類比思維在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

江穎宜　楊付貴

摘? 要：在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中不僅要重視數(shù)學(xué)知識和技能的汲取，也要重視思想方法的吸收。本文闡述概念、定理，運(yùn)用類比法積極思維，培養(yǎng)和提高自身數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的推理能力和創(chuàng)造性的思維能力。

關(guān)鍵詞：類比;應(yīng)用;高等數(shù)學(xué)

一、類比推理與高等數(shù)學(xué)的聯(lián)系

（一）類比推理的概念

類比，就是將一個(gè)抽象的（復(fù)雜）問題，轉(zhuǎn)化成另一個(gè)具象的（簡單）問題。而類比的對象，是抽象的、不易直接理解的問題。類比是將問題A轉(zhuǎn)化成問題B，它們之間之所以可以轉(zhuǎn)化，是因?yàn)樗鼈冎g，至少在某一點(diǎn)上，有著相似的共性。

（二）類比推理在高等數(shù)學(xué)中價(jià)值作用

高等數(shù)學(xué)主要包括一元函數(shù)微積分與多元函數(shù)微積分兩大部分人你，它們是相互獨(dú)立的，卻又是相互聯(lián)系的。特別是多元函數(shù)微積分，許多的概念、定理可與一元函數(shù)微積分中相應(yīng)的概念、定理進(jìn)行類比。例如n元函數(shù)的極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分、重積分等重要概念都能與一元函數(shù)的極限、連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分相類比。站在數(shù)學(xué)發(fā)展歷史的層面上看，很多數(shù)學(xué)問題都是在觀察、總結(jié)、比較和推測中找到解決問題的方式。

二、類比推理在高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

根據(jù)中學(xué)學(xué)習(xí)的直線方程的五種形式：點(diǎn)斜式、斜截式、兩點(diǎn)式、截距式及一般式為出發(fā)點(diǎn)，怎樣能確定一張平面呢？平面方程會有什么形式呢？進(jìn)而推出平面的點(diǎn)法式、一般式、截距式及三點(diǎn)式方程。由此可見，類比推理在概念及公式的形成之初是不可少的，是發(fā)現(xiàn)概念和公式的要素。

由距離公式d=? 為出發(fā)點(diǎn)，給出定點(diǎn)P（ 及直線方程Ax+By+C=0，若將平面的點(diǎn)類推到空間點(diǎn)P? ，直線方程類推到平面方程 ，那么點(diǎn)到面的距離公式會是什么形式呢？這就很容易類推得 。

類比法也能應(yīng)用于大學(xué)微積分中，主要知識點(diǎn)是一元函數(shù)與多元函數(shù)的概念、定理和性質(zhì)等，在學(xué)習(xí)一元函數(shù)微積分時(shí)，對概念和性質(zhì)的理解可以結(jié)合直觀性較容易接受，可是到了學(xué)習(xí)多元函數(shù)微積分時(shí)，多變量和空間變化，往往讓我們感到束手無策，如何通過類比，把多元函數(shù)的概念和相關(guān)性質(zhì)的形成從一元函數(shù)找出原型，引入新的觀點(diǎn)，加于推廣并注意它們之間的異同，這可使學(xué)習(xí)效果達(dá)到事半功倍的作用。

在學(xué)習(xí)二元函數(shù)極限概念時(shí)，可用與一元函數(shù)極限概念相類比的方法給出定義。即首先指出二元函數(shù)的極限與一元函數(shù)的極限類似，都是反映在自變量的某個(gè)變化過程中，函數(shù)值無限趨近于某個(gè)常數(shù)的情況，基于這一種一致性，可類比于一元函數(shù)的極限定義給出二元函數(shù)的極限的定義，所以也應(yīng)考慮到讓兩個(gè)自變量與一個(gè)自變量的不同之處。再分析一元函數(shù)的極限是由哪些量描述的。例如以一元函數(shù) 時(shí)， 以A（常數(shù)）為極限的概念為基礎(chǔ)給出二元函數(shù) 時(shí) 以B（常數(shù)）為極限的定義。

一元：? 使當(dāng)0? 時(shí)，總有不等式： ，

于是根據(jù)類比可得出

二元：? 使當(dāng) 即描述自變量得某一變化過程的是兩個(gè)量）總有不等式： ，微積分中有許多定理可以作相互類比，通過類比逐步引導(dǎo)自己引出新定理的內(nèi)容，猜想證明新定理的方法，同時(shí)看到所類比的兩個(gè)對象間的一致性和差異性例如多元函數(shù)連續(xù)、可偏導(dǎo)、可微的三者關(guān)系時(shí)，可與一元函數(shù)的連續(xù)、可導(dǎo)、可微的三者關(guān)系類比。

我們還可以根據(jù)類比法利用一元函數(shù)連續(xù)性、有界性定理類比出二元函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)與定理。

一元函數(shù)的連續(xù)性：設(shè) 的定義域?yàn)镈，對任意D的聚點(diǎn)，且 ，如果 稱 在 點(diǎn)連續(xù)。

一元函數(shù)在定義域范圍內(nèi)，只要當(dāng)任意的 無限接近 ，它的函數(shù)值 也無限接近 時(shí)，那么就說它在 連續(xù)。對于二次函數(shù)也是需要在定義域范圍內(nèi)，這時(shí)是兩個(gè)自變量 ，利用類比，只需要當(dāng) 無限接近定義域內(nèi)的聚點(diǎn) 時(shí)，它們的函數(shù)值 也無限接近 ，那么就可以說 在聚點(diǎn)處連續(xù)。

設(shè) 的定義域?yàn)镈， 有意義且 是D的聚點(diǎn)，如果 ，則稱 在點(diǎn) 連續(xù)。

一元函數(shù)若在區(qū)間D上每一點(diǎn)都連續(xù)，就可稱它在這個(gè)區(qū)間D上連續(xù)，因此多元函數(shù)只要當(dāng)它在區(qū)域D上每一點(diǎn)連續(xù)，也稱它在區(qū)域D上是連續(xù)的。

一元函數(shù)的有界性定理：在給定閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)那么它在閉區(qū)間[a，b]上一定有界，類比可以給出多元函數(shù)有界性定理;如果多元函數(shù)在有界閉區(qū)域上連續(xù)，則函數(shù)在該閉區(qū)域上有界。

三、類比法應(yīng)用于數(shù)學(xué)的意義

根據(jù)以上的分析，可以得出類比法在數(shù)學(xué)解題過程中仍存在局限性，但是不影響它成為最富創(chuàng)造力和想象力的思維方式，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中，需要廣泛地運(yùn)用類比法，培養(yǎng)自身的聯(lián)想能力和對知識與技能的分析轉(zhuǎn)換能力，有利于很好地培養(yǎng)自己在學(xué)習(xí)、解題的過程中發(fā)現(xiàn)問題并解決問題的能力，促進(jìn)綜合能力的提升。在高等數(shù)學(xué)中，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用類比方法能夠使知識點(diǎn)化難為易，能提高自身的創(chuàng)造性思維，但類比不是盲目的，需要教師的正確引導(dǎo)和學(xué)生的自我感悟。合理的利用類比，才能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)質(zhì)的飛躍。

不僅是應(yīng)用于學(xué)習(xí)，甚至延伸至數(shù)學(xué)教學(xué)，類比法也可以讓學(xué)生所熟悉的知識遷移過來，從而更容易掌握新知識，教學(xué)達(dá)到事半功倍的效果;另一方面，類比的過程是由已知向未知推廣與發(fā)展的過程，是學(xué)生掌握的數(shù)學(xué)領(lǐng)域逐步擴(kuò)充的過程。因此，在教學(xué)過程中引入類比，不僅可以引導(dǎo)學(xué)生懂得如何探索問題，而且有利于學(xué)生發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

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