莫爾圓極點(diǎn)法在平面應(yīng)力狀態(tài)教學(xué)中的應(yīng)用

闕仁波

(廈門大學(xué)嘉庚學(xué)院土木工程分院，福建漳州 363105)

莫爾圓極點(diǎn)法的概念源于Karl Culmann 1866年提出的圖解法，即平面應(yīng)力狀態(tài)可用一個(gè)應(yīng)力圓來表示[1]，同時(shí)他在應(yīng)力圓上建立了一個(gè)點(diǎn)[2]，對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，該點(diǎn)具有唯一性，通過該點(diǎn)而平行于任何平面的直線與應(yīng)力圓的交點(diǎn)代表該面上的應(yīng)力[3]。Mohr對應(yīng)力圓進(jìn)行了更深入的研究，提出了現(xiàn)在通常所采用的雙倍角法(double angle approach)，考慮了三向應(yīng)力狀態(tài)的情況，并基于應(yīng)力圓發(fā)展了最大剪應(yīng)力強(qiáng)度理論，突破了當(dāng)時(shí)盛行的Sain-Venant所提出的最大應(yīng)變強(qiáng)度理論，可適應(yīng)于不同的應(yīng)力狀態(tài)，與許多試驗(yàn)結(jié)果比較相符[1]，或許正是鑒于此，現(xiàn)在應(yīng)力圓都以莫爾(Mohr)聞名。

相比通常所采用的雙倍角(圓心角)法，采用單倍角(圓周角)的極點(diǎn)法不僅能確定應(yīng)力的代數(shù)值，還能確定應(yīng)力作用面的幾何方位。但與前者形成鮮明對比的是，除了少量巖土力學(xué)方面的教材和文獻(xiàn)外[3-7]，一般材料力學(xué)或彈性力學(xué)方面的教材和文獻(xiàn)對其鮮有介紹。但它對于確切地表征一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)十分有用，而一點(diǎn)的平面應(yīng)該狀態(tài)，對于材料力學(xué)而言，是個(gè)十分重要而需要深刻理解的概念，但它對初學(xué)材料力學(xué)的同學(xué)而言，卻存在一定的難度。

鑒于上述情況，本文將對一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)、莫爾圓極點(diǎn)法、一點(diǎn)平面應(yīng)力狀態(tài)的莫爾圓極點(diǎn)法表征法和莫爾圓表征法的差異進(jìn)行深入的分析和辨析，以期對教學(xué)和應(yīng)用有所裨益。

1 平面應(yīng)力狀態(tài)分析

1.1 應(yīng)力正負(fù)號(hào)的約定

本文按材料力學(xué)的如圖1所示的應(yīng)力正負(fù)號(hào)約定[8]：正應(yīng)力以拉為正，反之，為負(fù)；剪應(yīng)力以使單元體繞其內(nèi)一點(diǎn)順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)為正，反之，為負(fù)。

圖1 應(yīng)力正負(fù)號(hào)約定

1.2 一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)分析

如圖2(a)所示，設(shè)單元體的厚度為1，X和Y為體力分量，欲求AB面上的應(yīng)力。取隔離體如圖2(b)所示，設(shè)OC=h為AB邊的高，則由法向n向和垂直于n向的平衡條件可得：

圖2 平衡狀態(tài)的單元體

(1)

若令:h→0，則：

(2)

上述求極限的思維方法，是理解一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)概念的關(guān)鍵。即先采用三角形單元體OAB進(jìn)行分析，再令h→0，讓單元體趨于點(diǎn)O，從而使AB面成為經(jīng)過點(diǎn)O的一個(gè)面，如圖2(c)所示。一方面，使體力成為比面力更高階的小量從而可忽略；另一方面，如圖2(c)所示，當(dāng)α變化時(shí)，經(jīng)過點(diǎn)O的平面無窮，但任一平面上的應(yīng)力解析式均可由一對正交平面上的應(yīng)力充分必要地確定，如式(2)所示。

由式(2)可得應(yīng)力圓方程：

2 莫爾圓極點(diǎn)法

對于圖2(a)所示的單元體，可作出其莫爾應(yīng)力圓如圖3(a)所示，再作aP//OA交圓于點(diǎn)P，則點(diǎn)P即為莫爾圓的極點(diǎn)。PS為經(jīng)過點(diǎn)P的切線，亦稱極線。

2.1 極點(diǎn)的唯一性證明

在此，將證明建立在莫爾圓的正確性已確證的基礎(chǔ)上。

過b點(diǎn)作OB的平行線，則它與aP垂直而成直角，因?yàn)閍b為直徑，它所對應(yīng)的圓周角必為直角，故所作平行線與aP的交點(diǎn)必在圓周上，且為P點(diǎn)。即過a點(diǎn)抑或過b點(diǎn)作圖求極點(diǎn)均可。

又如圖3(b)所示，再設(shè)一由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)θ為其外法線方向的面，則其在應(yīng)力圓上對應(yīng)于c點(diǎn)，∠boc=2θ。再過c點(diǎn)作cP′平行于該面，設(shè)其交應(yīng)力圓于P′點(diǎn)，交bP于d點(diǎn)，則由平行關(guān)系可得：∠bdc=θ。又因圓心角∠boc=2θ，其對應(yīng)的圓周角大小應(yīng)為θ，故d點(diǎn)必在圓周上，且d、P′和P三點(diǎn)合一。

圖3 莫爾圓極點(diǎn)法示意

綜上所述，對于給定的應(yīng)力狀態(tài)，極點(diǎn)具有唯一性。

2.2 莫爾圓極點(diǎn)法的合理性證明

如圖3(b)所示，設(shè)一由x軸逆時(shí)針轉(zhuǎn)θ為其外法線方向的面，由點(diǎn)P作該面的平行線交莫爾圓于點(diǎn)c，則由平行關(guān)系可得：∠bPc=θ，又由圓心角與圓周角的關(guān)系可得：∠boc=2θ，則采用極點(diǎn)法與采用雙倍角法所確定的點(diǎn)重合，而后者的正確性已確證。

3 雙倍角法與極點(diǎn)法的對比

設(shè)如圖4(b)所示的三種坐標(biāo)系所對應(yīng)的應(yīng)力單元如圖4(c)～圖4(e)所示，它們的應(yīng)力分量大小均相等，則在圖4(a)所示的σ-τ坐標(biāo)系中，由它們作莫爾圓時(shí)所用的坐標(biāo)值a(σx,τxy)和b(σy,τyx)均相同，故應(yīng)力圓相同，但極點(diǎn)則分別為P、P1和P2。相同的圓心角∠aob(=180°)，對應(yīng)于不同的圓周角∠aPb、∠aP1b和∠aP2b。若從反演的角度即只知道應(yīng)力圓而不知道畫該應(yīng)力圓所依據(jù)的應(yīng)力狀態(tài)，則莫爾圓上的一點(diǎn)代表一個(gè)面，而若連結(jié)該點(diǎn)和極點(diǎn)，則給出該面的方位。故雙倍角法給出：應(yīng)力的代數(shù)值和相對夾角；而極點(diǎn)法則同時(shí)給出：應(yīng)力作用面的絕對幾何方位。故極點(diǎn)法能更全面地反映應(yīng)力的要素。

圖4 單元體轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)極點(diǎn)的變化情況

如圖5所示，極點(diǎn)與圓周上任何點(diǎn)的連線均平行于連結(jié)點(diǎn)所代表的面，故極點(diǎn)亦可看作不同平面的匯集點(diǎn)，即圖2(c)中的點(diǎn)。

圖5 極點(diǎn)法特性示意

4 結(jié)束語

(1)極點(diǎn)法將雙倍角法中代表面的點(diǎn)還原為相同方位的面；將以圓心為參考點(diǎn)的0～360°的圓心角(雙倍角)還原為以極點(diǎn)為參考點(diǎn)的0～180°的圓周角(實(shí)際角)。

(2)莫爾圓上的一點(diǎn)代表一個(gè)面，而若連結(jié)該點(diǎn)和極點(diǎn)，則給出該面的方位。故雙倍角法給出：應(yīng)力的代數(shù)值和相對夾角；而極點(diǎn)法則同時(shí)給出：應(yīng)力作用面的絕對幾何方位。故極點(diǎn)法能更全面地反映一點(diǎn)的平面應(yīng)力狀態(tài)的要素。