基于快速非奇異終端滑模的多彈協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

郭正玉　韓治國

摘 要：針對空空導(dǎo)彈協(xié)同攻擊高速大機動目標(biāo)問題，提出了一種帶有期望攻擊角約束的多彈協(xié)同制導(dǎo)律。首先，在縱向平面內(nèi)建立彈-目幾何關(guān)系，建立含有攻擊角約束的導(dǎo)彈視線方向和視線法向方向的多彈協(xié)同制導(dǎo)模型;其次，針對視線方向制導(dǎo)模型，基于代數(shù)圖論和有限時間一致性理論設(shè)計了視線方向上的協(xié)同制導(dǎo)律，保證3枚導(dǎo)彈能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)的協(xié)同攻擊，并利用現(xiàn)有觀測器對目標(biāo)的機動能力進行估計;再次，基于快速非奇異終端滑?？刂评碚撛O(shè)計了視線法向方向上的制導(dǎo)律，保證3枚導(dǎo)彈均能夠精確命中目標(biāo)，同時保證彈-目的視線角收斂到期望的終端視線角，視線角速率收斂到0;最后，仿真驗證了所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性。

關(guān)鍵詞： 協(xié)同制導(dǎo);攻擊角約束;快速非奇異終端滑模;有限時間

中圖分類號：TJ765.3 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號： 1673-5048（2020）03-0062-05

0 引言

空空導(dǎo)彈經(jīng)過70多年的發(fā)展，由最初的無制導(dǎo)火箭彈發(fā)展到現(xiàn)在的制導(dǎo)方式多樣化，遠、中、近距系列化和海、陸、空三軍通用化的空空導(dǎo)彈家族，成為空中對抗的主要武器和各軍事強國優(yōu)先發(fā)展的武器裝備[1-2]。

隨著作戰(zhàn)環(huán)境的日趨復(fù)雜，作戰(zhàn)目標(biāo)的不斷出現(xiàn)，影響了空空導(dǎo)彈制空作戰(zhàn)的效能。采用多枚空空導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)，使導(dǎo)彈之間能夠直接進行信息交互，有效對抗復(fù)雜環(huán)境，提高對目標(biāo)的探測和毀傷，特別是針對大機動目標(biāo)，能夠從多個角度、多個方位協(xié)同攻擊，從而極大地提高作戰(zhàn)效能。因此，研究空空導(dǎo)彈的多彈協(xié)同制導(dǎo)方法有著重要的理論和現(xiàn)實意義。

協(xié)同制導(dǎo)的一個典型應(yīng)用是導(dǎo)彈同時發(fā)射對目標(biāo)進行攻擊。一般地，導(dǎo)彈同時發(fā)射的制導(dǎo)律設(shè)計，可以根據(jù)攻擊目標(biāo)的不同分為兩類[3]，發(fā)射前預(yù)設(shè)攻擊時間的制導(dǎo)律和在飛行時的實時攻擊制導(dǎo)律。第一類制導(dǎo)律的開創(chuàng)者Jeon等人，通過在比例導(dǎo)引的基礎(chǔ)上疊加一個對攻擊時間的誤差反饋，使得導(dǎo)彈的實際飛行時間接近預(yù)計的攻擊時間。進一步地，Lee等人[4]以及Harl等人[5]分別通過最優(yōu)控制和滑?？刂评碚摪l(fā)展了該類制導(dǎo)律。然而，第一類制導(dǎo)律有一個明顯的缺點，就是很難對機動目標(biāo)，尤其是對不確定其運動規(guī)律的機動目標(biāo)設(shè)計預(yù)計的攻擊時間，因此第二類制導(dǎo)律應(yīng)運而生。為了使攻擊時間動態(tài)同步，研究者們提出了領(lǐng)-從式協(xié)同制導(dǎo)策略和集中式協(xié)同制導(dǎo)策略[6-7]。此外，為提高制導(dǎo)系統(tǒng)的適應(yīng)性和可擴展性，Zhao等人[8]提出了一種通過控制攻擊時間的分布式協(xié)同制導(dǎo)算法。李強[9]針對協(xié)同制導(dǎo)問題，在視線方向，基于一致性理論，設(shè)計了控制指令，實現(xiàn)了彈間協(xié)同制導(dǎo);在視線法向，設(shè)計了有限時

間收斂的滑模制導(dǎo)律。Zhai等人[10]通過考慮對帶有誘餌的目標(biāo)，運用多個攔截導(dǎo)彈，提出了一種基于區(qū)域覆蓋的攔截算法，最大程度地提高了聯(lián)合攔截的成功率。Shaferman等人 [11]提出了一種領(lǐng)彈和從彈之間的協(xié)同策略，通過導(dǎo)彈和目標(biāo)的信息共享提高了從彈的攔截性能。 為減少傳遞誤差，Wang等人[12]提出了一種協(xié)同中段制導(dǎo)律，使得中段的導(dǎo)彈可以運用末端導(dǎo)彈所收集的目標(biāo)信息。

本文在上述研究成果的基礎(chǔ)上，針對多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊空中的高速大機動目標(biāo)問題，提出了一種帶有期望攻擊角約束的多彈協(xié)同制導(dǎo)律，建立了多彈協(xié)同制導(dǎo)模型， 并利用數(shù)值仿真驗證了本文設(shè)計模型的有效性。

1 協(xié)同制導(dǎo)模型建立

為了簡化協(xié)同制導(dǎo)模型，將導(dǎo)彈和目標(biāo)視為質(zhì)點?；谠摷僭O(shè)，本文針對3枚導(dǎo)彈協(xié)同攻擊高速大機動目標(biāo)的問題開展研究，彈-目幾何關(guān)系如圖1所示。

圖中，Mi和T為第i枚導(dǎo)彈和目標(biāo)，ri為Mi與T的相對距離，qi為Mi的視線角，vmi和vt為Mi和T的速度，θmi和θt為Mi和T的彈道傾角，ami和at為Mi和T的法向過載，其中，i=1， 2， 3， i為導(dǎo)彈數(shù)量。協(xié)同制導(dǎo)方程如下[12-13]：

式中： r¨i為彈-目距離對時間的2階導(dǎo)數(shù);q¨i為彈-目視線角對時間的2階導(dǎo)數(shù);uri和wri分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度在視線方向的分量;uqi和wqi分別為導(dǎo)彈和目標(biāo)的加速度在視線法向方向的分量;uri，wri，uqi，wqi變量的具體表達式可參見相關(guān)文獻。令x1i=ri，x2i=r·i，x3i=qi-qdi=qei，x4i=q·i，其中，qdi為導(dǎo)彈的期望視線角;qei為Mi的彈目實際視線角與期望視線角偏差，則由式（1）可得多導(dǎo)彈協(xié)同制導(dǎo)模型為[12-13]

根據(jù)式（2），在導(dǎo)彈視線方向和視線法向分別設(shè)計uri和uqi，使得x1i及x2i在有限時間內(nèi)達到一致，x3i及x4i在有限時間內(nèi)收斂到0， 最后，將得到的uri和uqi代入式（2）中，并通過仿真驗證所設(shè)計制導(dǎo)律的有效性。

2 協(xié)同制導(dǎo)律設(shè)計

2.1 視線方向上的加速度指令設(shè)計

基于二階多智能體系統(tǒng)有限時間一致性原理，設(shè)計視線方向上的加速度指令，以保證所有的導(dǎo)彈同時擊中機動目標(biāo)[12]。針對式（2），通過變量代換轉(zhuǎn)化為[13]

式中： xi=x1i，vi=x2i，ui=x1ix24i-uri。

引理1： 考慮式（2）所表示的系統(tǒng)，己知其通信拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖G是無向連通圖，根據(jù)無向連通圖原理，采用如下的控制律可以保證系統(tǒng)狀態(tài)在有限時間內(nèi)趨于一致[11]：

式中： 0<αi<1（i=1， 2， 3）， 2（α1-α3）=（1+α1）α2;sig（x）α1=|x|α1sgn（x）;ψ1和ψ2是奇函數(shù);存在正數(shù)bi（i=1，2），yψi（y）>0（y≠0∈R）和ψi（y）=biy+o（y）（y≠0∈R）（在0的域內(nèi)）成立。

由引理1可知，設(shè)計式（5）的制導(dǎo)律可以使得式（2）的狀態(tài)在有限時間內(nèi)趨于一致，即實現(xiàn)視線方向的協(xié)同制導(dǎo)：

式中： wri為外部擾動的總和，可由下式所構(gòu)成的觀測器進行估計[12-14]：

式中： λji，μji>0（j=1，2，3，i=1，2，3）; w^ri（t）是系統(tǒng)外界總干擾wri的估計值。

2.2 視線法線方向上的加速度指令設(shè)計

為方便制導(dǎo)律設(shè)計，給出如下引理：

引理2： 對于任意給定的實數(shù)λ1>0，λ2>0，0

V·（x）+λ1V（x）+λ2Vk（x）≤0（7）

對于式（7），穩(wěn)定時間能夠用下式進行估計：

Tk≤1λ1（1-k）lnλ1V1-k（x0）+λ2λ2（8）

即系統(tǒng)狀態(tài)有限時間收斂。 針對制導(dǎo)系統(tǒng)模型式（2），設(shè)計非奇異終端滑模面：

s=x3+βsigα（x4）+λx4（9）

式中： β，λ>0; 1<α<2;sigα（x4）=|x4|αsgn（x4）。

本文針對高速大機動目標(biāo)， 在設(shè)計趨近律時，考慮如下含有符號函數(shù)的快速冪次趨近律：

s·=-k1s-k2sigγ（s）-εsgn（s） （10）

式中： k1，k2>0;0<γ<1;ε需要滿足的條件將在后文給出。

對式（9）求導(dǎo)，可得

s·=x3+（αβ|x4|α-1+λ）-2x2x1x4-uqx1+wqx1（11）

結(jié)合式（10）～（11），得

式中： b=αβ|x4|α-1+λ。

定理1： 對于協(xié)同制導(dǎo)模型式（2），在設(shè)計的制導(dǎo)律式（12）的作用下，可使系統(tǒng)狀態(tài)x3，x4在有限時間內(nèi)到達滑模面。在滑模面s=0上，根據(jù)快速非奇異終端滑模的基本特性，系統(tǒng)狀態(tài)x3，x4能夠在有限時間內(nèi)收斂到0，即q·（t）→0，q（t）→qd。

證明： 構(gòu)造如下的Lyapunov函數(shù)：

根據(jù)引理1可知，系統(tǒng)狀態(tài)將在有限時間內(nèi)收斂到本文設(shè)計的滑模面，且收斂時間為

在滑模面s=0上，根據(jù)滑模面的性質(zhì)，系統(tǒng)狀態(tài)x3，x4將在有限時間收斂到平衡點，即視線角收斂到期望值，視線角速率收斂到0，證畢。

本文在設(shè)計滑模面式（9）時，引入了λx4這一項。這一項的作用是避免系統(tǒng)狀態(tài)x4趨于0時，系統(tǒng)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。如果λ=0，則x4→0，b=αβ·x4α-1→0，進而有b-1→∞，從而系統(tǒng)出現(xiàn)奇異現(xiàn)象。在設(shè)計滑模面時，通過引入λx4這一項，使得x4→0，b=αβx4α-1+λ→λ，b-1→λ-1，從而有效避免了奇異現(xiàn)象。

3 仿真分析

為了驗證本文所采用的視線方向制導(dǎo)律式（5）與設(shè)計的基于快速非奇異終端滑模視線法線方向制導(dǎo)律式（12）在協(xié)同制導(dǎo)時的有效性，設(shè)計仿真場景： 3枚導(dǎo)彈在有限的攻擊距離內(nèi)，協(xié)同攻擊1個高速大機動目標(biāo)。目標(biāo)的初始位置為（30 km， 29 km），速度為500 m/s，初始航向角為160°，目標(biāo)機動過載為10gsin（t）。3枚導(dǎo)彈的初始參數(shù)如表1所示，導(dǎo)彈最大可用過載30g。

多彈協(xié)同既要保證導(dǎo)彈之間實現(xiàn)信息互通、共享其自組織網(wǎng)絡(luò)能力，還要建立多層面、異構(gòu)與同構(gòu)并存的混合體系架構(gòu)。多彈能夠根據(jù)態(tài)勢，采用動態(tài)分配的方式實現(xiàn)內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)成員之間的協(xié)同攻擊。本文采用有中心的組織架構(gòu)設(shè)計，彈間通訊結(jié)構(gòu)如圖2所示，M2即編號為2的導(dǎo)彈， 是3枚導(dǎo)彈的彈群中心，M2與M1和M3均能夠傳遞信息。M1和M3即編號為1和3的導(dǎo)彈，僅能夠與M2傳遞信息，M1和M3之間不進行信息傳遞，整個彈群由指揮中心對任務(wù)進行分配，彈間通訊權(quán)系數(shù)矩陣可表示為

導(dǎo)彈視線方向的制導(dǎo)律參數(shù)選取如下： ψ1（x）=ψ2（x）=x， α1=0.6， α2=0.75。導(dǎo)彈視線法向方向的制導(dǎo)律參數(shù)選取如下： α=5/3， β=5， λ=1.2， k1=3，k2=2。

根據(jù)上述仿真參數(shù)和本文所設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律，典型目標(biāo)和攻擊態(tài)勢的仿真結(jié)果如圖3～7所示。3枚導(dǎo)彈的制導(dǎo)時間和脫靶量情況見表2。

圖3為慣性系下的彈-目運動軌跡曲線，從圖中可以看出，采用本文設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律，3枚導(dǎo)彈能夠同時命中目標(biāo)，彈道無交叉，導(dǎo)彈不會相互碰撞。圖4為彈-目相對距離曲線，同樣可以看出，在3枚導(dǎo)彈初始彈-目距離不相同的情形下，

采用本文設(shè)計的制導(dǎo)律，在大約15 s左右，3枚導(dǎo)彈實現(xiàn)了彈-目距離協(xié)同，3枚導(dǎo)彈能夠同時命中目標(biāo)。圖5為導(dǎo)彈的速度曲線，可以看出，為了實現(xiàn)對高速大機動目標(biāo)的協(xié)同攻擊，3枚導(dǎo)彈的速度需要按照視線方向過載指令進行變化。圖6為導(dǎo)彈視線方向過載曲線，可以看出，導(dǎo)彈在視線方向的最大過載為10g， 在攻擊高速大機動目標(biāo)時，導(dǎo)彈在視線方向的過載沒有發(fā)生飽和，且視線方向過載曲線變化平穩(wěn)。圖7

為導(dǎo)彈視線法向方向過載曲線，在視線方向的法向，導(dǎo)

彈最大過載為30g，在初始階段，導(dǎo)彈為了盡快調(diào)整彈-目相對位置關(guān)系，視線法向方向過載發(fā)生了大約5 s的過載飽和現(xiàn)象，5 s之后視線法向方向過載變化非常平穩(wěn)，在制導(dǎo)末段接近為0，保證能夠命中目標(biāo)。從表2可以看出，3枚導(dǎo)彈的脫靶量均很小。因此，根據(jù)上述仿真結(jié)

果可以看出，針對高速大機動目標(biāo)，利用本文設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律，能夠?qū)崿F(xiàn)對目標(biāo)的精確協(xié)同攻擊。

4 結(jié)論

本文針對多導(dǎo)彈協(xié)同攻擊高速大機動目標(biāo)問題進行了研究，設(shè)計了能夠支持多彈協(xié)同攻擊的協(xié)同制導(dǎo)律，并進行了理論建模與仿真分析。仿真結(jié)果表明，3枚導(dǎo)彈不但能夠命中目標(biāo)，還能夠協(xié)同并同時命中高速大機動目標(biāo)。因此，本文所設(shè)計的協(xié)同制導(dǎo)律具有先進性，能夠提高多導(dǎo)彈制導(dǎo)控制的精確性，提升多導(dǎo)彈協(xié)同作戰(zhàn)的效能。

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