圓弧齒線圓柱齒輪接觸應(yīng)力預(yù)測模型研究*

童 欽，張 祺，梁 君，侯 力

(1.綿陽師范學(xué)院 機(jī)電工程學(xué)院，四川 綿陽 621000;2.攀枝花學(xué)院 智能制造學(xué)院，四川 攀枝花 617000;3.四川大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，四川 成都 610065)

0 引 言

齒輪被廣泛應(yīng)用于工業(yè)的各個(gè)行業(yè)[1]，其中，漸開線圓柱齒輪是應(yīng)用最廣泛的圓柱齒輪。但漸開線圓柱齒輪中，直齒圓柱齒輪的承載力有限；而斜齒輪則存在軸向力，人字齒輪的加工工藝又過于復(fù)雜，故漸開線齒輪都存在種種的不足[2]。

為解決漸開線齒輪的不足，日本學(xué)者長谷川吉三郎等人[3]提出了一種新型圓弧齒線齒輪傳動(dòng)裝置。這種新型的齒輪傳動(dòng)具有嚙合性能好、重合度高、無軸向力、傳動(dòng)平穩(wěn)等優(yōu)點(diǎn)。針對(duì)這種齒輪，學(xué)者們也進(jìn)行了深入的研究。Tseng等人[4-7]先后對(duì)其數(shù)學(xué)模型、根切條件、接觸等方面進(jìn)行了研究；曹磊等人[8]對(duì)圓弧齒線齒輪的精確三維建模方式進(jìn)行了研究；馬登秋等人[9]研究了其接觸分布；陳帥等人[10]研究了其動(dòng)態(tài)接觸；王虹等人[11-13]針對(duì)圓弧齒線齒輪的接觸性能進(jìn)行了研究。

為研究圓弧齒線齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)其接觸應(yīng)力的影響，筆者提出利用Kriging代理模型來建立圓弧齒線齒輪的設(shè)計(jì)參數(shù)(齒寬、模數(shù)、壓力角、齒線半徑)與圓弧齒輪接觸應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型；為提高Kriging模型的建模精度，筆者采用鯨魚優(yōu)化算法(WOA)對(duì)傳統(tǒng)Kriging模型變異函數(shù)的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化。

1 圓弧齒輪數(shù)學(xué)模型

根據(jù)其成形原理[14-16]，圓弧齒線圓柱齒輪的成形原理坐標(biāo)系如圖1所示。

圖1 圓弧齒線圓柱齒輪成形原理坐標(biāo)系R—加工齒坯的分度圓半徑；RT—加工刀具的刀盤半徑；Rn—加工刀具分度圓切線方向上內(nèi)刃半徑；Rw—加工刀具分度圓切線方向上外刃半徑，Rw=RT+πm/4；m—齒輪模數(shù)；ω—加工刀具的刀盤旋轉(zhuǎn)角速度；VT—加工刀具的刀盤移動(dòng)速度

圖1中，S(O—XYZ)為靜止坐標(biāo)系，S1(O1—X1Y1Z1)為齒坯固化坐標(biāo)，ST(OT—XTYTZT)為刀具坐標(biāo)；它以VT=R×ω的速度相對(duì)于S(O—XYZ)坐標(biāo)移動(dòng)。

在ST(OT—XTYTZT)坐標(biāo)系統(tǒng)中，刀具切制過程中所形成的曲面參數(shù)方程的矢量表達(dá)式為：

(1)

式中：a—加工刀具切削刃的壓力角；θ—齒坯當(dāng)前包絡(luò)點(diǎn)到中間截面的轉(zhuǎn)角；q—刀盤坐標(biāo)系中刀具切削面上的點(diǎn)沿切削錐面母線方向距離包絡(luò)參考點(diǎn)的長度。

將ST(OT—XTYTZT)變換到S(O—XYZ)，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(2)

將S(O—XYZ)變換到S1(O1—X1Y1Z1)，其坐標(biāo)轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

(3)

如果將ST(OT—XTYTZT)轉(zhuǎn)換到S(O—XYZ)，則坐標(biāo)變換矩陣為：T1T=T10T0T。

1.1 刀具曲面的單位法向矢量

刀具曲面方程為：

(4)

(5)

1.2 刀具和齒輪在嚙合點(diǎn)的相對(duì)速度

由于：

(6)

則刀具與齒輪在嚙合點(diǎn)處的相對(duì)速度為：

(7)

1.3 嚙合函數(shù)Г

基于嚙合原理，嚙合函數(shù)表示如下：

(8)

因?yàn)棣?≠0，由上式可以得出:

(9)

1.4 共軛曲面

將式(9)代入式(1)中，則刀具與被加工齒輪接觸線方程為：

(10)

將ST(OT—XTYTZT)中的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換到S1(O1—X1Y1Z1)后，可以獲得所切制齒輪的齒面方程為：

(11)

1.5 瞬時(shí)接觸線

嚙合函數(shù)Г=Г(q,θ,φ)是參數(shù)變量q,θ,φ的函數(shù)。因?yàn)棣?=ω1t，在此將φ1看作是某一瞬時(shí)代入Г的一個(gè)函數(shù)，從而可得到此刻齒條刀具和齒坯的瞬時(shí)接觸線的函數(shù)表達(dá)式。

如果把任意時(shí)刻的φ1值代入式(7)，就能得到整個(gè)表面的接觸線方程為：

(12)

1.6 齒廓方程

在齒輪軸向中間截面，由其展成坐標(biāo)系可知：b=0，那么θ也為零。將這兩個(gè)值代入式(11)中，得到中間截面的齒廓方程為：

(13)

根據(jù)式(13)可以看出，該齒輪軸向?qū)ΨQ面的齒廓形狀為漸開線。

同理，在軸向非對(duì)稱面上，令z1=b，根據(jù)式(11)中Z1和q的表達(dá)式，可以得到：

φ={[-b/tanθ+(RT±πm/4)cosθ]/sin2α-
(RT+πm/4)cosθ-RT}/R

(14)

從而可得到非中間截面的齒廓的表達(dá)式為：

(15)

2 基于有限元的圓弧齒線圓柱齒輪接觸應(yīng)力分析

基于有限元的圓弧齒線圓柱齒輪接觸應(yīng)力分析步驟如下：

(1)模型材料屬性定義

在ABAQUS中建立材料信息，如彈性模量E=2.08 MPa，泊松比=0.298，材料17CrNiMo6。

(2)建立分析步和相互作用

建立分析步，主要包括：定義分析類型(static)、定義分析增量步、確定迭代方法，創(chuàng)建場變量與歷史變量，并確定輸出參數(shù)，開啟非線性，定義相互作用為接觸，設(shè)置圓弧齒線齒輪副有限元分析的接觸類型為“無摩擦”；主動(dòng)與從動(dòng)以各自旋轉(zhuǎn)中心建立MPC(multi-point constrain)約束。

(3)施加約束和力矩

在主動(dòng)輪上施加扭矩，其大小為6.08×104N·mm；同時(shí)，對(duì)主動(dòng)輪添加MPC約束，并將其旋轉(zhuǎn)軸方向設(shè)置為自由，其他旋轉(zhuǎn)和平移設(shè)置為固定。對(duì)于從動(dòng)輪而言，MPC固定約束,全向固定。

(4)網(wǎng)格劃分

筆者采用掃掠方式對(duì)齒輪副進(jìn)行網(wǎng)格畫分。網(wǎng)格類型采用C3D8I，齒輪整體的單元大小設(shè)置為2 mm,接觸區(qū)域進(jìn)行局部細(xì)分，大小設(shè)置為0.02 mm。如果不滿足要求，則要繼續(xù)調(diào)整參數(shù)。在后續(xù)計(jì)算中，可以進(jìn)一步細(xì)化網(wǎng)格，提高劃分質(zhì)量，并通過多次試算對(duì)比分析結(jié)果；若計(jì)算結(jié)果變化不大，則該網(wǎng)格可作為最終分析網(wǎng)格。

分析過程中，應(yīng)對(duì)接觸區(qū)域進(jìn)行局部細(xì)分，每對(duì)齒輪的網(wǎng)格數(shù)量大概在1.2×106個(gè)左右。

齒輪網(wǎng)格劃分結(jié)果如圖2所示。

圖2 齒輪網(wǎng)格劃分結(jié)果

(5)求解與可視化

考慮每對(duì)齒輪的網(wǎng)格數(shù)量大概在1.2×106個(gè)左右，故求解時(shí)采用并行計(jì)算。求解后的主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的應(yīng)力云圖如圖3所示。

由圖3的仿真分析結(jié)果可以看出：接觸區(qū)域?yàn)榭拷侄葓A附近；主動(dòng)輪的接觸區(qū)域該在分度圓以上，且最大應(yīng)力值為503.3 MPa；從動(dòng)輪的接觸區(qū)域該在分度圓以下，且最大應(yīng)力值為501 MPa，故接觸應(yīng)力的最大值為503.3 MPa；且主動(dòng)輪與從動(dòng)輪之間的差值為2.3 MPa，僅為接觸應(yīng)力最大值的0.457 0%，幾乎一致，可以忽略。

同樣，通過圖3可以看出，在載荷的作用下，筆者所研究的齒輪其接觸區(qū)域?yàn)闄E圓，正確地印證了點(diǎn)接觸齒輪在載荷的作用下接觸區(qū)域?yàn)闄E圓的事實(shí)。

圖3 主動(dòng)輪和從動(dòng)輪的應(yīng)力云圖

3 基于代理模型的齒線圓柱接觸應(yīng)力預(yù)測模型

3.1 試驗(yàn)設(shè)計(jì)與響應(yīng)結(jié)果

常用的試驗(yàn)設(shè)計(jì)方法主要有均勻試驗(yàn)設(shè)計(jì)、正交試驗(yàn)設(shè)計(jì)、拉丁方試驗(yàn)設(shè)計(jì)等方法，本文研究了齒寬、模數(shù)、壓力角、齒線半徑與接觸力之間的關(guān)系，利用回歸正交試驗(yàn)法原理設(shè)計(jì)仿真方案選擇了4個(gè)因素3個(gè)水平,齒輪設(shè)計(jì)因素水平表如表1所示。

表1 齒輪設(shè)計(jì)因素水平

本文采用正交試驗(yàn)進(jìn)行了樣本抽樣，然后利用有限元方法得到了不同樣本數(shù)據(jù)下的齒輪的接應(yīng)力，根據(jù)正交表可知，抽樣的樣本為9個(gè)樣本,L9(34)正交試驗(yàn)圓弧齒輪接觸應(yīng)力仿真結(jié)果如表2所示。

表2 L9(34)正交試驗(yàn)圓弧齒輪接觸應(yīng)力仿真結(jié)果

3.2 改進(jìn)Kriging模型

3.2.1 Kriging代理模型

在解決非線性程度較高的問題時(shí)，Kriging(克里金)模型可較容易地獲得理想的擬合結(jié)果，其插值結(jié)果定義為已知樣本函數(shù)響應(yīng)值的線性加權(quán)，即：

(16)

式中：fj(x)—函數(shù)，一般為多項(xiàng)式；βj—相對(duì)應(yīng)的系數(shù)；Z(x)—靜態(tài)隨機(jī)過程，其滿足均值為0，方差為σ2。

且對(duì)于設(shè)計(jì)空間內(nèi)，不同兩點(diǎn)處所對(duì)應(yīng)的隨機(jī)變量之間的協(xié)方差為：

Cov[Z(xi),Z(xj)]=σ2R(xi,xj)

(17)

(18)

式中：R(xi,xj)—相關(guān)性函數(shù)，它表示不同位置處隨機(jī)變量之間的相關(guān)性，常用的相關(guān)性函數(shù)為高斯型函數(shù)。

式(18)中，θ為Kriging模型的變差函數(shù)的參數(shù)，其大小通過極大似然估計(jì)法求解優(yōu)化問題的方式來確定，即：

(19)

為保證Kriging預(yù)測值與真實(shí)函數(shù)值之間的均方根誤差(RMSE)最小，Kriging模型的近似表達(dá)式為：

(20)

3.2.2 鯨魚算法

鯨魚算法的原理來自于座頭鯨的“泡泡網(wǎng)”覓食行為，基于這一特殊捕食策略的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

D=|C·X*(t)-X(t)|

(21)

X(t+1)=X*(t)-A·D

(22)

式中：t—當(dāng)前迭代次數(shù)；X(t)—當(dāng)前一座頭鯨的坐標(biāo)向量；X(t+1)—下一次迭代后的目標(biāo)坐標(biāo)向量；X*(t)—到目前得到的最佳位置向量，它將隨時(shí)間不斷更新；D—當(dāng)前這條座頭鯨和最佳位置之間的距離。

上式(21～22)中，A和C是系數(shù)，其表達(dá)式分別表示為:

A=2a·r-a

(23)

C=2r

(24)

式中：a—在值域[0,2]上并隨迭代時(shí)間線性遞減的參數(shù)；r—區(qū)間[0,1]內(nèi)的隨機(jī)向量。

當(dāng)|A|>1時(shí)，對(duì)應(yīng)鯨魚群的游走覓食行為。利用種群的隨機(jī)個(gè)體坐標(biāo)Xrand來定位導(dǎo)航尋找食物,其數(shù)學(xué)表達(dá)式如下：

X(t+1)=Xrand(t)-A·D

(25)

當(dāng)|A|<1時(shí)，對(duì)應(yīng)鯨魚群的包圍捕食和攻擊獵物這兩種行為，其數(shù)學(xué)模型描述如下：

X(t+1)=X*(t)-D·ebl·cos(2πl(wèi))

(26)

式中：b—與螺旋形狀的常數(shù)；l—區(qū)間[-1,1]上的隨機(jī)數(shù)。

由于鯨魚的收縮包圍機(jī)制和螺旋更新位置是一種同步行為，筆者在數(shù)學(xué)上選取概率相同方式來對(duì)其進(jìn)行位置更新，于是可以得到以下表達(dá)式：

(27)

根據(jù)基于Kriging和WOA算法，基于WOA算法的Kriging代理模型改進(jìn)流程如圖4所示。

圖4 基于WOA算法的Kriging代理模型改進(jìn)流程

4 數(shù)值仿真

筆者利用Matlab數(shù)字仿真平臺(tái)，分別利用Kriging和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法，建立了圓弧齒輪接觸應(yīng)力的預(yù)測模型。

優(yōu)化前后，相關(guān)系數(shù)(R2)均方根誤差(RMSE)以及相對(duì)最大絕對(duì)誤差(RMAE)評(píng)價(jià)指標(biāo)情況如表3所示。

表3 優(yōu)化前后評(píng)價(jià)指標(biāo)情況

從表3中可以看出：

(1)相關(guān)系數(shù)(R2)從0.992 2提高到了0.997 4，提高了0.52%，且更加接近于1；優(yōu)化后的Kriging模型全局近似能力更好(RMSE用于表示估計(jì)值與真實(shí)值之間減值大小)；

(2)優(yōu)化后，RMSE從2.856 9降低到1.654 0，降低了42.11%，則說明優(yōu)化后的Kriging模型能夠更好地對(duì)樣本進(jìn)行估計(jì)；

(3)優(yōu)化后，RMAE從0.132 2降低到0.075 4，降低了42.97%，且更加接近于0，則說明其優(yōu)化后減少了局部誤差。

綜合來看，采用WOA算法對(duì)Kriging算法進(jìn)行改進(jìn)，提升了Kriging算法的擬合能力和精度。

利用Kriging和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法，筆者分別建立了圓弧齒輪接觸應(yīng)力預(yù)測模型的測試集殘差圖，分別如圖5、圖6所示。

圖5 基于Kriging的圓弧齒輪接觸應(yīng)力預(yù)測模型殘差圖

圖6 基于WOA-Kriging的圓弧齒輪接觸應(yīng)力預(yù)測模型殘差圖

從圖5、圖6中可以看出：

(1)基于傳統(tǒng)Kriging算法和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法均能很好地建立圓弧齒輪接觸應(yīng)力預(yù)測模型，精度都在可使用的范圍之內(nèi)；

(2)Kriging的誤差范圍在[-2,4]，而基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法誤差范圍在[0,3]，由此可見，采用改進(jìn)的Kriging算法，其精度得到了明顯的提高。

5 結(jié)束語

為研究圓弧齒線圓柱齒輪設(shè)計(jì)參數(shù)對(duì)其接觸應(yīng)力的影響，筆者利用Kriging代理模型建立了齒輪的齒寬、模數(shù)、壓力角、齒線半徑與圓弧齒輪接觸應(yīng)力的數(shù)學(xué)模型，同時(shí)，提出了一種基于鯨魚優(yōu)化算法(WOA)的Kriging模型建模方法，通過鯨魚優(yōu)化算優(yōu)化傳統(tǒng)Kriging模型變異函數(shù)的參數(shù)，提高Kriging模型的建模精度。

研究所得到的結(jié)論如下：

(1)基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法，相關(guān)系數(shù)(R2)從0.992 2提高到了0.997 4，MSE從2.856 9降低到1.654 0，RMAE從0.132 2降低到0.075 4，改進(jìn)后的算法其相關(guān)系數(shù)(R2),均方根誤差(RMSE)以及相對(duì)最大絕對(duì)誤差(RMAE)均得到了不同程度的改良，提高了傳統(tǒng)Kriging算法的全局近似能力，減少了局部誤差，提升了擬合精度；

(2)基于傳統(tǒng)的Kriging算法和基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法均能很好地建立圓弧齒輪接觸應(yīng)力預(yù)測模型，精度都在可使用的范圍之內(nèi)，但是Kriging的誤差范圍在[-2,4]，而基于WOA算法改進(jìn)的Kriging算法誤差范圍在[0,3]；精度得到了明顯的提高，能夠?yàn)槠鋬?yōu)化設(shè)計(jì)參數(shù)和各參數(shù)對(duì)其接觸應(yīng)力影響的顯著性分析，提供更加精確的數(shù)學(xué)模型。