面心和體心立方晶體中映像規(guī)則判斷始滑移系的原理

楊曉冬， 楊靜

(1. 華僑大學 材料科學與工程學院， 福建 廈門 361021; 2. 廈門大學 化學化工學院， 福建 廈門 361005)

單晶體系是研究材料塑性變形的最簡單體系,諸多塑性變形理論均是在單晶體系中提出并發(fā)展的.Schmid等[1-2]對金屬晶體的塑性變形進行總結，并提出著名的Schmid定律.Schmid定律可以表述為對同種材料但取向不同的單晶試樣棒進行拉伸，滑移總發(fā)生在特定的平面和方向上，且在滑移啟動時，分解到滑移發(fā)生的平面和方向上的臨界分切應力為定值.滑移面和滑移方向的空間組合稱為滑移系,最先開動滑移的系統(tǒng)稱為始滑移系.顯然，在所有的滑移系中，始滑移系的分切應力最大.在晶體上施加任意載荷時，始滑移系的判斷方法通常有兩種：一是按照Schmid定律計算載荷在所有滑移系的分切應力，比較并確定數(shù)值最大的滑移系為始滑移系[3-6]；二是通過映像規(guī)則進行判斷[3,7]，映像規(guī)則也稱為Diehl規(guī)則[8-11]，應用于常見的面心立方晶體和體心立方晶體中.

映像規(guī)則是基于Schmid定律判斷始滑移系的方法總結而來的規(guī)律[3].在現(xiàn)有的資料中，僅有范群成等[12]根據(jù)“始滑移系的φ和λ同時接近中等值”定性地論述映像規(guī)則的原理，Kelly等[10]通過計算面心立方晶體和體心立方晶體的12組滑移系的Schmid因子，證明了映像規(guī)則的科學性.基于此，本文提出一種簡單、直接、易于理解且嚴謹?shù)淖C明方法，利用標準投影圖中力軸與滑移系的幾何關系解釋映像規(guī)則，并結合標準投影圖從數(shù)學角度證明映像規(guī)則.

1 映像規(guī)則

圖1 立方晶體(001)的標準投影圖Fig.1 (001) standard stereographic projection of cubic crystal

2 圖解映像規(guī)則

為了更直觀地在標準投影圖上展示力軸與滑移系的關系，在單晶試樣棒的單向拉伸立體圖上分解力軸與滑移系.圖2示意了力軸(F)、滑移面(法線N)和滑移方向T在單晶試樣棒上的幾何關系.通過簡單的運算，F(xiàn)分解到T方向上的分切應力τ[3-4,15]為

(1)

圖2 單晶棒的單向拉伸示意圖Fig.2 Schematic of uniaxial tension of single crystal rod

式(1)中：A0為試樣棒的截面面積;φ為力軸F與滑移面法線N的夾角;λ為F與滑移方向T的夾角;cosφ·cosλ為Schmid因子，用m表示，其數(shù)值越大，則分切應力越大.

為了便于理解，下文將統(tǒng)一稱平面N×T為滑移系平面.

由圖2可知以下邊界條件，即

，

(2)

(3)

(4)

Schmid因子可通過三角函數(shù)變換為

(5)

圖3 (001)標準投影圖中面心立方體的等價滑移系Fig.3 Physically distinct glide systems of face-centered cubic crystal in (001) stereographic projection

事實上，取向三角形中的部分區(qū)域并不能直觀地比較這3個滑移系平面的Schmid因子相對大小，究其原因主要有以下2點.

1) 在標準投影圖中，不能便捷、精確地測量夾角，只能通過曲線的長度定性地估算夾角[16]，但這是不準確的.例如，[111]與[001]，[010]的夾角相同，但顯然兩條線長度并不相同.

由此可知，通過“力軸靠近滑移系平面”和“夾角φ，λ接近”在標準投影圖上定性解釋映像規(guī)則有所局限，使用時需考慮其適用性.然而，此方法可直觀地呈現(xiàn)出映像規(guī)則的本質(zhì)是結合標準投影圖中的夾角φ，λ判斷Schmid因子大小，便于初學者快速理解映像規(guī)則.因此，需進一步通過數(shù)學計算求出Schmid因子前三強中的最大者，從而確定始滑移系，以證明映像規(guī)則.

圖4 外圍取向三角形的滑移系組合Fig.4 Glide systems of outer unit triangle

需要說明的是，[001]周圍的8個取向三角形均示意出3組滑移系(圖3)，但在外圍的16個取向三角形中，僅示意出一組或兩組滑移系，即只有一條或兩條虛線切過.事實上，根據(jù)立方晶體的周期性和對稱性，外圍16個取向三角形中均有3個滑移系平面切過.圖4補充了外圍取向三角形的滑移系平面.為了簡潔示意，以100-111-101，100-110-111取向三角形為例，對外圍取向三角形的滑移系平面進行補充.由圖4可知：當力軸位于外圍取向三角形時，仍可根據(jù)“力軸靠近滑移系平面”和“夾角φ，λ接近”快速篩選出3個最有可能的滑移系.

3 映像規(guī)則的數(shù)學證明

Schmid因子可通過矢量運算表達為

(6)

假設F為[uvw]，N為[h1k1l1]，T為[h2k2l2]，則式(6)可展開為

(7)

(8)

(9)

力軸F在取向三角形101-111-001的位置可分成以下3種情況：1) 位于三角形內(nèi)；2) 位于3條邊；3) 位于頂點.為了便于確認邊界條件和限制條件，將矢量F放回立方晶體的取向胞中.立方晶體取向胞，如圖5所示.圖5中：陰影區(qū)域為取向三角形101-111-001.矢量F可描述為起點位于O，經(jīng)過粉色區(qū)域的矢量.將矢量F和陰影區(qū)域的交點投影至取向胞中的三維坐標軸上，便可得到邊界條件.

圖5 立方晶體取向胞Fig.5 Unit cell of cubic crystal

(10)

(11)

同理，當F位于001-101邊時，v=0，0

(12)

(13)

當F位于101-111邊時，v

(14)

(15)

(16)

當力軸處于頂點處時，需考慮共頂點的所有三角形的滑移系.因為此時力軸相對于這些共頂點的三角形是等同的.例如，當力軸位于[001]時，需同時考慮共001頂點的8個取向三角形.如上文所述，每個取向三角形均有3個可能的滑移系.根據(jù)標準投影圖可以定性地篩選出切過每個共頂點三角形的3個滑移系.力軸位于頂點時的始滑移系，如圖6所示.

(a) [001] (b) [101] (c) [111]圖6 力軸位于頂點時的始滑移系Fig.6 Initial glide systems when tension force located at junctions

當力軸位于[001]時，由圖6(a)可知：篩選出的8個滑移系均關于力軸[001]對稱；8個滑移系的Schmid因子相等且最大，都是始滑移系.不難驗證，這8個始滑移系與根據(jù)映像規(guī)則判斷出的始滑移系相同.

同理，當力軸位于[111]時，無需考察經(jīng)過[111]的滑移系.由圖6(c)可知：定性篩選出的滑移系有4個，且關于[111]對稱，均為始滑移系，仍然符合映像規(guī)則.

綜上論述，在取向三角形101-111-001的任何位置均符合映像規(guī)則.由于立方晶體的高度對稱性和周期性，當力軸位于其他取向三角形，即立方晶體標準投影圖的所有位置，均可以運用映像規(guī)則判斷始滑移系.

4 結束語

將Schmid因子變換為關于φ+λ和φ-λ的余弦函數(shù)(式5)，并結合標準投影圖的力軸位置可知，當“力軸靠近滑移系平面”和“夾角φ，λ接近”時，Schmid因子最大，可以此確定始滑移系.此論述對映像規(guī)則進行形象的解釋，易于理解，十分適合初學者，也可供講授者參考.在此基礎上，進一步結合矢量運算，從數(shù)學角度證明力軸取向與始滑移系的關系符合映像規(guī)則.