三角形內(nèi)角和定理的證明　教學(xué)設(shè)計

潘維松

一、指導(dǎo)思想與理論依據(jù)

在《數(shù)學(xué)新課程標(biāo)準(zhǔn)》中強(qiáng)調(diào)要以學(xué)生發(fā)展為本，特別重視發(fā)揮學(xué)生主體在認(rèn)識活動中的主動和能動作用?；谶@樣的思考，我設(shè)計了三角形內(nèi)角和定理的證明這節(jié)課。課標(biāo)要求數(shù)學(xué)教學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上。本節(jié)課通過對三角形內(nèi)角和定理的證明，調(diào)動學(xué)生關(guān)于平行線的性質(zhì)的相關(guān)知識和邏輯證明的相關(guān)經(jīng)驗，在此基礎(chǔ)上經(jīng)過討論，探究，進(jìn)而給出證明，學(xué)生能清晰、有條理的表達(dá)自己的思考過程。在典例解析，合作探究這個環(huán)節(jié)引導(dǎo)學(xué)生積極參與合作、探究、解決問題的全過程，使學(xué)生在自主學(xué)習(xí)、探索、交流中會學(xué)數(shù)學(xué)和樂學(xué)數(shù)學(xué)，力求體現(xiàn)“以學(xué)生發(fā)展為本”的指導(dǎo)思想。

二、教學(xué)背景分析

（一）教材分析

三角形的內(nèi)角和定理是從“數(shù)量關(guān)系”來揭示三角形內(nèi)角之間的關(guān)系的，是三角形的一個重要性質(zhì)，既是今后幾何推理的重要依據(jù)，又是計算角度的重要方法，還為解決四邊形和多邊形的內(nèi)角奠定了基礎(chǔ)提供了方法。其中輔助線的作法、把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，構(gòu)造了新圖形、形了成新關(guān)系，實現(xiàn)了未知與已知的轉(zhuǎn)化，起到了解決問題的橋梁作用。

基于此，確定本節(jié)課的教學(xué)重點探索證明三角形內(nèi)角和定理的不同方法。

（二）學(xué)情分析

根據(jù)經(jīng)驗，在本節(jié)課學(xué)習(xí)之前， 學(xué)生在小學(xué)里對“三角形內(nèi)角和是180°”這個結(jié)論有了一定直觀認(rèn)識，前面又學(xué)習(xí)了三角形的有關(guān)概念，平角定義和平行線的性質(zhì)，為三角形內(nèi)角和定理的證明做了鋪墊。但學(xué)生并末真正去論證過，尤其是輔助線的作法學(xué)生在幾何證明過程中接觸不多。 基于此，確定本節(jié)課的教學(xué)難點運用添加輔助線的方法對三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明。

三、教學(xué)目標(biāo)設(shè)置

知識技能：掌握三角形內(nèi)角和定理的證明和簡單應(yīng)用，初步學(xué)會作輔助線的方法進(jìn)行證明。

數(shù)學(xué)思考：通過探索三角形內(nèi)角和定理的證明過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、猜想、和推理論證能力，體會“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想。

問題解決：能綜合運用平行線的性質(zhì)和添加輔助線的方法解決三角形內(nèi)角和定理的證明問題，形成解決問題的一些基本策略。

情感態(tài)度：通過一題多證、一題多變激發(fā)學(xué)生勇于探索、合作交流的精神，體驗成功的樂趣，引導(dǎo)學(xué)生的個性發(fā)展。形成與他人交流、合作的意識和探究精神。

教學(xué)重點難點：

教學(xué)重點：利用一次函數(shù)的圖象和性質(zhì)解決與一次函數(shù)相關(guān)的面積問題。

教學(xué)難點：在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的常用方法及對三角型面積的各種方法的歸納提升。

四、教學(xué)策略分析

教學(xué)方法：

教學(xué)中采用引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)法、嘗試探究法，讓他們自主探索、合作交流，充分發(fā)揮學(xué)生學(xué)習(xí)的積極主動性，讓他們在展示中體驗成功的快樂，培養(yǎng)他們的思維能力與創(chuàng)新精神。

教學(xué)手段：

本節(jié)課選擇多媒體輔助教學(xué)，同時借助幾何畫板，為學(xué)生自主探究和發(fā)現(xiàn)新知提供必要的技術(shù)支持

五、教學(xué)過程

（一）觀察情境 探索問題

在一個直角三角形里住著三個內(nèi)角，平時，它們?nèi)值芊浅F(tuán)結(jié)可是有一天，老二突然不高興，發(fā)起脾氣來，它指著老大說：“你憑什么度數(shù)最大，我也要和你一樣大！”“不行??！”老大說：“這是不可能的，否則，我們這個家就再也圍不起了……”“為什么？” 老二很納悶。

同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？

三角形藍(lán)和三角形紅見面了，藍(lán)炫耀的說：“我的面積比你大，所以我的內(nèi)角和也比你大！”紅不服氣的說：“那可不好說噢，你自己量量看！” 藍(lán)用量角器量了量自己的內(nèi)角和，就不再說話了！

同學(xué)們，你們知道其中的道理嗎？

1.提出問題：

（1）“三角形內(nèi)角和是180°”一定是個真命題嗎？你是怎樣知道的？

（2）你都可以運用什么方法來驗證這個結(jié)論呢

教師引導(dǎo)學(xué)生用手中的工具對結(jié)論進(jìn)行驗證：度量，折紙，剪拼。

教師指出：任何實驗都會有誤差，即使全班同學(xué)都各自剪出了不同形狀的三角形，但也不能就此說明所有的三角形都具有這一共性。那么怎樣才能說明“三角形內(nèi)角和是180°”的真實性呢？只有經(jīng)過嚴(yán)格的幾何證明，證明命題的正確性，才能說明他的真實性，才能作為定理。

（二）尋找方法 研究規(guī)律

學(xué)生思考與180°有關(guān)的角后回答，可拼成：①平角，②兩平行線間的同旁內(nèi)角。教師引導(dǎo)，要把三角形三個內(nèi)角轉(zhuǎn)化為上述兩種角，就要在原圖形上添加一些線，這些線叫做輔助線，在平面幾何里，輔助線常畫成虛線，添輔助線是解決問題的重要思想方法。如何把三個角轉(zhuǎn)化為平角或兩平行線間的同旁內(nèi)角呢？下面同學(xué)們利用準(zhǔn)備好的3三角形紙片拼一拼，畫一畫。

1.我探究我快樂

每個學(xué)生畫出一個三角形，并將它的內(nèi)角剪下，分小組做拼角實驗。通過小組合作交流，討論有幾種拼合方法？

1、開展小組競賽（看哪個小組發(fā)現(xiàn)多？說理清楚。），各小組派代表展示拼圖，并說出理由。

學(xué)生各抒已見，暢所欲言，鼓勵學(xué)生傾聽他人的方法。

歸納：可以搬一個角用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”來說理，也可以搬兩個角、三個角用“平角定義”說明。引導(dǎo)學(xué)生合理添加輔助線（學(xué)生討論，教師點評），為書寫證明過程做好鋪墊。

組員之間交流思路，探索不同證明方法，形成共識，準(zhǔn)備展示。（寫到展示板上）

2.我展示我精彩

小組交流之后，請學(xué)生代表展示

教師預(yù)設(shè)方法：

延長BC，過C作CE∥AB ? ? ? ? ? ? ? ?過A作MN∥BC

在BC上任取一點D，

過D分別作DM∥AC，DN∥AB

在△ABC內(nèi)部任取一點D， ? ? ? ? ? ? ? ? 在△ABC外部任取一點D，過D點

過P點作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。 ? ? ? ? ?作MN∥BC，EF∥AB，GH∥AC。

學(xué)生可能還有其它畫法。

“抓住根本” 抓住“把三個角‘搬到一起，讓三個頂點重合、兩條邊形成一條直線，以便利用平角的定義”這一基本思想，可以把三個角集中到三角形的某一個頂點;可以把三個角集中到三角形的某一邊上;可以把三個角集中到三角形的內(nèi)部的一點;可以把三個角集中到三角形的外部的一點。學(xué)數(shù)學(xué)要善于抓住不變的根本，又要靈活地在變化中認(rèn)識、處理和解決問題。讓學(xué)生學(xué)會“抓住根本”，而不在于有幾種證明方法。培養(yǎng)學(xué)生的推理與證明能力。

過A作AN∥BC

也可以搬一個角用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”來說理，

教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行證明：三角形的內(nèi)角和等于180°這是一個文字命題，證明時需要先干什么呢？（需要先畫出圖形，根據(jù)命題的條件和結(jié)論，結(jié)合圖形寫出已知、求證。）

已知：如圖，△ABC

求證：∠A+∠B+∠C=180°

證明：作BC的延長線CD，過點C作射線CE∥BA.

∵CE∥BA

∴∠B=∠ECD（兩直線平行，同位角相等）

∠A=∠ACE（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）

∵∠BCA+∠ACE+∠ECD=180°

∴∠A+∠B+∠ACB=180°（等量代換）

你能用其他添加輔助線的方法，證明三角形內(nèi)角和定理嗎？

（4）平面直角坐標(biāo)系中的求三角形面積的萬能方法（特屬于平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法）

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點A（0，3）、B（1，4）、C（3，0）是△ABC

的三個頂點，

（1）求直線AC解析式

（2）求△ABC的面積。

3.我歸納我提升

在平面直角坐標(biāo)系中，求圖形面積的方法有

教師和學(xué)生共同總結(jié)：

1.割補(bǔ)法：就是分割與補(bǔ)形。

2.證垂直的方法的關(guān)鍵是猜想，猜想是在對研究的對象或問題進(jìn)行觀察、分析、比較等基礎(chǔ)上，依據(jù)已有的材料和知識做出推測性想象的思維方法。

3.作平行線法，我們選擇這種方法，對平行線間的面積首先要理解兩個性質(zhì)：1平行線間的距離處處相等;2等底等高的三角形面積相等。

4. 平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的萬能方法（特屬于平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法）平面直角坐標(biāo)系中任意一個三角形的面積都可以寫成（ ×水平寬×鉛垂高）。

（三）變式練習(xí) ?歷練能力（我練習(xí)我成功）

已知：在平面直角坐標(biāo)系中，點A、B、C是△ABC的三個頂點，

1.求直線AB解析式;

2.求△ABC的面積。

【設(shè)計意圖】通過變式練習(xí)，使學(xué)生練習(xí)的過程中，鞏固在平面直角坐標(biāo)系中求三角形面積的方法，重點練習(xí)水平寬和鉛垂高的方法。