具有水平流動的混合流體對流的擾動方程組

寧利中，張 迪，寧碧波，田偉利

(1.西安理工大學(xué) 水利水電學(xué)院，西安 710048； 2.嘉興學(xué)院 建筑工程學(xué)院， 浙江 嘉興 314001；3.上海大學(xué) 建筑系， 上海 200444)

0 引 言

從底部加熱的兩平板之間的自然對流，即Rayleigh-Benard對流，是研究流動穩(wěn)定性和對流時空特性的模型之一。自1900年開始研究Rayleigh-Benard對流以來，研究工作取得了很大進(jìn)展[1-2]。隨著計算機的出現(xiàn)，數(shù)值模擬已成為主要的研究手段之一。文獻(xiàn)[3-12]混合流體對流的流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬，研究了混合流體對流中的定常波，行波，局部行波形成，缺陷形成及其時空結(jié)構(gòu)與非線性動力學(xué)特性等。對傳統(tǒng)的Rayleigh-Benard對流模型系統(tǒng)施加一個水平流動，或者說，對于水平流動問題從底部施加一個熱作用，這樣，形成一個新的對流模型系統(tǒng)，即具有水平流動的Rayleigh-Benard對流問題。文獻(xiàn)[13-18]通過具有水平流動的單流體Rayleigh-Benard對流問題的流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬，研究了單流體對流中邊界條件與進(jìn)口對對流斑圖的影響，局部行波特性及對流斑圖的分區(qū)等。文獻(xiàn)[19-24]通過具有水平流動的混合流體Rayleigh-Benard對流問題的流體力學(xué)基本方程組的數(shù)值模擬，研究了混合流體對流中周期變化的局部行波結(jié)構(gòu)，充分發(fā)展的行波結(jié)構(gòu)及水平流動對對流斑圖的影響。這些工作都是基于流體力學(xué)基本方程組進(jìn)行的。擾動方程組一般被使用在流動穩(wěn)定性分析中獲得對流發(fā)生的臨界值?？墒?，文獻(xiàn)[25-29]通過混合流體Rayleigh-Benard對流問題的流體力學(xué)擾動方程組的數(shù)值模擬，獲得了混合流體對流中的擾動的成長，對流的行波結(jié)構(gòu)，局部行波結(jié)構(gòu)，對傳波結(jié)構(gòu)及其時空結(jié)構(gòu)與非線性動力學(xué)特性等。文獻(xiàn)[30-34]在Rayleigh-Benard對流問題研究中獲得了某些進(jìn)展。因此，為了用擾動方程組研究具有水平流動的Rayleigh-Benard對流問題，有必要對具有水平流動的Rayleigh-Benard對流問題的擾動方程組進(jìn)行推導(dǎo)與研究。從而推動Rayleigh-Benard對流問題的深入研究。

本文討論了混合流體對流的流體力學(xué)方程組和擾動方程組?；诓夹聊箍私?，給出了考慮Soret效應(yīng)和Dufour效應(yīng)的混合流體對流的基本方程組。對于混合液體在忽略Dufour效應(yīng)的情況下，推導(dǎo)了具有水平流動的混合流體對流的擾動方程組。應(yīng)用擾動方程組可以計算具有水平流動的混合流體對流的穩(wěn)定性和對流時空結(jié)構(gòu)特性。如果忽略擾動方程組中二階以上的高階項，方程組可簡化成線性穩(wěn)定分析的擾動方程組。

1 流體力學(xué)基本方程組

考慮在均勻重力場下從下面加熱的流體混合物水平層的對流問題(圖1)。當(dāng)瑞利數(shù)超過臨界值時，發(fā)生對流運動。假設(shè)系統(tǒng)是一個忽略了滾動軸向變化的二維對流滾動。坐標(biāo)的原點位于腔體中底板與左端壁以直角相交的點上，x，z表示垂直于滾動軸線的笛卡爾坐標(biāo)，z軸朝上為正，x軸朝右為正。在布辛涅斯克近似的框架內(nèi)，描述系統(tǒng)的基本方程可以寫成：

▽·U=0

(1)

(2)

(3)

(4)

式中▽為梯度算子；▽2為Laplace算子；U(U,0,W)，T，C，p*，ρ，ν,g，Cp,τ分別為速度矢量，溫度，濃度，壓強，密度，運動黏性系數(shù)，重力加速度，比熱，時間，下標(biāo)0表示相應(yīng)物理量的參考值；Jc為物質(zhì)通量；q為熱通量。Jc和q可根據(jù)Onsager的線性非平衡熱力學(xué)理論確定[35-36]，即：

(5)

(6)

圖1 對流示意圖Fig.1 Convection schemetic diagram

式中κT，λ，D分別為與Soret效應(yīng)有關(guān)的系數(shù)、導(dǎo)熱系數(shù)和濃度擴散系數(shù)；μ為混合物的局部化學(xué)勢。筆者簡單地描述Soret效應(yīng)和Dufour效應(yīng)。它們發(fā)生在一個力學(xué)平衡的非等溫流體系統(tǒng)中。對于具有擴散系數(shù)D>0的混合物的流體層，當(dāng)在溶液中幾乎瞬間建立穩(wěn)定的溫度梯度時，熱擴散產(chǎn)生組分的濃度梯度，從而使該組分的擴散通量與熱擴散方向相反。一段時間后，熱擴散和反擴散將完全平衡，整個系統(tǒng)將達(dá)到一個穩(wěn)定狀態(tài)。因此，在這個系統(tǒng)中，濃度梯度是由溫度梯度決定的。這種現(xiàn)象稱為Soret效應(yīng)。它已經(jīng)反映在物質(zhì)通量Jc的表達(dá)式中，即式(5)右側(cè)的第二項。Soret效應(yīng)的逆現(xiàn)象是Dufour效應(yīng)，它是濃度梯度導(dǎo)致的溫度梯度的形成。它已經(jīng)反映在熱通量q的表達(dá)式中，即式(6)右側(cè)的第二項。

考慮溫度T，濃度C離開參考值偏差很小，質(zhì)量密度的狀態(tài)方程為:

ρ=ρ0[1-α(T-T0)-β(C-C0)]

(7)

式中恒壓和恒濃度下的熱膨脹系數(shù)α和恒溫和恒壓下的溶質(zhì)膨脹系數(shù)β定義為:

重力場g平行于z軸，方向向下，g=-gez，ez為z軸方向的單位矢量。代物質(zhì)通量Jc，熱通量q和密度ρ到方程(1)～(4)，得：

▽·U=0

(8)

(9)

(10)

(11)

2 無因次流體力學(xué)基本方程組

對方程(8)～(11)中的所有物理量用腔體高度d，熱擴散率κ，參考密度ρ03個基本量無因次化。選用熱擴散率κ同樣包含時間的因素。選用熱擴散率κ更好的反映了熱對流中的熱擴散特性?？紤]Soret效應(yīng)和Dufour效應(yīng)的無因次形式的混合流體對流基本方程組可表示為:

▽·δU=0

(12)

(13)

(14)

(15)

為了計算方便，濃度流δζ被定義為：

δζ=δC-ψδT

(16)

無因次形式的混合流體對流基本方程組可表示為：

▽·δU=0

(17)

(18)

(19)

(20)

方程(17)～(20)是考慮Soret效應(yīng)和Dufour效應(yīng)的無因次形式的混合流體對流基本方程組。Dufour效應(yīng)發(fā)生在混合氣體中，因此，對于混合氣體，Dufour效應(yīng)項必須保留，但對于混合液體，Dufour效應(yīng)項可以忽略，Soret效應(yīng)項必須保留。下面討論混合液體的對流問題，忽略Dufour效應(yīng)項后，無因次形式的混合流體對流基本方程組可表示為：

▽·δU=0

(21)

(22)

(23)

(24)

方程(21)～(24)是考慮Soret效應(yīng)的無因次形式的混合流體對流基本方程組。利用流體力學(xué)基本方程(21)～(23)，文獻(xiàn)[3-12]模擬了混合流體對流的時空結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性，文獻(xiàn)[19-24]模擬了具有水平流動的混合流體對流的時空結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性。在方程(21)～(24)簡化成單流體對流方程組后，文獻(xiàn)[13-18]模擬了具有水平流動的單流體對流的時空結(jié)構(gòu)和動力學(xué)特性。

3 流體力學(xué)基本方程的傳導(dǎo)解

考慮具有水平流動的混合流體對流系統(tǒng)，對流未發(fā)生時方程(21)～(24)的傳導(dǎo)解為：

δUcond=4RePrz(1-z)ex

(25)

δTcond=0.5-z

(26)

δCcond=ψ(0.5-z)

(27)

δζcond=0

(28)

(29)

4 流體力學(xué)擾動方程組

4.1 具有水平流動的混合流體對流擾動方程組

如果對流發(fā)生，離開傳導(dǎo)解的擾動量可表示為：

u=δU-δUcond

(30)

θ=δT-δTcond

(31)

ξ=δC-δCcond

(32)

p′=p-pcond

(33)

η=δζ-δζcond

(34)

式中u=(u,0,w)，代擾動量定義式(30)～式(34)到方程(21)～(24)，具有水平流動的混合流體對流擾動方程組可表示為:

▽·u=0

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

式中δUcond=RePrz(1-z)。擾動方程(35)～(39)是非線性的，可以直接用于具有水平流動的混合流體對流的穩(wěn)定性，擾動成長，對流時空結(jié)構(gòu)與動力學(xué)特性的分析。如果忽略擾動方程組中二階以上的高階項，即非線性項，可得具有水平流動的混合流體對流的線性穩(wěn)定分析所依據(jù)的擾動方程組。

4.2 混合流體對流擾動方程組

考慮方程(35)～(39)中的水平流動δUcond=0，可得混合流體Rayleigh-Benard對流的擾動方程組，即：

▽·u=0

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

方程(40)～(44)與文獻(xiàn)[25-29]在混合流體Rayleigh-Benard對流時空結(jié)構(gòu)與動力學(xué)特性分析中采用的擾動方程組一致。只是無因次化時本文采用了d，κ，ρ03個基本量，文獻(xiàn)[25-29]采用d，ν，ρ03個基本量。由于基本量選擇的不同，方程的形式稍有不同而已。

4.3 具有水平流動的單流體對流擾動方程組

忽略方程(39)，考慮方程(35)～(38)中的分離比ψ=0，擾動濃度流η=0，可得具有水平流動的單流體Rayleigh-Benard對流的擾動方程組，即：

▽·u=0

(45)

(46)

(47)

(48)

4.4 單流體對流擾動方程組

忽略方程(38)，考慮方程(35)～(38)中的分離比ψ=0，擾動濃度流η=0，水平流動δUcond=0，可得單流體Rayleigh-Benard對流的擾動方程組，即：

▽·u=0

(49)

(50)

(51)

(52)

4.5 水平流動問題的擾動方程組

忽略方程(38)～(39)，考慮方程(35)～(37)中的分離比ψ=0，擾動濃度流η=0，擾動溫度θ=0，可得單流體水平流動問題的擾動方程組，即：

▽·u=0

(53)

(54)

(55)

方程(53)～(55)與文獻(xiàn)[38]采用的單流體水平流動問題的擾動方程組一致，只是無因次化時采用的基本量不同，方程的形式稍有不同而已。

上述4.2-4.5節(jié)中的擾動方程組是非線性的，可以直接用于對流穩(wěn)定性和對流特性的分析。如果忽略二階以上的高階項，即非線性項，就可以獲得線性穩(wěn)定分析所依據(jù)的擾動方程組。

5 結(jié) 論

本文討論了具有水平流動的混合流體對流的流體力學(xué)方程組和擾動方程組?；诓夹聊箍私?，給出了考慮Soret效應(yīng)和Dufour效應(yīng)的混合流體對流的基本方程組，給出了基本方程組的無對流運動的傳導(dǎo)解。對于混合液體在忽略Dufour效應(yīng)的情況下，推導(dǎo)了具有水平流動的混合流體對流的擾動方程組。根據(jù)不同的簡化條件，前述擾動方程組可以應(yīng)用于具有水平流動的單流體對流問題，混合流體對流問題，單流體對流問題，或者單流體水平流動問題等情況。本文建議的擾動方程組可以應(yīng)用于相應(yīng)條件的對流穩(wěn)定性分析及對流時空結(jié)構(gòu)與動力學(xué)特性的模擬。