高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選題的誤區(qū)及對(duì)策

邵思青

[摘? 要] 教學(xué)中的選題存在以下誤區(qū)：選題過(guò)于簡(jiǎn)單，不注重變化;或者選題難度偏大，不注重效率;抑或者選題過(guò)于注重技巧，不注重通性通法，等等. 選題時(shí)應(yīng)該要注重以小搏大，見(jiàn)微知著;選題要注重題組引領(lǐng)，鞏固“四基”;選題要注重變式探究，發(fā)散思維.

[關(guān)鍵詞] 選題;誤區(qū);對(duì)策

選題是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)中每一位數(shù)學(xué)教師都要做的一件事. 可以說(shuō)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的成功與否就在于教師的題選的好不好. 課堂例題選的好就能夠幫助學(xué)生掌握知識(shí)點(diǎn)形成數(shù)學(xué)思維，作業(yè)和考試的題選的好就能夠幫助學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行思考和表述. 有一些高三教師在復(fù)習(xí)過(guò)程中選題不夠經(jīng)典或不具備代表性，學(xué)生做題時(shí)所獲得的感悟與體驗(yàn)不夠深刻也就難以促進(jìn)自身數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的發(fā)展了.

當(dāng)前高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)教學(xué)中選題的誤區(qū)

1. 選題過(guò)于簡(jiǎn)單，不注重變化

有些教師高三復(fù)習(xí)備課選題時(shí)對(duì)學(xué)情不是太了解，有的可能考慮到高考試卷中也有基礎(chǔ)題，因此選的題目過(guò)于簡(jiǎn)單，教師講的學(xué)生都會(huì)，學(xué)生不感興趣;還有的教師選的題過(guò)于單一，不能很好地變式拓展，教師淪落為就題講題，學(xué)生淪落為就題做題，選題的效果沒(méi)有做到最大化.

2. 選題難度偏大，不注重效率

有些教師在高三復(fù)習(xí)備課選題時(shí)過(guò)于注重綜合性，選題直接選壓軸題，學(xué)生往往只能做第一問(wèn)，課堂上經(jīng)常淪為教師的獨(dú)角戲. 即使教師思路講解得很清晰，但學(xué)生仍然是上課聽(tīng)得懂，課后自己不會(huì)做. 長(zhǎng)此以往，教師一道題即使講了多遍，學(xué)生仍然不會(huì)做，課堂效率低下.

3. 選題過(guò)于注重技巧，不注重通性通法

有些教師在高三復(fù)習(xí)備課選題時(shí)認(rèn)識(shí)不清技巧與數(shù)學(xué)思想方法的區(qū)別，不注重大巧若拙的通性通法，受技巧之“巧”的誘惑，把學(xué)生的注意力引到“題型+技巧”上. 久而久之，使學(xué)生忘了解題的根本，沒(méi)有學(xué)會(huì)最基本的數(shù)學(xué)思考方法，因而在高考的“競(jìng)技場(chǎng)”上敗下陣來(lái). 可以說(shuō)這就是教師選題失敗導(dǎo)致的.

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選題的對(duì)策

1. 選題要注重以小搏大，見(jiàn)微知著

高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的時(shí)間緊，強(qiáng)度大，因此教師在備課選題時(shí)應(yīng)該要把握好度，要根據(jù)考情和學(xué)情，從數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)的基本原理和背景這種“小處”作為切入點(diǎn)，通過(guò)歸類(lèi)整合、精選例題，使知識(shí)運(yùn)用提檔升級(jí)，螺旋上升，達(dá)到突出重點(diǎn)、突破難點(diǎn)、糾正疑點(diǎn)這種“大”的目的.

案例1：用導(dǎo)數(shù)研究切線(xiàn)問(wèn)題.

導(dǎo)數(shù)的幾何意義是高考的一個(gè)重要的考點(diǎn)，筆者在高三復(fù)習(xí)時(shí)從四個(gè)角度的小處入手，通過(guò)精心選題，剖析知識(shí)點(diǎn)，從而達(dá)到復(fù)習(xí)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)的目的.

（1）求在曲線(xiàn)上一點(diǎn)處的切線(xiàn)方程.

例1：曲線(xiàn)y=x3上在點(diǎn)（-1，-1）的切線(xiàn)方程為_(kāi)_________.

變式：已知函數(shù)y=f（x）的圖像在點(diǎn)M（1，f（1））處的切線(xiàn)方程是x-2y+6=0，那么f（1）+f′（1）=__________.

點(diǎn)評(píng)：明確這點(diǎn)是切點(diǎn)之后，按照求切線(xiàn)方程的基本步驟完成即可.

（2）求過(guò)某一點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的切線(xiàn)方程.

例2：若過(guò)點(diǎn)（0，0）的直線(xiàn)l與曲線(xiàn)y=x3-3x2+2x相切，則直線(xiàn)l的方程為_(kāi)_____.

點(diǎn)評(píng)：求過(guò)點(diǎn)（a，b）且與曲線(xiàn)y=f（x）相切的切線(xiàn)方程的解題步驟：

①先設(shè)切點(diǎn)（x0，y0），導(dǎo)函數(shù)的值為切線(xiàn)的斜率，所以得到切線(xiàn)方程為y-b=f′（x0）（x-a）.

②再由切點(diǎn)既在曲線(xiàn)上又在切線(xiàn)上得到方程組y0=f（x0），y0-b=f′（x0）（x0-a），可得x0的值，再帶回方程組，即得所求的切線(xiàn)方程.

變式：若直線(xiàn)y=x+b是曲線(xiàn)y=lnx （x>0）的一條切線(xiàn)，則實(shí)數(shù)b的值為_(kāi)______.

點(diǎn)評(píng)：本題雖然沒(méi)有給出過(guò)那個(gè)點(diǎn)，但做法和例2還是一樣，本質(zhì)上也是相同的.

（3）求曲線(xiàn)上任一點(diǎn)處的切線(xiàn)傾斜角（或斜率）的取值范圍.

例3：設(shè)點(diǎn)P是曲線(xiàn)y=x3-x+上任意一點(diǎn)，則曲線(xiàn)在點(diǎn)P的切線(xiàn)的傾斜角α的取值范圍為_(kāi)______.

點(diǎn)評(píng)：這類(lèi)問(wèn)題本質(zhì)還是求導(dǎo)函數(shù)的值域，本題求出切線(xiàn)斜率的范圍之后再結(jié)合斜率圖像求出傾斜角的范圍.

變式：已知點(diǎn)P在曲線(xiàn)y=上，α為曲線(xiàn)在點(diǎn)P處的切線(xiàn)的傾斜角，則α的取值范圍是_______.

點(diǎn)評(píng)：本題是將導(dǎo)數(shù)的幾何意義與基本不等式的應(yīng)用結(jié)合起來(lái)考查比例3具有更大的綜合性.

（4）求過(guò)一點(diǎn)與曲線(xiàn)相切的直線(xiàn)的條數(shù).

點(diǎn)評(píng)：直線(xiàn)與曲線(xiàn)相切，不同的切點(diǎn)對(duì)應(yīng)著不同的切線(xiàn)，因此判斷切線(xiàn)的條數(shù)，也就是判斷切點(diǎn)的個(gè)數(shù)，即判斷關(guān)于x0的方程的根的個(gè)數(shù).

變式：求過(guò)點(diǎn)A（2，8），且與曲線(xiàn)f（x）=x3相切的切線(xiàn)條數(shù).

2. 選題要注重題組引領(lǐng)，鞏固“四基”

題組復(fù)習(xí)是高三復(fù)習(xí)常用的手段，教師在備課時(shí)應(yīng)認(rèn)真仔細(xì)地選題，精心設(shè)計(jì)題組，關(guān)注是否將數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本方法融入題組之中，是否能通過(guò)題組引領(lǐng)學(xué)生鞏固“四基”.

案例2：基本不等式的應(yīng)用.

思路2：利用函數(shù). 利用配湊或換元構(gòu)造出函數(shù)y=t+，再由對(duì)勾函數(shù)的單調(diào)性求出最小值.

思路3：利用導(dǎo)數(shù). 設(shè)f（x）=x+，f′（x）=1-=，易知f（x）在（-1，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增，所以當(dāng)x=0時(shí)，f（x）取得最小值1.

點(diǎn)評(píng)：思路2和思路3抓住了問(wèn)題的本質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用是有其局限性的，若將條件x>-1去掉，基本不等式就不能用了. 通過(guò)三種思路的比較，可以讓學(xué)生摸索出它們之間的聯(lián)系以及使用條件，滲透數(shù)學(xué)基本思想，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用基本不等式解決問(wèn)題的工具意識(shí)和定位意識(shí).

點(diǎn)評(píng)：例6、例7兩題都可以用函數(shù)法和導(dǎo)數(shù)法來(lái)解決，選取的目的就是強(qiáng)化例5中涉及的思路和方法.

3. 選題要注重變式探究，發(fā)散思維

變式教學(xué)是高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)的重要特征之一，教師在備課選題時(shí)一定要注重變式的研究，對(duì)學(xué)生而言，其大大提高了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解力，有助于發(fā)散學(xué)生的思維;對(duì)教師而言，其大大加快了教師自身專(zhuān)業(yè)化命題的素養(yǎng).

怎樣進(jìn)行變式教學(xué)呢？筆者認(rèn)為，要從一個(gè)熟悉的基本問(wèn)題著手，不斷改變題設(shè)中某些關(guān)鍵條件或結(jié)論，將相近的問(wèn)題串起來(lái)，給學(xué)生形成強(qiáng)烈的認(rèn)知沖突，強(qiáng)化基礎(chǔ)知識(shí)，提升思維能力.

案例3：雙變量的最值問(wèn)題.

例8：已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+2b=1，求+的最小值.

思路1：導(dǎo)數(shù)法. 由題知a=1-2b，消元，所以+=+，求導(dǎo)易得最小值.

思路2：基本不等式法. 分別對(duì)條件和結(jié)論運(yùn)用基本不等式，即a+2b≥2，得到≤，再由+≥2≥4，這是一種常見(jiàn)的錯(cuò)誤，主要是基本不等式運(yùn)用中等號(hào)成立的條件沒(méi)有關(guān)注. 正確的解法是利用“1”的代換法，構(gòu)造出基本不等式運(yùn)用的結(jié)構(gòu)，只用一次就能解決問(wèn)題，即

點(diǎn)評(píng)：思路1雖然比較煩瑣，但卻是雙變量最值問(wèn)題處理的基本方法. 思路2雖然簡(jiǎn)潔，但它屬于技巧，是要通過(guò)訓(xùn)練才能掌握的，而且要是掌握不牢，有時(shí)條件發(fā)生變化后，學(xué)生又做不出來(lái)，不像思路1屬于通解通法.

為了使學(xué)生能對(duì)雙變量最值問(wèn)題能有更深層次的認(rèn)知，筆者精心選題，進(jìn)行變式教學(xué)，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行探究總結(jié)，讓學(xué)生把握這一類(lèi)問(wèn)題的特征，發(fā)散思維，提升思維能力.

變式1：已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=1，求+的最小值.

變式2：已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=2，求+的最小值.

變式3：已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=2，求+的最小值.

變式4：已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足+=1，求a+2b的最小值.

變式5：已知正數(shù)a，b滿(mǎn)足a+b=2，求+的最小值.

以上變式對(duì)例題的條件或結(jié)論進(jìn)行改變，目的就是讓學(xué)生去體會(huì)這一類(lèi)問(wèn)題的處理辦法，真正實(shí)現(xiàn)“解一題，通一類(lèi)，會(huì)一片”的飛躍.

綜上所述，高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)選題時(shí)教師一定要從考情、學(xué)情出發(fā)，從知識(shí)的本質(zhì)出發(fā)，利用題組，利用變式，層層遞進(jìn)，在打牢學(xué)生的基礎(chǔ)上進(jìn)一步訓(xùn)練學(xué)生的思維，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)，同時(shí)也能提高自身的業(yè)務(wù)素質(zhì).