例談導(dǎo)數(shù)定義法求不定式極限的策略

紀(jì)定春 姜艷紅 蔣紅珠

(1.四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 610068；2.四川省資中縣第一中學(xué) 641200;3.廣東省廣州市廣東華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院 510631)

一、導(dǎo)數(shù)定義與不定式極限簡介

導(dǎo)數(shù)定義設(shè)函數(shù)y=f(x)在x=x0處的瞬時變化率為

這就是函數(shù)定義在點(diǎn)x=x0處的導(dǎo)數(shù).

不定式極限若函數(shù)f和g滿足

二、導(dǎo)數(shù)定義法求不定式極限的策略

1.直接利用導(dǎo)數(shù)定義法

例1(2017年全國高考數(shù)學(xué)文科卷Ⅱ第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)當(dāng)x≥0時，f(x)≤ax+1，求a的取值范圍.

解析問題(1)解答，略.對于問題(2)，顯然可以使用分離參數(shù)法，需要進(jìn)行分情況討論.

當(dāng)x=0時，顯然有(1-02)e0≤a·0+1，故不等式恒成立，所以a∈R.

可以利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)m(x)的單調(diào)性，容易說明函數(shù)m(x)在區(qū)間(0,+)上是單調(diào)遞減函數(shù)，故

顯然這是一個不定式極限，注意到分式的分母結(jié)構(gòu)，考慮直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義.

令函數(shù)n(x)=(1-x2)ex-1，則有n(0)=0.

可得a的取值范圍為[1,+).

評注該試題為典型的求不定式極限問題，分母的結(jié)構(gòu)和導(dǎo)數(shù)定義中的結(jié)構(gòu)是完全相同的，考慮直接構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義.巧令函數(shù)n(x)=(1-x2)ex-1，使得分子和分母的結(jié)構(gòu)與導(dǎo)數(shù)定義的結(jié)構(gòu)相對應(yīng)起來，將不定式極限轉(zhuǎn)化為求導(dǎo)運(yùn)算、分式極限化為整式極限.

2.“裂項(xiàng)”構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義法

例2(2016年四川高考理科卷第21題)設(shè)函數(shù)f(x)=ax2-a-lnx，其中a∈R.

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

解析問題(1)解答，略.

由于x∈(1,+)，分離參數(shù)可得令要使得不等式在x∈(1,+)上成立，則需要a>g(x)max.

利用導(dǎo)數(shù)，可以研究函數(shù)g(x)的單調(diào)性和最值(極值)點(diǎn)，可得函數(shù)g(x)在區(qū)間(1,+)內(nèi)單調(diào)遞減，故

令函數(shù)h(x)=x-1-e1-x+lnx，可得h(1)=0.

由導(dǎo)數(shù)的定義可知，

3.換元構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義法

例3(2017年全國高考數(shù)學(xué)卷Ⅲ第21題)已知函數(shù)f(x)=x-1-alnx.

(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)略.

解析對問題(1)，要使f(x)≥0，等價于x-1-alnx≥0.

考慮分離參數(shù)a，顯然需要分類討論.

在知識經(jīng)濟(jì)背景下，人力資源已經(jīng)成為企業(yè)發(fā)展的核心。目前，我國通信行業(yè)還處于初級的發(fā)展水平，因而在諸多方面還不是十分的完善。其中，人力資源管理中，薪酬分配制度缺乏合理性就是重要的體現(xiàn)?，F(xiàn)階段，我國大部分通信公司在薪酬分配過程中，采用的分配體系都是依托崗位技能為主的等級薪酬制。顯然，這種傳統(tǒng)的薪酬分配制度難以滿足員工的需求。因此，通信行業(yè)人力資源管理中薪酬分配制度必須要不斷完善。

當(dāng)x=1時，有f(x)≥0，所以a∈R.

當(dāng)x∈(1,+)時，分離參數(shù)，可得所以

考慮構(gòu)造函數(shù)g(y)=ey，則g(0)=1.

綜上，a的值為1.

4.“配湊”導(dǎo)數(shù)定義法

例4(2018年全國卷Ⅲ理科第21題)已知函數(shù)f(x)=(2+x+ax2)ln(1+x)-2x.

(1)若a=0，證明：當(dāng)-10時，f(x)>0；

(2)若x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，求a.

解析問題(1)略.問題(2)是考查高考考生對極值點(diǎn)的定義、幾何性質(zhì)和代數(shù)特性(導(dǎo)函數(shù)在x=0處的特征)的認(rèn)識，此問題設(shè)計(jì)蘊(yùn)含豐富的高等數(shù)學(xué)知識內(nèi)涵和背景.

由于x=0是f(x)的極大值點(diǎn)，由極值點(diǎn)的幾何意義可知，存在ε>0，恒有不等式f(x)≤f(0)=0成立.

令f1(x)=2x-(2+x)ln(1+x)，g1(x)=x2ln(1+x)，則

評注該試題具有高等數(shù)學(xué)的知識背景，是一道典型的以高等數(shù)學(xué)知識來命制的函數(shù)壓軸題.該試題通過反復(fù)的構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義，對極限的分子和分母逐次求導(dǎo)數(shù)，最終解出參數(shù)的取值范圍.

三、反思與優(yōu)化

通過例題4的解答過程，不難發(fā)現(xiàn)，“配湊”法構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的定義，可以看成是利用高等數(shù)學(xué)中不定式極限的求解方法——洛必達(dá)(L′hospital)法則，即

可見，通過洛必達(dá)法則來求解不定式極限，可以避免選取函數(shù)、“配湊”結(jié)構(gòu)、構(gòu)造導(dǎo)數(shù)定義的繁瑣過程，極大簡化運(yùn)算，提高問題解決效率和準(zhǔn)確性.洛必達(dá)(L′hospital)法則作為高等數(shù)學(xué)中求解不定式極限的重要方法，高考數(shù)學(xué)試題中常出現(xiàn)求解該類型的極限的問題.教學(xué)過程中可以適當(dāng)?shù)匮a(bǔ)充不定式極限的求解方法，但是不能一味地追求快速解題的“高端”方法，而是要立足于高中數(shù)學(xué)教材，在學(xué)生已有的知識基礎(chǔ)和經(jīng)驗(yàn)上拓展知識點(diǎn)，既要講出洛必達(dá)法則的價值、優(yōu)缺點(diǎn)、應(yīng)用條件等，又要講洛必達(dá)法則與導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生真正地理解數(shù)學(xué)知識，理解知識點(diǎn)之間的內(nèi)在邏輯聯(lián)系.