導(dǎo)數(shù)與方程、不等式

一、填空題

3.（2019年南昌二中期中卷）已知函數(shù)f（x）=x3+ax2+bx+c（x∈[-2，2]）表示的曲線(xiàn)過(guò)原點(diǎn)，且在x=±1處的切線(xiàn)斜率均為-1，有以下命題：

①f（x）的解析式為f（x）=x3-4x，x∈[-2，2]；

②f（x）的極值點(diǎn)有且僅有一個(gè)；

③f（x）的最大值與最小值之和等于零.

其中正確命題的序號(hào)為_(kāi)_______.

4.已知函數(shù)f（x）=x3+3xf′（1），則方程f′（x）=0的根是________.

5.已知函數(shù)f（x）=x2-（2a-1）x+a2-2與直線(xiàn)y=0（x≥0）至少有一個(gè)交點(diǎn)，則a的取值范圍為_(kāi)_______.

7.已知函數(shù)f（x）=x（x-a）2，g（x）=-x2+（a-1）x+a（a∈R，a＞0），若存在，使得f（x0）＞g（x0）成立，則a的取值范圍是____________.

8.已知函數(shù)f（x）=mx3+nx2的圖象在點(diǎn)（-1，2）處的切線(xiàn)恰好與直線(xiàn)3x+y=0平行，若f（x）在區(qū)間[t，t+1]上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)t的取值范圍是____________.

9.已知函數(shù)f（x）=，若函數(shù)g（x）=f（f（x））+1有4個(gè)零點(diǎn)，則k的取值范圍是______________.

10.（2019年廣州市期中卷）已知函數(shù)，若對(duì)任意的x1∈[-1，2]，存在x2∈[2，4]，使得f（x1）=g（x2），則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_______.

二、解答題

11.（2018年全國(guó)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=aex-lnx-1.

（1）設(shè)x=2是f（x）的極值點(diǎn).求a，并求f（x）的單調(diào)區(qū)間；

12.已知函數(shù)f（x）=ln（x+1）-mx.

（1）求函數(shù)f（x）的極值；

（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，e2-1]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍.

13.已知函數(shù)f（x）=lnx，（a＞0），設(shè)F（x）=f（x）+g（x）.

（1）求F（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）若以F（x）（x∈（0，3]）圖象上任意一點(diǎn)P（x0，y0）為切點(diǎn)的切線(xiàn)的斜率恒成立，求實(shí)數(shù)a的最小值；

（3）是否存在實(shí)數(shù)m，使得函數(shù)y=的圖象與函數(shù)y=f（1+x2）的圖象恰有四個(gè)不同的交點(diǎn)？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由.

參考數(shù)據(jù)：ln2=0.69.

14.（2019年全國(guó)Ⅰ卷）已知函數(shù)f（x）=sinx-ln（1+x），f′（x）為f（x）的導(dǎo)數(shù).證明：

（1）f′（x）在區(qū)間上存在唯一極大值點(diǎn)；

（2）f（x）有且僅有2個(gè)零點(diǎn).