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      一類有關(guān)具體函數(shù)圖象對稱中心問題的研究

      2020-07-22 08:08:28武增明
      數(shù)理化解題研究 2020年19期
      關(guān)鍵詞:中作中心對稱增函數(shù)

      武增明

      (云南省玉溪第一中學(xué) 653100)

      高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中,我們知道,一些具體函數(shù)圖象是有對稱中心的,常見的具體函數(shù)有常數(shù)函數(shù)、一次函數(shù)、三次函數(shù)、反比例函數(shù)、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù).筆者在這里與讀者一起要研究的主要是,一類由上述函數(shù)構(gòu)成的具體函數(shù)且函數(shù)圖象具有對稱中心的有關(guān)問題.同時(shí),溫馨提醒同學(xué)們要有函數(shù)圖象的對稱中心意識,也供同仁們在教學(xué)中作參考,希望能起到拋磚引玉的作用.

      一、重要性質(zhì)

      性質(zhì)3若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則函數(shù)g(x)=f(x-a)+b的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,b)對稱.

      二、有關(guān)一般函數(shù)圖象的對稱中心問題

      又-1≤cosπx≤1,于是,當(dāng)x>4時(shí),-2

      因?yàn)閒(β)=-10,從而β∈(3,4)且是唯一的.

      同理,由函數(shù)y=(x-2)(x-3)及y=-sinπx的圖象,知當(dāng)x∈(1,2)時(shí),f′(x)>0,所以函數(shù)f(x)在(1,2)上單調(diào)遞增,且f(1)=0.

      又-1≤cosπx≤1,于是,當(dāng)x<1時(shí),-1

      因?yàn)閒(α)=10,從而α∈(1,2)且是唯一的.

      所以函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對稱,從而f(x)max+f(x)min=4,即m+n=4.

      (2)本題先將原函數(shù)進(jìn)行化簡,然后利用函數(shù)y=f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(0,2)對稱,求得m+n=4,并不需要分別求出m與n的值.事實(shí)上,要分別求出m與n的值是非常困難的,甚至幾乎求不出來.(3)若沒有想到函數(shù)y=f(x)的圖象是否關(guān)于點(diǎn)對稱,進(jìn)而用相關(guān)性質(zhì)解答,而嘗試用導(dǎo)數(shù)的知識分別去求m與n的具體數(shù)值,就會深陷泥沼,無法自拔了.

      三、一類分式型函數(shù)圖象的對稱中心問題

      1.問題的提出

      2.問題的探究

      f(x)=3+g[x+(a+2)],當(dāng)a+2=0,即a=-2時(shí),將函數(shù)g(x)的圖象向上平移3個單位,得到函數(shù)f(x)的圖象,其圖象關(guān)于點(diǎn)(0,3)對稱.

      當(dāng)a+2>0,即a>-2時(shí),將函數(shù)g(x)的圖象向左平移a+2個單位,再向上平移3個單位,得到函數(shù)f(x)的圖象,其圖象關(guān)于點(diǎn)(-a-2,3)對稱.

      當(dāng)a+2<0,即a<-2時(shí),同理可得函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于點(diǎn)(a+2,3)對稱.

      3.一點(diǎn)反思

      凡是同學(xué)們提出的問題是合理的,我們都要熱情地、耐心地、認(rèn)真地、千方百計(jì)地幫助和引導(dǎo),鼓勵同學(xué)們大膽地用合作探究的方式去加以解決.

      四、有關(guān)三次函數(shù)圖象的對稱中心問題

      例3 (2016年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽試題)設(shè)α,β分別滿足方程α3-3α2+5α-4=0,β3-3β2+5β-2=0,則α+β=____.

      解析觀察題目條件α3-3α2+5α-4=0,β3-3β2+5β-2=0,想到設(shè)f(x)=x3-3x2+5x,則f(α)=4,f(β)=2.

      因?yàn)槿魏瘮?shù)f(x)=x3-3x2+5x的圖象的對稱中心為(1,3),f′(x)=3x2-6x+5>0對x∈R恒成立,故f(x)在R上單調(diào)遞增.

      評注(1)若沒有想到三次函數(shù)的圖象的對稱中心,則很難求解.(2)要求出α,β的值,是很困難的.

      例4 (2012年高考四川卷·文12)設(shè)函數(shù)f(x)=(x-3)3+x-1,{an}是公差不為0的等差數(shù)列,f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,則a1+a2+…+a7=( ).

      A. 0 B. 7 C. 14 D. 21

      解f(x)=(x-3)3+x-1=x3-9x2+28x-28,f(x)是關(guān)于點(diǎn)(3,2)成中心對稱的增函數(shù).

      ∵f(a1)+f(a2)+…+f(a7)=14,

      ∴f(a4)=2, ∴(a4-3)3+a4-1=2,

      ∴a4=3.

      ∵{an}是等差數(shù)列,

      ∴a1+a2+…+a7=7a4=21,故選D.

      評注此題解法較多,只有利用三次函數(shù)f(x)=x3-9x2+28x-28是關(guān)于點(diǎn)(3,2)成中心對稱的增函數(shù)來解答最簡捷.

      五、一組變式題

      下面給出一組變式題目,供同學(xué)們訓(xùn)練,也供同仁們在教學(xué)中作參考.

      1.已知函數(shù)f(x)=x3-9x2+29x-30,實(shí)數(shù)m,n滿足f(m)=-12,f(n)=18,則m+n=____.

      2.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x3+5x-3=3x2+1,y3+5y-1=3y2+1,則x+y=____.

      A. (-4,6) B. (-2,3)

      C. (-4,3) D. (-2,6)

      A. (2,3) B. (2,0) C. (3,2) D. (3,0)

      參考答案為:1. 6; 2. 2; 3. B; 4. A; 5. 5; 6. 4.

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