辯證思維下高中數(shù)學(xué)例題講解分析

蘇燦強

(福建省安溪第一中學(xué) 362400)

數(shù)學(xué)學(xué)科學(xué)習(xí)過程中主要核心素養(yǎng)之一就是邏輯推理能力，也是數(shù)學(xué)教學(xué)的關(guān)鍵所在，夯實學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)基礎(chǔ).數(shù)學(xué)邏輯關(guān)系的培養(yǎng)，解題時明確條件與結(jié)論之間的因果關(guān)系，逐步形成數(shù)學(xué)邏輯思維能力.這就需要教師有目的地培養(yǎng)學(xué)生辯證思維習(xí)慣，提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量.

一、深入挖掘數(shù)學(xué)教材，找尋存在的辯證關(guān)系

數(shù)學(xué)主要研究現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系、因果邏輯和空間形態(tài)等的一種推理性學(xué)科，它雖來自于生產(chǎn)生活實踐，卻又在生產(chǎn)生活中有著廣泛應(yīng)用，同時也在科學(xué)研究領(lǐng)域擔(dān)任重要角色.利用數(shù)學(xué)這一特性，采用辯證唯物主義的思想和觀點對其內(nèi)容進行闡述，以此解釋數(shù)學(xué)中隱藏的辯證思想，培養(yǎng)和引導(dǎo)學(xué)生辯證思維能力的發(fā)展.

如，“數(shù)”的概念的產(chǎn)生和發(fā)展就是辯證思維的最好案例.“負數(shù)”搞定了“不能減”的問題；“分?jǐn)?shù)”搞定了“不能整除”的問題；“無理數(shù)”搞定了“開方不盡”的問題；“虛數(shù)”搞定了“負數(shù)不能開偶次方”的問題.當(dāng)“數(shù)”的定義從有理數(shù)擴展到“實數(shù)”后，增加了數(shù)的連續(xù)性，完成了四則運算以及開方中存在的問題，但卻因為域的增加失去了數(shù)的可數(shù)性；當(dāng)“數(shù)”從“實數(shù)”擴展到“復(fù)數(shù)”后，不僅能夠?qū)Υ鷶?shù)進行開方，同時解決了“負數(shù)”不能開偶次方的問題，但卻不總是能對數(shù)的大小進行比較.如此引導(dǎo)學(xué)生不斷地發(fā)現(xiàn)問題，分析問題，進而解決問題，然后又發(fā)現(xiàn)新的問題，新的矛盾，如此反復(fù)，對學(xué)生辯證思維進行培養(yǎng)，如此幫助學(xué)生正視問題，面對現(xiàn)實，積極主動先找解決問題的方法，幫助學(xué)生形成正確的人生觀，以便學(xué)生未來更好地進入社會.

二、打破常規(guī)解題模式，培養(yǎng)逆向思維能力

數(shù)學(xué)題目解答的第一步就是審題，學(xué)生審題時要梳理其中包含的知識點.實際解題時遇到難度較大的題目時，大部分學(xué)生會出現(xiàn)畏難情緒，這時教師要啟發(fā)學(xué)生轉(zhuǎn)變思維，利用逆向思維思考問題，從相反角度思考問題，可能會收到意外效果.高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中逆向思維集中體現(xiàn)的就是反證法與補集方法.

解析如果按照常規(guī)解題方法解答這道問題，需要將不等式轉(zhuǎn)為兩個不等式組，接著對這個不等式組進行求解.但如果學(xué)生引入補集思想，只需要求出一個不等式組的解即可.

這道例題解決時，需要利用全集I求出解集，就是運用典型的辯證思維.分析這道例題時可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)知識點學(xué)習(xí)時不能形成思維定式，眼光也不能只關(guān)注一個點，通過現(xiàn)象看到題目本質(zhì)，拓展學(xué)生思維，并習(xí)慣從不同教學(xué)視角思考與分析問題，也只有這樣才能提升解題效率與準(zhǔn)確率.

三、選擇合適的切入點，提高數(shù)學(xué)解題效率

數(shù)學(xué)習(xí)題解決時需要選擇合適的切入點，也就是選擇解題角度.如果數(shù)學(xué)題目條件比較繁雜，學(xué)生審題后經(jīng)常性出現(xiàn)思維混亂情況，無法選擇正確解題方向，也就無法提升解題效率.出現(xiàn)這種情況的根本原因就是學(xué)生無法從辯證角度看待數(shù)學(xué)問題，數(shù)學(xué)問題條件之間、條件與結(jié)論之間本身就是對立與統(tǒng)一的，造成解題時出現(xiàn)半途而廢的情況.

例2已知函數(shù)f(x)=2sinx-xcosx-x，f(x)的導(dǎo)數(shù)為f′(x).(1)求證：區(qū)間(0,π)內(nèi)f′(x)存在唯一零點；(2)當(dāng)x∈(0,π]時，函數(shù)f(x)≥ax，求a的取值范圍.

解這里主要講解第2個問題.通過題設(shè)：

f(x)≥ax及f(π)=0?a≤0 ①.

由第一問得出區(qū)間(0,π)內(nèi)f′(x)存在唯一零點，假設(shè)為x0②.

當(dāng)x∈(0,x0)時，f′(x)>0；當(dāng)x∈(0,π)，f′(x)<0.

∴(0,x0)區(qū)間內(nèi)f(x)單調(diào)遞增，區(qū)間(x0,π)內(nèi)f(x)單調(diào)遞減.

又∵f(0)=0，f(π)=0,

∴當(dāng)x∈(0,π)時，f(x)≥0,當(dāng)a≤0,x∈(0,π),ax≤0,得：f(x)≥ax③.

∴a取值范圍為(-∞,0] ④

評析這道題目不同于常規(guī)題型，組合學(xué)生熟悉的三角函數(shù)與一次函數(shù)，成為考查學(xué)生三角函數(shù)與一次函數(shù)，很多學(xué)生看到題目后無從下手.第二個問題中主要考查不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題，并結(jié)合常用的解題方法，利用“充分必要法”討論分界點或縮小討論范圍.

四、掌握構(gòu)造函數(shù)技巧，合理利用辯證思維

在高考數(shù)學(xué)試題的解題中，我們需要通過構(gòu)造條件與結(jié)論之間的“橋梁”來實現(xiàn)解題，其中構(gòu)造橋梁的方法就是“構(gòu)造法”.構(gòu)造函數(shù)法就是通過對題目的透徹分析，然后構(gòu)造出對應(yīng)的函數(shù)，并借助函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來完成求解.

總之，數(shù)學(xué)解題中培養(yǎng)學(xué)生辯證思維，也就是發(fā)展角度正確認(rèn)識數(shù)學(xué)知識.辯證思維建立在客觀認(rèn)知的基礎(chǔ)上，創(chuàng)新數(shù)學(xué)解題方法與角度.數(shù)學(xué)解題時運用辯證思維，要打破傳統(tǒng)解題思維的限制，大幅度提升數(shù)學(xué)課堂教學(xué)質(zhì)量與效率，全面落實核心素養(yǎng)的要求.