于相對化的修正Logistic模型獲得的，且此次研究僅包括冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物，對于其他作物，仍需研究其相對化的修正Logistic模型，進(jìn)而建立對應(yīng)的簡化模型。實際上一些學(xué)者研究結(jié)果也顯示類似結(jié)果，如文獻(xiàn)[41]利用10組實驗數(shù)據(jù)的平均值建立了葉面積指數(shù)與相對生育期之間的修正Logistic模型，模型擬合結(jié)果顯示，其參數(shù)關(guān)系也滿足-b=a+c，而本次研究中所采用的相對有效積溫也可代表作物的相對生育期，因此作物相對生育期與生長指標(biāo)之間的關(guān)系仍需進(jìn)行深入研究，進(jìn)而明晰其對應(yīng)模型參數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步簡化修正的Logistic模型。

實際生產(chǎn)中，作物成熟度主要依靠人的經(jīng)驗來判斷，因此相較于作物真實停止生長發(fā)育的時期，人為判斷的收獲期可能提前或者推后。本研究利用修正Logistic模型，計算了所收集的各組數(shù)據(jù)對應(yīng)的最大有效積溫，發(fā)現(xiàn)冬小麥的最大有效積溫在1 550～1 675℃之間，夏玉米在1 810～2 012℃之間，水稻在1 314～1 460℃之間，不同地區(qū)作物生長所需的最大有效積溫不同，并且由北向南，作物所需積溫呈現(xiàn)出由小變大的趨勢。因此初步判定，作物生長所需的有效積溫與作物種植地區(qū)有關(guān)，平均氣溫較高的地區(qū)，作物生長所需的有效積溫也相對較高。此后應(yīng)深入分析不同地區(qū)作物生長所需有效積溫的空間變異情況，進(jìn)一步把握不同地區(qū)、不同作物的生長態(tài)勢。

綜上，本研究基于修正Logistic模型，建立了冬小麥、夏玉米、水稻3種作物更易于推廣和普及的葉面積指數(shù)簡化模型，減少了模型參數(shù)，更易于預(yù)測作物產(chǎn)量，提高農(nóng)業(yè)生產(chǎn)效率，對于建立其他作物的葉面積指數(shù)簡化Logistic模型具有一定的指導(dǎo)和借鑒意義。

5 結(jié)論

(1)在相對化修正Logistic模型中，參數(shù)b與c之間存在線性關(guān)系，隨著參數(shù)c的增大，b逐漸減小，并且其斜率受作物葉面積指數(shù)達(dá)到最大值時對應(yīng)的相對有效積溫的影響，不同作物的斜率不同，冬小麥斜率最小，水稻斜率最大。

(2)在相對化修正Logistic模型中，參數(shù)a、b、c之間滿足-b=a+c的關(guān)系，通過3種作物擬合數(shù)據(jù)進(jìn)行了驗證，結(jié)果表明，模型擬合效果較好。

(3)在相對化修正Logistic模型中，參數(shù)a與c之間存在正相關(guān)關(guān)系，隨著c的增大，a逐漸增大，其斜率與作物葉面積指數(shù)達(dá)到最大值的1/2時所對應(yīng)的相對有效積溫有關(guān)，3種典型作物中，冬小麥斜率最小，水稻斜率最大。

(4)在相對化修正Logistic模型的基礎(chǔ)上，結(jié)合各參數(shù)之間的關(guān)系，建立了冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物相對葉面積指數(shù)的單參數(shù)Logistic模型。模型評價結(jié)果表明，其計算結(jié)果與實際相對葉面積指數(shù)之間不具有顯著性差異，且對相對葉面積指數(shù)變化過程擬合效果較好。該模型可以用于描述冬小麥、夏玉米和水稻3種典型作物相對葉面積指數(shù)的變化過程。