《二次函數(shù)最值問題的探究》課例

王立

一、課例背景

二次函數(shù)是高中數(shù)學的難點也是重點，尤其當二次函數(shù)遇到絕對值時，學生更是無從下手！學生剛剛上高中，對分類討論的思想還很不熟悉，不知道如何討論，為了更好的研究這類問題，本人特意開了一節(jié)含絕對值的二次函數(shù)最值問題的公開課。

二、課堂實錄

師：同學們，二次函數(shù)是我們初中就開始接觸的一類基本函數(shù)，這類函數(shù)在高中也是很重要的，而命題者往往習慣將二次函數(shù)加以變形來考查大家。那么這節(jié)課我們就一同學習一下《含絕對值二次函數(shù)最值問題的二次教學》。（教師書寫板書標題）。

師：首先請大家先做下面一道題：

例：已知函數(shù) ，求 最小值。

生1：先討論去掉絕對值

然后就作圖（學生敘述，教師板書畫草圖）

師：這里畫圖時其實就是兩個二次函數(shù)中的一部分，需要注意的是：一、對稱軸的位置和分界點“1”的位置之間的關系，二，分界點處的函數(shù)值唯一，即分界點無論代到哪個解析式，得到的值都應該是一樣的。

師：接下來我們一起來做一下杭州二中的一次模擬試題

已知函數(shù) ， ，求 在 內的最大值。

由于時間關系，這里教師給學生思考的時間比較短，大概四五分鐘左右。

師：誰來說一下你的思路？

生7：先討論去掉絕對值

然后討論兩個對稱軸 和 與分界點之間的關系。

師：很好，那應該有幾種情況呢？

生7：

生7：然后分為 ， ，

由于時間關系，后面的具體過程由教師板書書寫，

（1）當 時，即 時，作圖有

如圖可知 .

（2）當 時，即 時，作圖有

如圖可知

因為 ，所以

所以

所以當 時， ;

當 時， .

（3）當 時，即 時，作圖有

如圖可知 .

又 ，所以 。

即 .

師：我們這節(jié)課了解到了解決這種含絕對值的二次函數(shù)最值問題需要用到分類討論思想和數(shù)形結合思想，其中分類討論主要是討論對稱軸和分界點之間的關系。大家這節(jié)課表現(xiàn)的非常好，為了我們的表現(xiàn)給自己一點鼓勵。

三、課后反思

本節(jié)課《含有絕對值的二次函數(shù)最值的二次教學》也是學考的一個重點及難點，它一般出現(xiàn)在學考的最后一道解答題中，難度很大，針對高二的學生既沒有經過系統(tǒng)的復習，又沒有參加過第一次學考，難度不言而喻。

這節(jié)課沒有選擇投影的主要原因在于這節(jié)課要用到數(shù)形結合，而畫圖這里如果用幾何畫板給學生展示，那么學生做題時可能還會出現(xiàn)不會畫的情況，所以本節(jié)課采用傳統(tǒng)的板書，沒有利用任何多媒體。

但是，由于時間關系，最后一道解答題教師只讓學生說了解題思路，而畫圖及具體的解法完全由教師本人書寫，這樣的教學效果其實是和本人設計的初衷是有一些出入的。

其實本節(jié)課一共就講三道題，而第二題中學生的問題就已經展現(xiàn)出來了，即分類討論不知道從何處下手，所以耽誤的時間較多，如果本人提前將例題即變式給學生，即做成“學思案”，作為課前預習內容，那么這節(jié)課可能會效果好得多，既可以留下更多的時間讓學生去思考最后一道題，讓學生感受分類討論和數(shù)形結合的思想，而且也正好符合高中數(shù)學學科素養(yǎng)的邏輯推理素養(yǎng)。