張曉瑩
摘 要:在高考選考內(nèi)容—極坐標(biāo)系與參數(shù)方程中,經(jīng)常會遇到直線與圓錐曲線相交問題,若利用解析幾何中學(xué)過的方法求解,過程復(fù)雜,計算量大;若借助直線的額參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)t的幾何意義進行求解,將起到事半功倍的效果.
關(guān)鍵詞:直線的參數(shù)方程;t的幾何意義;距離
極坐標(biāo)系與參數(shù)方程是高考中選考部分中很重要的內(nèi)容,題型以直線的參數(shù)方程與曲線的參數(shù)方程或者極坐標(biāo)方程為主,最典型的是涉及直線與圓錐曲線相交所得的弦和弦長,或是求一點到某點的距離、求弦的中點等有關(guān)問題。一方面,我們可以利用解析幾何中學(xué)過的方法,根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求解,但經(jīng)常過程復(fù)雜,計算量大,對學(xué)生的邏輯推理、計算能力要求比較高。另一方面,隨著選修4系列的學(xué)習(xí),引入了直線的參數(shù)方程,在解題中也能利用直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中參數(shù)t的幾何意義進行求解,但這種方法學(xué)生不熟練,對直線參數(shù)方程中t的幾何意義理解不透。本文通過幾道高考真題,研究如何借助直線參數(shù)方程解決相關(guān)問題。
一、 直線的參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義
經(jīng)過點P(x0,y0)、傾斜角為α的直線的參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式為x=x0+tcosα
y=y0=tsinα(t為參數(shù))
t的幾何意義:
設(shè)M(x,y)為直線上的任意一點,參數(shù)t的幾何意義是從點P到M的位移,當(dāng)t>0時,點M在點P的上方;當(dāng)t<0時,點M在點P的下方;當(dāng)t=0時,點M與點P重合。
二、 直線參數(shù)方程的應(yīng)用
(一)求與距離相關(guān)的問題
【例1】 (2018江蘇)在極坐標(biāo)系中,直線l的方程為ρsinπ6-θ=2,曲線C的方程為ρ=4cosθ,求直線l被曲線C截得的弦長。
分析:根據(jù)直線l的極坐標(biāo)方程,寫出直角坐標(biāo)方程,進而寫出參數(shù)方程,聯(lián)立直線l的參數(shù)方程與曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程,得到關(guān)于t的一元二次方程。結(jié)合t的幾何意義,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接求解。
解:直線l的普通方程為x-3y-4=0,直線l的參數(shù)方程為x=4+32t
y=12t①,橢圓C的普通方程為(x-2)2+y2=4②,將①代入②得:2+32t2+12t2=4,化簡得t2+23t=0,所以t=0或-23,所以|AB|=|t1-t2|=|0-(-23)|=23。
點評:直線參數(shù)方程應(yīng)為標(biāo)準(zhǔn)形式,這樣t就具有一定的幾何意義,求直線被圓錐曲線所截弦長就可直接借助公式|AB|=|t1-t2|求解。
(二)有關(guān)弦的中點問題
【例2】 (2018全國2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線C的參數(shù)方程為x=2cosθ
y=4sinθ(θ為參數(shù)),已知直線l的參數(shù)方程為x=1+tcosα
y=2+tsinα(t為參數(shù)),
(1)求曲線C和直線l的直角坐標(biāo)方程;
(2)若曲線C截直線l所得線段的中點坐標(biāo)為(1,2),求直線l的斜率。
分析:(1)消參可直接求出C,l的直角坐標(biāo)方程;(2)若點A對應(yīng)的參數(shù)為t1,點B對應(yīng)的參數(shù)為t2,則AB中點所對應(yīng)的參數(shù)為t1+t22,結(jié)合t的幾何意義,利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可直接求解。
解:(1)曲線C的普通方程為x24+y216=1。
當(dāng)cosα≠0時,直線l的直角坐標(biāo)方程為y=tanα·x+2-tanα;
當(dāng)cosα=0時,直線l的直角坐標(biāo)方程為x=1。
(2)將l的參數(shù)方程代入C的方程,整理得關(guān)于t的方程(1+3cos2α)t2+4(2cosα+sinα)t-8=0 ①,設(shè)t1,t2為方程①的兩個解,所以t1+t2=0,即-4(2cosα+sinα)1+3cos2α=0,所以2cosα+sinα=0,
故直線l的斜率為-2。
點評:若直接求解需要分類討論,并且在cosα≠0時,得到關(guān)于x的一元二次方程形式也較復(fù)雜;而如果利用參數(shù)t的幾何意義進行計算,很明顯可以簡化計算。
通過這幾道高考真題的求解,很明顯可以感覺到利用直線參數(shù)方程標(biāo)準(zhǔn)式中t的幾何意義解題,會比直接利用根與系數(shù)的關(guān)系要簡單,但一定得確保直線參數(shù)方程為標(biāo)準(zhǔn)形式。在今后的學(xué)習(xí)研究中,要選擇適當(dāng)、簡潔的方法解決相關(guān)問題。
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