運(yùn)用同構(gòu)式 巧解數(shù)學(xué)問題

姜 磊

(江蘇省南京市板橋中學(xué) 210039)

一、不等式問題中的同構(gòu)式

例1證明：當(dāng)x>0時(shí)，恒有(ex-1)ln(x+1)>x2.

二、函數(shù)問題中的同構(gòu)式

對(duì)于高中生而言函數(shù)問題一直是難點(diǎn)之一，那么除了常規(guī)的函數(shù)方法外，運(yùn)用同構(gòu)式解決函數(shù)問題也不失為一個(gè)不錯(cuò)的選擇.

例2設(shè)f(x)=x(e2x-a)，若f(x)≥1+x+lnx恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是多少？

三、解析幾何問題中的同構(gòu)式

例3已知如圖1，A、B為拋物線C:y2=4x上的兩個(gè)點(diǎn)，且直線AB過定點(diǎn)(1,0)，現(xiàn)存在C外一點(diǎn)P，使得AP、BP的中點(diǎn)均在C上.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)求S△PAB的取值范圍.

反思上述例題看上去似乎并沒有運(yùn)用同構(gòu)式的相關(guān)知識(shí)，但是實(shí)際上這是一道“類阿基米德三角形”問題，整體的運(yùn)算過程是“同構(gòu)”于阿基米德三角形性質(zhì)的證明過程的，因此該題從本質(zhì)上依然是一道同構(gòu)式問題.

同構(gòu)式是數(shù)學(xué)和諧美、對(duì)稱美的集中體現(xiàn)，其公式看起來簡(jiǎn)單，但是想要合理運(yùn)用卻很難，如果學(xué)生可以將同構(gòu)式的相關(guān)知識(shí)在高中數(shù)學(xué)的解題中加以合理運(yùn)用可以發(fā)現(xiàn)它不僅可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，更可以理清思路，拓展思維.