有限群的廣義c#-正規(guī)子群

韋華全，袁衛(wèi)峰，周宇珍，李 雪，李 敏

(1.廣西大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院, 廣西 南寧 530004；2.廣西大學(xué) 教務(wù)處, 廣西 南寧 530004)

本文所有的群都是有限群，以π(G)表示群G的階|G|的所有素因子的集合，M<·G表示M是G的極大子群，Hallπ(G)表示G的Hallπ-子群的集合。

正規(guī)子群是群論最基本的概念之一，它對(duì)群論的研究起到非常重要的作用。正規(guī)概念有多個(gè)重要推廣，相應(yīng)地也得到了豐富的研究成果,如：Gaschütz[1]于1962年提出了覆蓋-遠(yuǎn)離子群(CAP-子群)的概念;后來有許多學(xué)者用子群的覆蓋-遠(yuǎn)離性研究群的結(jié)構(gòu)，給出了可解群、p-冪零群、超可解群和局部定義群系的一些充分或必要條件，見文獻(xiàn)[2-6]；Wang[7]于1996年引入了c-正規(guī)子群的概念，并成功利用極大子群、Sylow子群的極大子群等的c-正規(guī)性，得到有限群可解、超可解的若干判別準(zhǔn)則；2006年，韋華全[8]引入c#-正規(guī)性與c#-可補(bǔ)性，并利用某些極大子群、2-極大子群和Hall子群的c#-正規(guī)性與c#-可補(bǔ)性，得到了有限群可解(或π-可解)的充分或必要條件，統(tǒng)一推廣了若干有關(guān)覆蓋-遠(yuǎn)離性、c-正規(guī)性與c-可補(bǔ)性的熟知結(jié)果(亦可參見文獻(xiàn)[9-10])。關(guān)于c-正規(guī)概念的其他推廣以及利用子群的其他特性研究可解群的結(jié)果，讀者可參看文獻(xiàn)[11-20]。

本文引入廣義c#-正規(guī)子群, 它是覆蓋-遠(yuǎn)離子群和c-正規(guī)子群的另一種統(tǒng)一推廣。首先，利用Hall子群的廣義c#-正規(guī)性，得到有限群π-可解的一個(gè)充要條件，推廣了Schur-Zassenhaus定理；其次，利用可解Hall子群和Sylowp-子群的極大子群的廣義c#-正規(guī)性，得到有限群可解的兩個(gè)充分條件；最后，利用可解極大或2-極大子群的廣義c#-正規(guī)性，得到有限群可解的2個(gè)充要條件。

1 定義及引理

定義1[2]設(shè)A是群G的子群，H/K為G的主因子。若HA=KA，則稱A覆蓋H/K；若H∩A=K∩A，則稱A遠(yuǎn)離H/K；若A或覆蓋或遠(yuǎn)離G的每個(gè)主因子，則稱A為G的CAP-子群。

定義2[7]設(shè)G是群，H為G的子群。稱H為G的c-正規(guī)子群，如果存在G的正規(guī)子群K，使得G=HK且H∩K≤HG，其中HG是G的含于H的最大正規(guī)子群。

下面引入廣義c#-正規(guī)子群。

定義3設(shè)G是群，H為G的子群。稱H為G的廣義c#-正規(guī)子群，如果存在G的正規(guī)子群K，使得HK在G中正規(guī)，并且H∩K是G的CAP-子群。

① 如果N≤H，那么H/N為G/N的廣義c#-正規(guī)子群；

② 如果gcd(|H|,|N|)=1，那么HN/N為G/N的廣義c#-正規(guī)子群。

① 當(dāng)N≤H時(shí)，H/N∩KN/N=(H∩K)N/N是G/N的CAP-子群，所以H/N為G/N的廣義c#-正規(guī)子群。

類似可證N∩(HN∩K)=N∩K∈Hallπ′(HN∩K)。因此HN∩K=(H∩K)(N∩K)，(HN∩K)N/N=(H∩K)N/N，(H∩K)N/N是G/N的CAP-子群，故HN/N為G/N的廣義c#-正規(guī)子群。證畢。

以下Thompson定理見文獻(xiàn)[21]。

引理2[21](Thompson定理) 存在奇階冪零極大子群的群可解。

引理3[8]群G可解當(dāng)且僅當(dāng)存在G的可解c#-正規(guī)極大子群M。

引理4(Burnsidep-冪零準(zhǔn)則) 設(shè)G是群,P∈Sylp(G)。若NG(P)=CG(P)，則G為p-冪零群。

引理5[8]群G可解當(dāng)且僅當(dāng)存在G的可解c#-正規(guī)2-極大子群L。

2 主要結(jié)果

定理1設(shè)H是群G的Hallπ-子群，其中π是一個(gè)素?cái)?shù)集合，則G是π-可解群或π′-可解群當(dāng)且僅當(dāng)H為G的廣義c#-正規(guī)子群。

證明必要性。設(shè)G是π-可解群。則對(duì)G的任意主因子A/B，A/B為π′-群或p-群，其中p∈π。若前者成立，則A/B∩HB/B=1，H∩A=H∩B，即H遠(yuǎn)離A/B；若后者成立，則A/B≤HB/B，于是HA=HB，即H覆蓋A/B。故H為G的CAP-子群，H是G的廣義c#-正規(guī)子群。同理可證，當(dāng)G是π′-可解群時(shí)，H也是G的廣義c#-正規(guī)子群。

情形1若2?π，則G是π-可解群。

情形2若2∈π，則G是π′-可解群。

設(shè)K≠1，N是G的極小正規(guī)子群且N≤K。若HG≠1，利用歸納法，G/HG是π′-可解群，所以G是π′-可解的。若HG=1，則H∩K必定遠(yuǎn)離N/1，故(H∩K)∩N=H∩N=1，N是π′-群。由奇階定理得N可解。再由引理1②及歸納法知G/N是π′-可解，故G是π′-可解群。證畢。

推論1(Schur-Zassenhaus定理的推廣) 設(shè)H是群G的Hallπ-子群，其中π是一個(gè)素?cái)?shù)集合。若H為G的廣義c#-正規(guī)子群，則H在G中有補(bǔ)且所有這樣的補(bǔ)在G中共軛。

推論2設(shè)P是群G的Sylowp-子群，其中p∈π(G)，則G是p-可解群當(dāng)且僅當(dāng)P在G中廣義c#-正規(guī)。

證明因2′-可解群必是可解群，由定理1及其證明即得結(jié)論。

定理2設(shè)H1和H2是群G的2個(gè)可解子群，使得G=H1H2。如果H1是G的廣義c#-正規(guī)Hall子群，那么G是可解群。

gcd(|H2:H1∩H2|,|H1∩H2|)=gcd(|G:H1|,|H1∩H2|)=1，

所以H1∩H2是H2的Hall子群。設(shè)π=π(H1∩H2)并設(shè)(H2)π′是H2的Hallπ′-子群，那么H2=(H1∩H2)(H2)π′，且G=H1(H2)π′。下面考慮K1的2種情形：

② 若K1≠1，設(shè)N是G的含于K1的極小正規(guī)子群。若H1∩K1覆蓋N/1，則(H1∩K1)N=H1∩K1，因此，N≤H1，N可解。由引理1①，H1/N是G/N的廣義c#-正規(guī)可解Hall子群。又G=(H1/N)(H2N/N)，利用歸納法，G/N可解，這樣G可解。如果H1∩K1遠(yuǎn)離N/1，則H1∩N=1，N是σ′-子群，其中σ=π(H1)。進(jìn)一步由G=H1(H2)π′可得N≤(H2)π′≤H2，所以N可解。類似可證G可解。證畢。

定理3設(shè)H是群G的Sylowp-子群的極大子群，其中p∈π(G)且gcd(|G|,p-1)=1。如果H是G的廣義c#-正規(guī)子群，那么G是可解群。

(HN/N)∩(K/N)=(H∩K)N/N

是G/N的CAP-子群。這表明，HN/N是G/N的廣義c#-正規(guī)子群。由推論2，G/N是2-可解群，當(dāng)然，G/N可解。最后由N可解得G可解。證畢。

推論3設(shè)M是群G的冪零極大子群，P是M的Sylow 2-子群。若P或P的某個(gè)極大子群為G的廣義c#-正規(guī)子群，則G可解。

定理4群G可解當(dāng)且僅當(dāng)存在G的可解廣義c#-正規(guī)極大子群M。

定理5群G可解當(dāng)且僅當(dāng)存在G的可解廣義c#-正規(guī)2-極大子群T。

注2上述定理是利用子群的廣義c#-正規(guī)性得到的結(jié)果，換成更強(qiáng)的“c-正規(guī)性”，則結(jié)論中的必要性未必成立；或者由于過強(qiáng)的條件不能滿足而無法直接用“c-正規(guī)性”去判別群的(π-)可解性。

例如, 設(shè)G=S4為4次對(duì)稱群,P是G的Sylow 3-子群，則K4故P是G的廣義c#-正規(guī)子群，這里A4為4次交錯(cuò)群，K4是Klein四元群。但P不是可解群G的c-正規(guī)子群。若不然，存在使得G=PK且P∩K=1，這樣K是G的正規(guī)Sylow 2-子群，矛盾。這表明，將廣義c#-正規(guī)換成c-正規(guī)，定理1結(jié)論中的必要性是不成立的，而由于條件過強(qiáng)常常得不到滿足，所以定理2或定理5換成“c-正規(guī)性”條件也不實(shí)用。

又如，設(shè)P=〈a,b|a3=b3=[a,b]=1〉,c∈Aut(P)，且滿足c-1ac=b-1,c-1bc=a。則o(c)=4。令G=P〈c〉并取H=〈c2〉。易知,H<·〈c〉，且故H是G的廣義c#-正規(guī)。由定理3或定理5可以判別G是可解群。但是,H不是G的c-正規(guī)子群。若不然，存在使得G=HK且H∩K=1 (因HG=1), 進(jìn)而, 〈c〉=H(〈c〉∩K)=〈c〉∩K，〈c〉≤K，導(dǎo)致H=H∩K=1，矛盾。