路連通空間與弧連通空間

麥結華

(廣西財經(jīng)學院 信息與統(tǒng)計學院， 廣西 南寧 530003 )

連通性是拓撲學中最重要、最基本的概念之一。先回顧一些有關的定義：

定義1[1-2]設X是一個拓撲空間。

① 若X不能分拆成它的兩個非空的不相交的開集的并集，則稱X是一個連通的空間。

② 任一個連續(xù)映射f:[0,1]→X都稱為X中的一條路。設x,y是X中的兩個點。若f(0)=x,f(1)=y,則稱f是一條從x到y(tǒng)的路(或者，稱為連接x與y的路)。若對任x,y∈X均存在一條從x到y(tǒng)的路，則稱X是一個路連通空間。

③ 任一個與區(qū)間[0,1]同胚的空間都稱為一個弧。設A是一個弧，取一個同胚h:[0,1]→A，稱h(0)和h(1)為A的兩個端點。若對X中任兩個不同的點x,y均存在一個以x,y為兩端點的弧，則稱X是一個弧連通空間。

顯然，弧連通空間的定義的條件強于路連通空間。因此，本文有如下的定理：

定理1每一個弧連通空間都是一個路連通空間。

反過來，并非每一個路連通空間都是弧連通空間。例如，如果X是一個平凡空間(即X的拓撲僅由X本身和空集組成)，并且X的基數(shù)小于連續(xù)統(tǒng)的基數(shù)，則X是一個路連通空間但不是一個弧連通空間。

但是，對于大多數(shù)的人們經(jīng)常討論的空間來說，路連通空間也一定是弧連通空間。因此，對于此類空間來說，路連通空間的定義與弧連通空間的定義等價。具體地說，本文有如下的定理：

定理2每一個路連通的Hausdorff空間都是一個弧連通空間。

下面將給出定理2的一個證明。為敘述方便，筆者先建立一些定義。

定義2設X是一個Hausdorff空間，f:[0,1]→X是一個連續(xù)映射，即，f是X中的一條路。又設 0≤r

① 設z∈f([0,1])。若f-1(z)含有不只一個點，則稱z是f的一個返回點。

② 若f(r)=f(s)，并且f|[r,s]不是一個常值映射， 那么，稱區(qū)間[r,s]為f的一個回歸時段。

若[r,s]是f的一個回歸時段，并且f沒有一個比[r,s]更長的回歸時段，那么，稱[r,s]是f的一個最長的回歸時段。

③ 若f|[r,s]是一個常值映射，則稱[r,s]是f的一個停滯時段。

若[r,s]是f的一個停滯時段，并且f沒有一個包含[r,s]的更長的停滯時段，那么，稱[r,s]是f的一個極大的停滯時段。

④ 設[r,s]是f的一個回歸時段。定義f1:[0,1]→X為f1|([0,r]∪[s,1])=f|([0,r]∪[s,1])，并且對任t∈[r,s]均有f1(t)=f(r),則稱f1為f的[r,s]-常值化。

⑤ 若f(r)=f(s),則定義g:[0,1+r-s]→X為g(t)=f(t)，對任t∈[0,r];g(t)=f(t+s-r)，對任t∈[r,1+r-s],稱g為f的[r,s]-切除。又再定義h:[0,1]→X為h(t)=g((1+r-s)t)(對任t∈[0,1]),稱h為g的 時間[0,1]-復原。

⑥ 若f|[r,s]:[r,s]→X是一個單射，則稱[r,s]是f的一個嚴格單調(diào)時段。

若[r,s]是f的一個嚴格單調(diào)時段，并且f沒有一個包含[r,s]的更長的嚴格單調(diào)時段， 那么， 稱[r,s]是f的一個極大的嚴格單調(diào)時段。

上面的定義實際上顯示了本文證明定理2的基本的想法：為了將X中的一條從x到y(tǒng)的路f:[0,1]→X改造為一個以x,y為兩端點的弧，筆者可以先將f的回歸時段常值化，再將各停滯時段切除，然后再讓時間[0,1]-復原。

但僅有上述想法是不夠的。原因是，將f的各回歸時段常值化之后，可以得到的一條無回歸時段的路。但這條路可能含有無窮多個兩兩不交的停滯時段，并且這些停滯時段的總長度為1。將這些停滯時段都切除之后，剩下的可能是一個勒貝格測度為0的康托集。如果出現(xiàn)這種情形，處理起來便比較麻煩。為了處理這種比較麻煩的情形，下面先給出幾個引理,在這些引理中，若無附加說明，本文總假定X是一個Hausdorff空間，x,y∈X，x≠y,并且0≤r

引理1設f:[0,1]→X是一條連接x與y的路，則：

①f的極大的停滯時段兩兩不相交;

② 設[r,s]是f的一個最大的回歸時段，[r′,s′]是f的一個停滯時段。若[r′,s′]∩[r,s]≠?，則[r′,s′]?[r,s]。

引理2設f:[0,1]→X是一條連接x與y的路，[r,s]是f的一個最大的回歸時段，f1:[0,1]→X是f的[r,s]-常值化，那么，本文有：

①f1([0,1])?f([0,1]);

② 設a∈[0,1],U是[0,1]中a的一個連通的鄰域。若U?[r,s],則f1(U)=f1(a)=f(s)。若U?[r,s],則f1(U)?f(U)。(這意味著，若V是f(a)在X中的一個鄰域，則當f1(U)?V時有f1(U)?V。因此，f1在[0,1]中的任一點a均連續(xù));

③ 若 0≤a

④ 設f的極大停滯時段的集合為S，f的含于[r,s]之中的極大停滯時段的集合為T,又設f1的極大停滯時段的集合為S1,則S1=S∪{[r,s]}-T。

以上兩個引理均易據(jù)定義直接驗證，在此從略。

引理3設f:[0,1]→X是一條連接x與y的路，則存在一條連接x與y的路h:[0,1]→X使得x與y均不是h的返回點，h([0,1])?f([0,1]),并且h不含有回歸時段。

證記f0=f。若x不是f0的返回點，則直接令f1=f0。若x是f0的返回點，取最大的s0∈[0,1]使得f0(s0)=x,令g0是f0的[0,s0]-切除，又令f1是g0的 時間[0,1]-復原。

若y不是f1的返回點，則直接令f2=f1。若y是f1的返回點，取最小的r1∈[0,1]使得f1(r1)=y,令g1是f1的[r1,1]-切除，又令f2是g1的 時間[0,1]-復原。

若f2不含有回歸時段,則直接令f3=f2。若f2含有回歸時段，設[r2,s2]是f的一個最長的回歸時段，令f3是f2的[r2,s2]-常值化。

假設對某一個整數(shù)n≥ 3,本文已經(jīng)定義了fn:[0,1]→X。若fn不含有回歸時段， 則直接令fn+1=fn。若fn含有回歸時段,設[rn,sn]是fn的一個最長的回歸時段，令fn+1是fn的[rn,sn]-常值化。

如此下去，可得到一個無窮序列f0,f1,f2,…。

若對所有的整數(shù)n≥ 2都有fn+1≠fn,則{0},{1},[r2,s2],[r3,s3],[r4,s4],… 是兩兩不相交的連通閉集。令U=∪{(rn,sn):n=2,3,4,…}。顯然，對任z∈[0,1]-U及k≥ 2,本文總有fk(z)=f2(z)。而對任k>n≥ 2 及z∈(rn,sn),總有fk(z)=fn(rn)。因此序列f0,f1,f2,… 逐點收斂到一個映射h:[0,1]→X。注意到h在U的每一個連通分支上都是常值映射，可知h在U的每一點連續(xù)。而對任z∈[0,1]-U及z在[0,1]中的任一個連通鄰域W,有h(W)?f2(W),因此從f2在z這一點連續(xù)亦可提出h在z這一點連續(xù)。顯然，h不再含有回歸時段，并且x和y不是h的返回點。因此，h滿足引理3的條件。

若存在某一個整數(shù)n≥ 2使得fn+1=fn,則對所有的整數(shù)m≥n都有fm=fn。此時，令h=fn即可滿足引理3的條件。引理3證完。

引理4設f:[0,1]→X是一條不含有回歸時段的路，則：

① 對任t∈[0,1],f-1(f(t))總是一個連通閉集，并且，當f-1(f(t))含有不只一個點時,f-1(f(t))是f的一個極大的停滯時段;

② 若(r,s)與f的任一個極大停滯時段都不相交， 則[r,s]是f的一個嚴格單調(diào)時段。

據(jù)定義2容易直接驗證引理4,在此從略。

定義3[3]① 設J=[a,b]是一個閉區(qū)間。對0

② 設J1,J2,J3,… 是開區(qū)間(0,1)中的無窮多個兩兩不相交的閉區(qū)間，又設U為這些閉區(qū)間的內(nèi)部的并集,K=[0,1]-U。若U在[0,1]中稠密，則稱K是[0,1]中的一個康托集。需注意的是，按照這里的定義，[0,1]中的任一個康托集K都含有0 和1這兩個點。

若拓撲空間Y的子空間X與[0,1] 中的一個康托集K同胚，則稱X是Y中的一個(拓撲的)康托集。筆者[4]曾給出X是康托集的一個充分必要條件的一個證明。

一般地，對每一個n>0,在KS,n-1確定后，將KS,n-1的每一個連通分支的正中間的長度為cn的區(qū)間的內(nèi)部挖去，所得到的集合記為KSn。顯然，KSn有2n個長度相同的連通分支，每一個連通分支都是一個閉區(qū)間。

特別地，若S=(1/3,1/32,1/33,…),則稱KS為 3分康托集。

下面將此3分康托集記為K3。容易算出3分康托集K3的勒貝格測度為0。

④ 設A和B是實數(shù)軸R上的兩個不相交的非空連通集合。若存在a∈A和b∈B使得a

⑤ 設J1,J2,J3,… 是一個無窮序列。令N為所有的正整數(shù)的集合。又設p:N→N是一個雙射。稱序列Jp(1),Jp(2),Jp(3),… 為序列J1,J2,J3,… 的一個重新排列。

⑥ 設J1,J2,J3,… 是開區(qū)間(0,1)中兩兩不相交的閉區(qū)間的無窮序列，I1,I2,I3,… 也是開區(qū)間(0,1)中兩兩不相交的閉區(qū)間的無窮序列。又設J0=I0={0},J-1=I-1={1}。記N+=N∪{-1,0}。如果存在雙射p:N+→N+和q:N+→N+使得如下的兩個條件成立:

(a) 對任i,j∈N+,當Jp(i)

(b)p(0)=q(0)=0,p(-1)=q(-1)=-1。

那么，稱序列J1,J2,J3,… 和I1,I2,I3,… 可在重排后具有相同的序。

命題1設K和L都是[0,1]中的康托集，則存在一個同胚h:[0,1]→[0,1]使得h(K)=L,并且h(0)=0。

證設J1,J2,J3,… 及U以及K=[0,1]-U如定義3之①中所述。同樣地，因L也是[0,1]中的康托集，故存在(0,1)中兩兩不相交的可數(shù)個閉區(qū)間I1,I2,I3,… 使得L=[0,1]-V,其中V是閉區(qū)間I1,I2,I3,… 的內(nèi)部的并集，并且V在[0,1]中稠密。令J0=I0={0} 和J-1=I-1={1} 如定義3之⑥中所述。對任n∈N,記Nn={1,…,n}。

斷語1序列J1,J2,J3,… 和I1,I2,I3,… 可在重排后具有相同的序。

斷語1的證明本文只需構造出一對滿足定義3之⑥中所述的條件的雙射p:N+→N+和q:N+→N+。步驟如下:

① 按照定義3之⑥中的條件(b),只能取p(0)=q(0)=0 和p(-1)=q(-1)=-1。然后，取p(1)=q(1)=1。

② 假設對某一個n∈N,已經(jīng)對每一個i∈Nn∪ {-1,0} 定義了p(i)和q(i),并且它們滿足定義3之⑥中的條件(a)(限于 {i,j} ?Nn∪{-1,0} 的情形)。需繼續(xù)定義p(n+1)和q(n+1)。分如下兩種情形考慮:

情形1當n為奇數(shù)時，令Mn=N-{p(i):i∈Nn},同時令p(n+1)=minMn。因V在[0,1]中稠密，且I1,I2,I3,… 兩兩不相交的，故此在(0,1)-∪{Iq(i):i∈Nn} 的任一個連通分支中均含有集合{Ii:i∈N} 中的無窮多個區(qū)間。于是，本文可以選取N-{q(i):i∈Nn} 中的一個數(shù)作為q(n+1)使得定義3之⑥中的條件(a)對任 {i,j} ?Nn+1∪{-1,0} 成立。

情形2當n為偶數(shù)時，令Mn=N-{q(i):i∈Nn},同時令q(n+1)=minMn。依據(jù)類似于情形1中所述的的理由，可以選取N-{p(i):i∈Nn} 中的一個數(shù)作為p(n+1)使得定義3之⑥中的條件(a)對任 {i,j} ?Nn+1∪{-1,0} 成立。

按照歸納法，筆者完成了雙射p:N+→N+和q:N+→N+的定義。從定義的過程中可以看出這一對雙射滿足定義3之⑥中所述的條件。斷語1證完。

對任n∈N∪{-1,0},任取一個保持定向的(即遞增的)同胚hn:Jp(n)→Iq(n)。令E=∪{Jn:n∈N+} 。則U?E,K∪E=[0,1],并且K∩E=E-U恰是由 0,1 以及各區(qū)間Jn的端點組成的集合。定義hE:E→E為hE|Jp(n)=hn(對任n∈N∪{-1,0})，則hE也是一個同胚，并且，由定義3之⑥中的條件(a)知hE是遞增的。

現(xiàn)在定義映射h:[0,1]→[0,1]如下:

① 對任u∈E,令h(u)=hE(u)(這意味著h是hE的擴張);

② 對任u∈K,因U在[0,1]中稠密，故存在J1,J2,J3,… 的子序列Jp(i(u,1)),Jp(i(u,2)),Jp(i(u,3)),… 收斂于u(即，當k趨于∞時，u與區(qū)間Jp(i(u,k))的距離趨于0,并且Jp(i(u,k))的長度也趨于0)。由定義3之⑥中的條件(a)知相應的序列Iq(i(u,1)),Iq(i(u,2)),Iq(i(u,3)),… 也收斂于[0,1]中的一點vu。不難證明vu∈L,并且vu只與u有關而與收斂于u的子序列Jp(i(u,1)),Jp(i(u,2)),Jp(i(u,3)),… 的選取無關。于是，本文可以定義h(u)=vu。需注意的是，當u∈K∩E時，在情形②中定義的h(u)與情形①中定義的h(u)相同。

由定義3之⑥中的條件(a)知按上述步驟定義得到的映射h:[0,1]→[0,1]是嚴格遞增的，因而h是一個單射。反過來，依據(jù)V在區(qū)間[0,1]中稠密這一條件不難證明h是一個滿射。因區(qū)間上嚴格遞增的滿射必定是一個同胚，故h是一個同胚，并且由h(U)=hE(U)=V可推出h(K)=h([0,1]-U)=[0,1]-V=L。命題1證完。

引理5設f:[0,1]→X是一條連接x與y的不含有回歸時段的路,并且x與y都不是f的返回點。若f的所有的極大停滯時段的并集在[0,1]中稠密，則f([0,1])是一條連接x與y的弧。

證由引理的條件知f有無窮多個兩兩不相交的極大停滯時段，它們都含于(0,1)之中。設將所有這些極大停滯時段排成序列，設為I1,I2,I3,…,又設這些極大停滯時段的內(nèi)部的并集為V,令L=[0,1]-V,則L是一個康托集。

令數(shù)列S=(1/22,1/24,1/26,…),同時令S-康托集KS如定義3之③中所述，則KS的勒貝格測度為 1-(1/22+1/23+1/24+…)=1/2。于是，對任n>0,KS與KSn的任一個連通分支的交集的測度都是1/2n+1。設U=[0,1]-KS,又設U的各連通分支的閉包依次為J1,J2,J3,…。記K=KS。

因U和V均在[0,1]中稠密，據(jù)命題1知存在一個同胚h:[0,1]→[0,1]使得h(K)=L,h(U)=V,并且h(0)=0。令g=fh:[0,1]→X，則g也是一條連接x與y的不含有回歸時段的路,x與y都不是g的返回點，并且J1,J2,J3,… 就是g的極大停滯時段。對任n∈N,設Jn=[an,bn]。

對[0,1]中的任一個勒貝格可測集W,以μ(W)表示W(wǎng)的勒貝格測度。定義映射η:[0,1]→[0,1/2]為:

η(t)=μ([0,t]∩K),對任t∈[0,1],

則η是一個單調(diào)遞增的函數(shù)，η(0)=0。由μ(K)=1/2知η(1)=1/2。因對 0≤t

另一方面，對0≤t0。類似地，若bk0。因此，本文有：

斷語2對任{t,w} ?[0,1],當且僅當t與w屬于g的同一個極大停滯時段時η(t)=η(w),即，當且僅當g(t)=g(w)時η(t)=η(w)。

記A=g([0,1])。由斷語1知可以定義一個映射φ:[0,1/2]→A為φ=gη-1,并且此φ是一個雙射。本文有：

斷語2φ:[0,1/2]→A是一個連續(xù)映射。

斷語2的證明考慮A中的任一個閉集Y。因g是連續(xù)的，故g-1(Y)是[0,1]中的閉集。因[0,1]緊致，故g-1(Y)也緊致。因η連續(xù)，故ηg-1(Y)也是[0,1/2]中的緊致集，從而φ-1(Y)=ηg-1(Y)是[0,1/2]中的閉集。這意味著φ是一個連續(xù)映射。斷語2證完。

因φ是一個雙射，[0,1/2]是一個緊致空間，A是一個Hausdorff空間，由斷語2知A與[0,1/2]同胚，因而A=f([0,1])是一個弧。引理5證完。

引理6設f:[0,1]→X是一條連接x與y的不含有回歸時段的路,并且x與y都不是f的返回點。則f([0,1])是一條連接x與y的弧。

證令B為f的所有的極大停滯時段的并集的閉包。B=[0,1]的情形已在引理5中討論過了。下面假定[0,1]-B≠?。令C={wn:n∈N} 是(0,1)-B的一個可數(shù)稠密子集。對任n∈N,令dn=1/2n,定義映射λ:[0,1]→[0,2]為:

λ(v)=v+∑{dn:n∈N,并且wn

則λ是一個嚴格遞增的函數(shù)，λ(0)=0,λ(1)=2,并且當v?C時λ在點v處連續(xù)。但當v∈C時λ在點v處僅左連續(xù)而不右連續(xù)，并且對任n∈N,當v→wn+0 時有λ(v)→λ(wn)+dn。

反過來，定義映射μ:[0,2]→[0,1]為：

μ(z)=λ-1(z),對任z∈λ([0,1]);

μ(z)=wn,對任n∈N和z∈[λ(wn),λ(wn)+dn]。

因對任v∈[0,1]和u∈[v,1]均有λ(u)-λ(v)≥u-v,并且μ在[0,2]-λ([0,1])的每一個連通分支的閉包上取常值，故μ是一個單調(diào)遞減的連續(xù)函數(shù)。定義h:[0,1]→[0,2]為h(v)=2v(對任v∈[0,1])。令g=fμh:[0,1]→X。則g是一條連接x與y的不含有回歸時段的路,x與y都不是g的返回點，并且g的所有的極大停滯時段的并集在[0,1]中稠密。于是，據(jù)引理5知f([0,1])=g([0,1])是一個弧。引理6證完。

現(xiàn)在重述定理2并完成該定理的證明。

定理2每一個路連通的Hausdorff空間都是一個弧連通空間。

證設X是一個路連通的Hausdorff空間，x與y是X中不相同的兩個點。令f:[0,1]→X是一條連接x與y的路。據(jù)引理2知存在一條連接x與y的路h:[0,1]→X使得x與y均不是g的返回點，h([0,1])?f([0,1]),并且h不含有回歸時段。據(jù)引理6知h([0,1])是一個弧。因此，X是一個弧連通空間。定理2證完。

從引理6的證明和命題1可以得到如下的有趣的命題:

命題2設X是一個拓撲空間，A是X中的一個弧。那么，存在一條路f:[0,1]→A以及[0,1]中的一個康托集K使得K的勒貝格測度為0,并且f限制在[0,1]-K的每一個連通分支的閉包上都是常值映射。

證因A是一個弧，故存在一個同胚h:[0,1]→A。據(jù)引理6的證明，本文可以在[0,1]中插入無窮多個時間段，然后將h改變?yōu)榱硪粭l路g:[0,1]→A,這條路g有無窮多個極大停滯時段J1,J2,J3,…,這些極大停滯時段的并集在[0,1]中稠密，從[0,1]中去掉這些極大停滯時段的內(nèi)部之后，得到[0,1]中的一個康托集L。據(jù)命題1,存在一個同胚η:[0,1]→[0,1]使得η(K3)=L,此處K3為3分康托集，如定義3之③中所述，其勒貝格測度為0。令f=gη:[0,1]→A。則f滿足命題2的條件。

注3如果將一條路f:[0,1]→A看作是一個運動著的點沿著弧A從一個端點走向另一個端點的過程，將[0,1]看作是時間區(qū)間，如果f及K如命題2中所述，那么，由于[0,1]-K的勒貝格測度為1,并且f在[0,1]-K的每一個連通分支的閉包上都取常值，便可以認為這個動點在100 % 的時間里都是停滯不前，而f能從弧A的一個端點走向另一個端點，其有效的移到都發(fā)生在時間的集合K之中。但K的勒貝格測度為0,所以可以認為f只用了0 % 的時間即走完全程。當然，這0 % 的時間不能連在一起，只能分散在一個測度為0的康托集K之中。

注4下面的定理3是眾所周知的。例如，定理3可從文獻[5]中254頁的定理6和定理1推出。

定理3每一個局部連通的連續(xù)統(tǒng)都是弧連通的。

借助于定理3也可給出定理2的一個證明。但本文給出的定理2的證明與借助于定理3得到的證明完全不同。本文給出的證明的特點是不需對Hausdorff空間X的結構作細致的分析。本文給出的證明只需考慮如何將一個連接x與y的連續(xù)映射f:[0,1]→X改造為一個連接x與y的連續(xù)的單射h:[0,1]→X。