巧用“構(gòu)造相似比”解向量與三角形的綜合問題

謝玉平

(廣西南寧市第二中學(xué) 530022)

相似三角形的一切對應(yīng)線段(對應(yīng)中線，對應(yīng)高，對應(yīng)角平分線，外接圓的半徑，內(nèi)切圓的半徑)的比等于相似比.高考考查的平面向量和解斜三角形的綜合題中變量之間的關(guān)系不好找，思維量和計(jì)算量都很大，學(xué)生往往很難得到正確結(jié)果，以至于很多學(xué)生直接放棄這一類型的考題.其實(shí)平面向量和斜三角形中的很多點(diǎn)都是一些特殊線段的交點(diǎn)，如果利用構(gòu)造相似三角形借助相似比來解決這類問題，思維量和計(jì)算量都相對較小，可以實(shí)現(xiàn)化繁為簡，一解服務(wù)多題的功效.

常用解法：解方程組法.

評析此題考查的是平面向量基本定理問題中確定基底系數(shù)的問題.既是高考考查的重點(diǎn)也是難點(diǎn).用解方程組法解此題除了運(yùn)算量大容易出錯外，兩個方程的構(gòu)建也有一定的難度，理解不到位的學(xué)生可能兩個方程都是用CM或者BN來表示，導(dǎo)致后面化簡出來的等式是恒等式，解不出系數(shù).

構(gòu)造相似比法：

解過M作MH∥AN，交BN于H.

評析如果知道點(diǎn)E在線段CM上的具體位置，那么用向量加法和減法法則進(jìn)行加減代換，就可以確定基底的系數(shù)了.點(diǎn)M，點(diǎn)N的位置是確定的，通過構(gòu)造相似比可以求出點(diǎn)E是CM的一個等分點(diǎn)，即點(diǎn)E的位置可以確定.

變式1如圖1，已知△ABC的面積為14cm2，D，E分別為邊AB，BC上的點(diǎn)，且AD∶DB=BE∶EC=2∶1，AE，CD交于點(diǎn)P，則△APC的面積為____cm2.

構(gòu)造相似比法.

過D作DH∥AE,交BC于H.

評析如果知道點(diǎn)P在線段CD上的具體位置，那么用向量加法和減法法則進(jìn)行加減代換，就可以確定基底的系數(shù)了.點(diǎn)D，點(diǎn)E的位置是確定的，通過構(gòu)造相似比便可以求出點(diǎn)P是線段CD上的幾等分點(diǎn).

常見解法：利用余弦定理建立等量關(guān)系.

解cos∠ABC

設(shè)AC=3b,BC=a，在△ABC中由余弦定理可得:

在△DBA和△DBC中，

因?yàn)閏os∠ADB=-cos∠BDC,

由余弦定理可得

所以3b2-a2=-6 ②.

由①②可得a=3,b=1,即BC=3.

評析此題考查的是解三角形問題.容易想到用余弦定理建立方程，但是在哪個三角形中使用余弦定理可能要進(jìn)行一定的思考，三角形選擇得不得當(dāng)，運(yùn)算量會增大，況且上面解法的運(yùn)算量也不小.

構(gòu)造相似比解法.

解cos∠ABC

設(shè)BC=x，在△BDE中由余弦定理有：BD2=BE2+DE2-2BE·DE·cos∠BED，

評析通過作平行線構(gòu)造相似比，可以把題目中的三個已知條件同時放在△BDE中，建立方程的方向一目了然，大大降低了運(yùn)算量和思維量.

構(gòu)造相似比解法.

過D作DH∥AB，交AC于H.在△ADH中由余弦定理有：

AD2=HA2+HD2-2HA·HD·cos∠AHD

評析通過作平行線構(gòu)造相似比，把題目中的三個已知條件同時放在△ADH中，通過余弦定理可以直接求出AD長，簡捷易算.