用空間向量探究立體幾何中的存在型問題

曹娜

摘? 要：在高中階段，立體幾何這一部分占有著十分重要的地位，且更是高考的必考內(nèi)容?？臻g向量作為求空間角和距離的有利工具，是歷年高考的必考點(diǎn)。立體幾何中存在型問題的基本特征是要判斷在某些確定條件下的某一數(shù)學(xué)對象（數(shù)值、圖形等）是否存在或某一結(jié)論是否成立。此類問題的難點(diǎn)在于涉及的點(diǎn)具有運(yùn)動性和不確定性，用傳統(tǒng)方法解決起來的難度較大。若用空間向量的方法來處理，通過待定系數(shù)法求解，則思路簡單，解法固定，操作方便。因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，如何提高學(xué)生利用空間向量解決立體幾何中的存在型問題，則為教師提出了更高的教學(xué)發(fā)展要求。

關(guān)鍵詞：空間向量;立體幾何;存在型問題

空間向量在平面向量，立體幾何等教學(xué)之后，空間向量既體現(xiàn)了幾何圖形直觀，又提供了代數(shù)定量刻畫，在這個過程中，向量與起點(diǎn)無關(guān)的自由性為求解帶來很大便利。以“平行、垂直、距離和角”為背景的存在型問題是近年來高考數(shù)學(xué)中創(chuàng)新型命題的一個重要類型，它以較高的新穎性、開放性、探索性和創(chuàng)造性深受命題者的青睞。

一、學(xué)生解決立體幾何中的存在型問題時所產(chǎn)生的問題：

1、基礎(chǔ)知識差。數(shù)學(xué)是一個知識積累的過程，在利用空間向量探索立體幾何的存在型問題時，不僅要求學(xué)生對立體幾何中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系和度量關(guān)系熟練掌握，同時對空間直角坐標(biāo)的建立、空間向量及其運(yùn)算，空間向量坐標(biāo)表示及應(yīng)用做到運(yùn)用自如。但在實(shí)際的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，許多學(xué)生對空間幾何體的點(diǎn)、線、面位置關(guān)系沒有熟練掌握，數(shù)學(xué)運(yùn)算較差，因此用向量探究立體幾何的存在型問題時常常不盡人意。

2、題目分析過程中，讀不懂題。缺乏直觀想象能力和空間觀念。雖然知道要用向量，但不能準(zhǔn)確建立空間直角坐標(biāo)系，不能正確地將點(diǎn)、線用空間向量表示，向量運(yùn)算結(jié)果不能準(zhǔn)確地轉(zhuǎn)化成幾何度量關(guān)系和位置關(guān)系，導(dǎo)致學(xué)生將大量時間浪費(fèi)在題目分析上和計(jì)算上。

所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，對于利用空間向量探究立體幾何的存在型問題時，老師必須注重對學(xué)生空間觀念、直觀想象的培養(yǎng)，注重對解題思維的引導(dǎo)，對向量運(yùn)算的訓(xùn)練，從而提高學(xué)生分析問題和解題的能力。

二、用空間向量探究立體幾何的存在型問題的措施

1、引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)真審題，分析題目中幾何體的位置關(guān)系和度量關(guān)系，明確題目考察方向，做到有的放矢。對于數(shù)學(xué)題進(jìn)行認(rèn)真審題是問題解決的基礎(chǔ)。在題目分析過程中，注重對基礎(chǔ)知識的鞏固。

例如對于下面題目：

（2016北京理）如圖，在四棱錐? 中，平面? 平面

（Ⅲ）在棱PA上是否存在點(diǎn)M，使得BM∥平面PCD？若存在，求? 的值;若不存在，說明理由.

這道題以四棱錐為背景，考察線面垂直，線面成角及點(diǎn)的存在判斷問題。對于這道題的分析，教師引導(dǎo)學(xué)生從面面垂直得出線面垂直，及AD的中線PO垂直底面ABCD.

又由AC=CD，得到 中AD邊的中線CD也是高線，由此得出三條兩兩垂直的線，可以作為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系。又由AB=1等長度條件，可以得出相應(yīng)點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)。引導(dǎo)學(xué)生分析還能推出哪些線面垂直關(guān)系。得出AB與面PAD垂直，PO與面PAB垂直，又得出PD與面PAB內(nèi)的線都垂直。

對于這類不以長方體為載體的問題，老師首先引導(dǎo)學(xué)生尋找題目中的垂直關(guān)系，以便可以建系。然后再利用空間向量進(jìn)行求解。通過一步步引導(dǎo)學(xué)生分析題中的垂直關(guān)系及長度，使學(xué)生對立體幾何中的位置關(guān)系更加鞏固掌握，使學(xué)生建立空間觀念，提升直觀想象。

2、把握做題原則，注重通式通法的教學(xué)，提升解決問題的能力。例如對如下題目：

如圖，在長方體 中 ，E為CD中點(diǎn).

（2）在棱 上是否存在一點(diǎn)P，使得DP//平面 若存在，求AP的長;若不存在，說明理由.

以長方體為載體，考查線線垂直，點(diǎn)的存在判斷問題。在教師引導(dǎo)學(xué)生分析后，讓學(xué)生用綜合幾何法和空間向量法兩種方法進(jìn)行求解。

通過兩種方法對比，可以讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解決問題的關(guān)鍵。發(fā)現(xiàn)兩種方法的共性與差異。

此類“是否存在”問題的命題形式有兩種情況：如果存在，找出一個來，如果不存在，需要說明理由。常用“肯定順推”的方法，用空間向量法來處理，通過待定系數(shù)法求解。

歸納用向量研究存在型問題的方法，可以得出通性通法，即程序思想方法：

第一步：建立空間直角坐標(biāo)系。

第二步：假設(shè)存在，設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo)，寫出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)。

第三步：寫出相應(yīng)向量坐標(biāo)。

第四步：得出關(guān)于變量的方程。

第五步：求出變量的值。

第六步：驗(yàn)證得出結(jié)論。

通過以上分析，得到解決問題的程序，提煉出解決問題的通式通法。

3、關(guān)于變式訓(xùn)練的應(yīng)用教學(xué)。使學(xué)生學(xué)會變式訓(xùn)練，舉一反三，加深理解知識間的聯(lián)系，提升解題能力。例如：引導(dǎo)學(xué)生將題中條件改變，或?qū)栴}改變，由學(xué)生動手，得到變式訓(xùn)練題，再進(jìn)行解答。不足之處，教師進(jìn)行補(bǔ)充。在教師指導(dǎo)下，學(xué)生加深對該知識點(diǎn)的理解，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)。

不積跬步，無以至千里。在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，教師必須積極引導(dǎo)學(xué)生思維，通過多次練習(xí)，逐步提升，從而促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)形成。

參考文獻(xiàn)

[1]? 李龍才? 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)2017年版? 人民教育出版社

[2]? 2016年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理）