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    面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)

    2020-07-21 07:26:10露,
    四川建筑 2020年1期
    關(guān)鍵詞:簡(jiǎn)支無(wú)量邊界條件

    劉 露, 謝 智

    (1.中交二航局成都城市建設(shè)工程有限公司, 四川成都 610041; 2. 中交第三航務(wù)工程局有限公司廈門(mén)分公司, 福建廈門(mén) 361000)

    基于現(xiàn)代結(jié)構(gòu)理論和城市建設(shè)的發(fā)展,大跨度混凝土結(jié)構(gòu)具有構(gòu)件截面小,自重彎矩占總彎矩的比例小,優(yōu)越的跨越能力等重要特性,從而使大跨度混凝土板在新建的市政項(xiàng)目應(yīng)用普遍。范康等[1]基于板殼振動(dòng)理論,根據(jù)樓板振動(dòng)舒適度的要求、邊界條件、樓板跨度等因素對(duì)大跨度混凝土板的振動(dòng)特性進(jìn)行了研究。李冬等[2]借鑒歐洲EFNARC標(biāo)準(zhǔn),利用四邊簡(jiǎn)支方板試驗(yàn)研究了鋼纖維對(duì)玄武巖纖維編織網(wǎng)增強(qiáng)混凝土板雙向彎曲性能的影響。王麗娟等[3]對(duì)水泥混凝土路面固化溫度區(qū)域特征及其對(duì)面板翹曲的影響進(jìn)行了研究。李炎隆等[4]利用平面有限元法分析壩踵混凝土體型對(duì)混凝土面板應(yīng)力變形的影響。韓重慶等[5]為分析不同持荷水平下受約束預(yù)應(yīng)力混凝土空心板整澆樓面的耐火極限變化規(guī)律,進(jìn)行了3塊受約束預(yù)應(yīng)力混凝土空心板整澆樓面試件的耐火極限試驗(yàn)研究。王園園等[6]對(duì)鋼-混凝土組合與疊合雙重作用梁負(fù)彎矩區(qū)剛度和疊合面滑移進(jìn)行了研究。黃春霞等[7]研究單摻纖維和混摻纖維對(duì)活性粉末混凝土抗壓強(qiáng)度和軸向抗拉強(qiáng)度的影響規(guī)律。董毓利等[8]對(duì)火災(zāi)作用下混凝土雙向簡(jiǎn)支板的撓度進(jìn)行了計(jì)算。

    混凝土板作為最基礎(chǔ)的建筑構(gòu)件在市政工程中應(yīng)用極為廣泛,如用于路面承重結(jié)構(gòu)、橋梁、樓板,地鐵車(chē)站等。同時(shí)由于功能和結(jié)構(gòu)的需要,大跨度混凝土板也常見(jiàn)于市政工程中,深入分析其在面內(nèi)荷載等多種載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)具有理論研究意義和工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。目前,面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲的分析在國(guó)內(nèi)外還鮮見(jiàn)有文獻(xiàn)報(bào)道,因此本文研究面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲問(wèn)題。首先基于經(jīng)典薄板理論,利用Hamilton原理推導(dǎo)面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲的控制微分方程并進(jìn)行無(wú)量綱化;其次采用微分變換法(DifferentialTransformMethod, 簡(jiǎn)稱(chēng)DTM)將問(wèn)題的無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件進(jìn)行變換;最后求解并探討了無(wú)量綱壓力強(qiáng)度、載荷參數(shù)和長(zhǎng)寬比對(duì)于混凝土板自振頻率的影響。

    1 控制微分方程及參數(shù)的無(wú)量綱化

    考慮如圖1所示的大跨度混凝土板,將其放置在圖示的笛卡爾直角坐標(biāo)系中。板的尺寸為a×b×h且受到垂直于y軸截面上的面內(nèi)分布力Ny=-N0(1-γx/a),其中N0為x=0處的壓力強(qiáng)度,γ為載荷參數(shù)。這里用λ=a/b表示矩形板的長(zhǎng)寬比,垂直于板面的位移分量為w。y=0和y=b處為簡(jiǎn)支邊界(S),其余對(duì)邊為簡(jiǎn)支(S)或夾緊(C)邊界。下面在對(duì)納米矩形板四個(gè)直邊的邊界條件表示中,均按x=0、y=b、x=a和y=0處的次序給出。

    圖1 面內(nèi)受壓大跨度混凝土板

    為了導(dǎo)出大跨度混凝土板自由振動(dòng)控制微分方程,運(yùn)用Hamiltion原理表示如下:

    (1)

    式中:t表示時(shí)間,δ為變分符號(hào)。U、T和W分別表示板的應(yīng)變能、動(dòng)能和外力勢(shì)能,各量可表示如下:

    (2)

    (3)

    (4)

    式中:σx、σy和τxy為三個(gè)應(yīng)力分量,εx、εy和γxy為三個(gè)應(yīng)變分量,ρ為質(zhì)量密度。

    板中面應(yīng)變和內(nèi)力分量如下[9]:

    (5)

    (6)

    將式(2)~式(6)代入式(1)可得面內(nèi)受壓大跨度混凝土板的運(yùn)動(dòng)方程為:

    (7)

    在二維形式的板應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系如下:

    (8a)

    (8b)

    σxy=Gγxy

    (8c)

    式中:E、G=E/2(1+ν)分別為正交各向同性材料的兩個(gè)彈性模量;v為泊松比。

    由式(5)、式(6)和式(8)可得混凝土板的彎矩和扭矩方程:

    (9a)

    (9b)

    (9c)

    式中:D=Eh3/[12(1-ν2)]為彎曲剛度。

    式(9a)~式(9c)代入式(7)可得面內(nèi)受壓大跨度混凝土板的運(yùn)動(dòng)方程為:

    (10)

    板的邊界條件在y=0和y=b處若只考慮為簡(jiǎn)支(S),板的橫向位移函數(shù)可取為:

    (11)

    Ω2=[12ρ(1-ν2)a2ω2]/EH2,

    N0*=[12N0(1-ν2)]/aEH3,

    并由式(10)、式(11)可得面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)的控制微分方程為:

    (12)

    式中:

    A1=1,

    A2=-2λ2m2π2

    A3=γλ2m2π2N0*,

    A4=λ4m4π4-λ2m2π2N0*-Ω2

    又由彈性穩(wěn)定性理論可知,結(jié)構(gòu)失穩(wěn)時(shí)的振動(dòng)具有無(wú)限大的振動(dòng)周期,其固有頻率為零[10],則式(14)中若取Ω=0,則可得到計(jì)算面內(nèi)受壓大跨度混凝土板各階屈曲模態(tài)載荷的控制微分方程,其最小值即屈曲臨界載荷。至于在X=0和X=1邊界處,可為簡(jiǎn)支(S)邊界條件或者固定(C)邊界條件,其無(wú)量綱形式表述如下:

    簡(jiǎn)支(S):

    (13)

    固定(C):

    (14)

    2 無(wú)量綱控制微分方程及其邊界條件的DTM變換

    面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲的無(wú)量綱控制微分方程式(12)為變系數(shù)常微分方程,一般情況下較難求得其解析解,這里采用微分變換法(DTM)[11-14]進(jìn)行求解。DTM是一種能有效將線性或非線性微分方程(組)變換成代數(shù)方程(組)求解的半解析方法,它基于Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)來(lái)求解微分方程,使用充分可微的多項(xiàng)式形式作為精確解的近似。經(jīng)DTM變換,可將原微分方程(組)和系統(tǒng)邊界條件轉(zhuǎn)化為由離散函數(shù)構(gòu)成的代數(shù)方程(組),非常適合計(jì)算機(jī)編程進(jìn)行求解。對(duì)于原函數(shù)f(x),根據(jù)函數(shù)的Taylor公式,經(jīng)過(guò)DTM變換后的函數(shù)F[k]定義為[20]:

    (15)

    F(k)的逆變換為:

    (16)

    或者:

    (17)

    在實(shí)際應(yīng)用中,函數(shù)f(x)只考慮級(jí)數(shù)的有限項(xiàng),式(14)可重寫(xiě)為:

    (18)

    式中:正整數(shù)m表示Taylor級(jí)數(shù)的項(xiàng)數(shù)。通常情況下可通過(guò)增大m的值來(lái)提高解的精度。

    運(yùn)用DTM對(duì)面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和屈曲問(wèn)題進(jìn)行求解時(shí),首先需要將其無(wú)量綱控制微分方程和邊界條件經(jīng)DTM轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的由離散函數(shù)組成的代數(shù)方程。這里用F表示式(12)中W經(jīng)DTM變換后的離散值,則式(12)由DTM可變換為:

    B1F[k+4]+B2F[k+2]+B3F[k]+B4F[k-1]=0

    (19)

    式中:

    B1=(k+1)(k+2)(k+3)(k+4),

    B2=-2λ2m2π2(k+1)(k+2),

    B3=λ4m4π4-Ω2-λ2m2π2N0*

    B4=γλ2m2π2N0*

    邊界條件變換如下:

    在X=0處,簡(jiǎn)支(S)邊界條件:

    F[0]=F[2]=0

    (20)

    固定(C)邊界條件:

    F[0]=F[1]=0

    (21)

    在X=1處,簡(jiǎn)支(S)邊界條件:

    (22)

    固定(C)邊界條件:

    (23)

    將式(19)分別代入式(20)和式(22),式(20)和式(23),可分別求得四邊簡(jiǎn)支(SSSS)和三邊簡(jiǎn)支一邊固定(SSCS)的頻率特征方程如下:

    S11(n)(Ω)F[1]+S12(n)(Ω)F[3]=0

    S21(n)(Ω)F[1]+S22(n)(Ω)F[3]=0

    (24)

    式中S11(n),S12(n),S21(n),S22(n)是迭代n次求出的含有未知量無(wú)量綱固有頻率Ω的多項(xiàng)式,寫(xiě)成矩陣的形式:

    (25)

    要使式(25)有非零解,則:

    (26)

    令無(wú)量綱固有頻率Ω=0,給定參數(shù)可以求解出臨界屈曲載荷Ncr。Ncr的求解過(guò)程類(lèi)似于Ω的求解過(guò)程,同理可得:

    (27)

    在對(duì)邊簡(jiǎn)支對(duì)邊固定(CSCS)、一邊固定三邊簡(jiǎn)支(CSSS)的邊界條件下,同理可求出含有未知量無(wú)量綱固有頻率Ω以及臨界屈曲載荷Ncr特征方程:

    (28)

    (29)

    由式(26)~式(29),SSSS、SSCS、CSCS、CSSS邊界條件下的無(wú)量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr可求出。為了控制求出的無(wú)量綱固有頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr的精度和研究其收斂性,則有:

    |Ωj(n)-Ωj(n-1)|≤η1, |Ncrj(n)-Ncrj(n-1)|≤η2

    (30)

    式中:η1、η2為迭代誤差限,這里取η1=η2=0.000001。

    3 計(jì)算結(jié)果與分析

    通過(guò)編寫(xiě)MATLAB程序可獲得由DTM求解面內(nèi)受壓大跨度混凝土板屈曲和振動(dòng)特征值問(wèn)題的臨界載荷Ncr和無(wú)量綱頻率Ω。這里選擇C35混凝土進(jìn)行計(jì)算。材料參數(shù)如下[1][24]:ν=0.2,E=3.15×104N/mm2,ρ=25kN/m2。

    圖2為N0*=30,m=1,H=0.1時(shí),在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無(wú)量綱固有頻率Ω與載荷參數(shù)γ的關(guān)系曲線。各邊界下的Ω都隨γ的增大而增大;約束較強(qiáng)邊界下Ω較大(順序:CSCS邊界下頻率值>CSSS邊界下頻率值或SSCS邊界下頻率值>SSSS邊界下頻率值)。

    (a)CSCS邊界條件

    (b)CSSS邊界條件

    (c)SSCS邊界條件

    (d)SSSS邊界條件

    圖3為N0*=30,m=1,H=0.1時(shí),在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無(wú)量綱固有頻率Ω與載荷參數(shù)λ的關(guān)系曲線。各邊界下的Ω都隨λ的增大而增大;約束較強(qiáng)邊界下Ω較大(順序:CSCS邊界下頻率值>CSSS邊界下頻率值或SSCS邊界下頻率值>SSSS邊界下頻率值)。

    圖4給出了不同參數(shù)下在CSCS、CSSS、SSCS、SSSS邊界下1階無(wú)量綱固有頻率Ω與X=0處無(wú)量綱壓力強(qiáng)度N0*的關(guān)系曲線。由圖可見(jiàn):當(dāng)γ、λ,一定和H=0.1時(shí),各邊界下的Ω都隨N0*的增大而減小且減小至0;當(dāng)γ、λ及H=0.1、Ω=0時(shí),N0*即為臨界屈曲載荷Ncr并且約束較強(qiáng)邊界下臨界屈曲載荷Ncr較大(順序:CSCS邊界下臨界屈曲載荷值>CSSS邊界下臨界屈曲載荷值或SSCS邊界下臨界屈曲載荷值>SSSS邊界下臨界屈曲載荷值)。

    (a)CSCS邊界條件

    (b)CSSS邊界條件

    (c)SSCS邊界條件

    (d)SSSS邊界條件

    (a)CSCS邊界條件

    (b)CSSS邊界條件

    (c)SSCS邊界條件

    (d)SSSS邊界條件

    4 結(jié)論

    本文基于經(jīng)典薄板理論,利用Hamilton原理推導(dǎo)了面內(nèi)受壓大跨度混凝土板自由振動(dòng)和的控制微分方程并進(jìn)行無(wú)量綱化,采用DTM求解并研究了大跨度板的自由振動(dòng)??紤]各參數(shù)對(duì)不同邊界條件下大跨度板的自振頻率Ω的影響。主要結(jié)論如下:

    (1)隨著載荷參數(shù)γ的增大導(dǎo)致了混凝土板系統(tǒng)受到垂直于y軸截面上的面內(nèi)分布力Ny減小,從而使得大跨度混凝土板的自振頻率Ω和臨界屈曲載荷Ncr都增大。

    (2)隨著壓力強(qiáng)度N0*的增大,從而使得基頻Ω減小,當(dāng)基頻Ω=0時(shí),意味著混凝土板系統(tǒng)發(fā)生失穩(wěn),此時(shí)的N0*為最危險(xiǎn)的載荷,即為臨界屈曲載荷Ncr;各邊界條件下基頻Ω都隨長(zhǎng)寬比λ的增大而增大,并且增大速率逐漸變大且較強(qiáng)約束的邊界條件下自振頻率Ω較大。

    (5)本文深入分析大跨度混凝土板在面內(nèi)荷載等多種載荷作用下的力學(xué)響應(yīng)具有理論研究意義和工程實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。為路面混凝土結(jié)構(gòu)、橋梁、樓板和地鐵車(chē)站設(shè)計(jì)以及現(xiàn)場(chǎng)施工提供可靠的依據(jù)。

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