基于SIR模型對新冠肺炎的預(yù)測

張佳琪 譚立超

最近新冠肺炎的大面積爆發(fā)對我國公民的生命和財(cái)產(chǎn)安全造成了極大的隱患，為了對新冠肺炎的傳播規(guī)律進(jìn)行預(yù)測，本文采用SIR模型來模擬新冠肺炎的發(fā)展曲線，根據(jù)測試得到的曲線來推導(dǎo)新冠肺炎的發(fā)展趨勢，并對此進(jìn)行監(jiān)測和預(yù)警。本文首先對SIR模型進(jìn)行了簡要介紹，之后根據(jù)新冠肺炎的傳染規(guī)律，利用SIR模型對其進(jìn)行了數(shù)學(xué)建模，通過對模型的分析，即可得到新冠肺炎的發(fā)展歷程，從而對其進(jìn)行有效的預(yù)防。

一、引言

流行病預(yù)測是令世界各國比較頭疼的問題，雖然在十八世紀(jì)就有數(shù)學(xué)家利用數(shù)學(xué)模型來對流行病進(jìn)行預(yù)測的例子存在，但是世界上真正開始對流行病進(jìn)行研究的課題還是在兩個(gè)世紀(jì)之后才形成的。在1906年，為了對麻疹的傳染規(guī)律進(jìn)行預(yù)測，Hamer博士設(shè)計(jì)了一個(gè)機(jī)遇離散時(shí)間的數(shù)學(xué)模型來分析其發(fā)展規(guī)律，從而開啟了人們利用數(shù)學(xué)模型來對傳染病進(jìn)行分析的歷史。由于傳染病的傳播規(guī)律是連續(xù)的，所以Ross博士采用微分方程來對傳染病進(jìn)行分析，得到了比較好的結(jié)果。在1920年前后，由Kermack和McKendrick博士設(shè)計(jì)了一個(gè)名為SIR的數(shù)學(xué)模型來對給倫敦造成深遠(yuǎn)影響的黑死病進(jìn)行預(yù)測，該模型創(chuàng)新性地將人口結(jié)構(gòu)分為了易感染人群（S）、感染人群（R）以及移出者人群（R），通過對三種人群的動態(tài)變化的研究，來模擬流行病的發(fā)展規(guī)律，得到了很好地結(jié)果，并成為了目前對流行病進(jìn)行預(yù)測時(shí)的一種良好的數(shù)學(xué)模型。

二、SIR模型簡介

SIR是一種基于倉室的數(shù)學(xué)模型，該模型將人口結(jié)構(gòu)劃分為了三種狀態(tài)，三種狀態(tài)可以用下面的數(shù)學(xué)公式進(jìn)行表示：

易感染人群。使用 S （t） 進(jìn)行表示，代表在任意時(shí)刻沒有患上傳染病，但是有很大可能患上傳染病的人群數(shù)量。

感染者人群。使 I （t） 進(jìn)行表示，代表在任意時(shí)刻患上傳染病的人群數(shù)量。

移出者人群。使用 R （t） 進(jìn)行表示，代表在任意時(shí)刻從感染者人群中移出的人數(shù)。

SIR數(shù)學(xué)模型在對傳染病進(jìn)行分析時(shí)，是具有先決條件的，首先，SIR模型考慮人口的出生和死亡，這兩者可能對人口的數(shù)量造成影響，但是影響十分小。其次，SIR模型假設(shè)易感染人群和感染者人群具有一定的流動性，易感染者人群會以某個(gè)因子向感染著人群進(jìn)行遷移。最后，SIR模型假設(shè)感染者人群會以固定的比例系數(shù)進(jìn)入移出者人群，并且狀態(tài)不可逆。所以根據(jù)如上所示的假設(shè)，可以得到下面的SIR模型狀態(tài)遷移圖：

圖1 SIR狀態(tài)遷移圖

圖1給出了SIR模型的狀態(tài)遷移圖，圖中bSI表示易感染者人群向感染者人群的人口遷移數(shù)量，gI表示感染者人群向移出者人群的人口遷移數(shù)量。通過對狀態(tài)遷移圖的分析，可以得到如下所示的SIR數(shù)學(xué)模型：

圖3 病人治愈率曲線

圖4 病人死亡率曲線

表1給出了SIR模型的數(shù)值變化表：

表1 SIR模型數(shù)值變化表

從上表可以看出， I （t） 從初始值到達(dá)第四天的時(shí)候，到達(dá)峰值，而S （t） 則處于單調(diào)遞減的狀態(tài)。為了方便展示，圖5給出了對應(yīng)的數(shù)值變化曲線。

從圖5中可以看出，R （t） 處于單調(diào)遞增的狀態(tài)，表示移出人群的數(shù)量在不斷遞增， I （t） 在經(jīng)歷一個(gè)峰值后逐漸減小， S （t） 則處于單調(diào)遞減狀態(tài)，表明處于易感染的人群數(shù)量在不斷地向移出轉(zhuǎn)態(tài)人群過渡。仿真結(jié)果表明，這種現(xiàn)象符合新冠肺炎的傳播規(guī)律，從新冠肺炎開始爆發(fā)到逐漸平穩(wěn)的過程大概經(jīng)歷了兩個(gè)月的周期。圖6給出了本文的預(yù)測結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)的對比示意圖。

本文預(yù)測到新冠肺炎在武漢地區(qū)經(jīng)過兩個(gè)多月的防控后，疫情狀況逐漸趨于穩(wěn)定，而觀察歷史數(shù)據(jù)也可以發(fā)現(xiàn)，疫情的發(fā)展情況在經(jīng)過兩個(gè)月左右的防控后，確實(shí)已經(jīng)進(jìn)入了尾聲。

圖5 SIR數(shù)值變化曲線

圖6 數(shù)據(jù)擬合測試結(jié)果

五、結(jié)論

SIR是一種有效的傳染病模擬模型，通過將人口結(jié)構(gòu)劃分為易感染人群、感染人群和移出人群來對傳染病的傳播規(guī)律進(jìn)行簡化，可以得到比較準(zhǔn)確的傳染病傳播規(guī)律?？紤]到SIR模型的這一優(yōu)勢，本文利用SIR模型來對武漢地區(qū)的新冠肺炎發(fā)展規(guī)律進(jìn)行了數(shù)學(xué)模擬，模擬結(jié)果表明，本文的測試結(jié)果與實(shí)際的疫情發(fā)展規(guī)律比較符合，大概在兩個(gè)月左右的時(shí)間范圍內(nèi)，疫情將會得到有效的控制。

作者單位：湖北警官學(xué)院