基于阿克曼原理的三軸車輛全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制

陸海英，張成銘，郭艷秋，王雨琪，楊蔡進(jìn)*

(1.中車長(zhǎng)春軌道客車股份有限公司， 吉林 長(zhǎng)春 130062；2.西南交通大學(xué) 牽引動(dòng)力國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 四川 成都 610031)

0 引言

當(dāng)前對(duì)于多軸車輛的運(yùn)用越來越普遍，傳統(tǒng)的多軸車輛只有前軸轉(zhuǎn)向，車輛低速時(shí)的轉(zhuǎn)向靈敏性和高速時(shí)的操縱穩(wěn)定性較差[1-2]，研究多軸轉(zhuǎn)向控制技術(shù)有利于優(yōu)化車輛的操縱穩(wěn)定性。以三軸車為控制對(duì)象的研究中，文獻(xiàn)[3]將三軸車輛在低速與高速運(yùn)行時(shí)的控制目標(biāo)獨(dú)立開來，分別建立相應(yīng)的目標(biāo)模型，并以此建立全輪轉(zhuǎn)向LQR模型；文獻(xiàn)[4]設(shè)計(jì)了三軸車輛電控轉(zhuǎn)向系統(tǒng)，并且在傳統(tǒng)的零側(cè)偏角比例控制的基礎(chǔ)上引入魯棒控制；文獻(xiàn)[5]設(shè)計(jì)的全輪轉(zhuǎn)向滑膜控制器，相比于傳統(tǒng)的多軸轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制器，其對(duì)于外界環(huán)境變化的抗擾性更好；文獻(xiàn)[6]針對(duì)車輛在極限工況下，車輪側(cè)向力不足的情況，設(shè)計(jì)了基于分層控制理論的水平集成控制器，并且達(dá)到了預(yù)期的控制效果；文獻(xiàn)[7]為了提高控制系統(tǒng)對(duì)于車輛模型參數(shù)變化的適應(yīng)性和魯棒性，提出了基于MPC理論的三軸車全輪轉(zhuǎn)向控制模型；文獻(xiàn)[8]從工程應(yīng)用的角度出發(fā)，分別對(duì)比了車輛的后兩軸與第一軸的5種不同的轉(zhuǎn)角比例關(guān)系下的轉(zhuǎn)向模式，并且通過仿真結(jié)果說明了車輛在各種運(yùn)行工況下，不同轉(zhuǎn)向模式的適應(yīng)性；文獻(xiàn)[9]建立了車輛2DOF模型，模型中采用逆向估計(jì)的方式動(dòng)態(tài)計(jì)算輪胎的側(cè)偏剛度，基于建立的車輛模型設(shè)計(jì)了6WS + DYC集成控制策略，并且以建立的10自由度非線性車輛模型為控制對(duì)象，驗(yàn)證了控制模型的有效性。除此之外，文獻(xiàn)[10]針對(duì)四軸全輪轉(zhuǎn)向車輛提出了一種基于車輪轉(zhuǎn)角比例前饋+橫擺角速度反饋的最優(yōu)補(bǔ)償控制算法；文獻(xiàn)[11]考慮五軸車輛轉(zhuǎn)向時(shí)，轉(zhuǎn)動(dòng)中心位置變化對(duì)車輛轉(zhuǎn)向性能的影響，設(shè)計(jì)了PID-D控制策略，并通過與固定D值轉(zhuǎn)向方式進(jìn)行對(duì)比，驗(yàn)證了PID-D控制策略對(duì)于提高多軸轉(zhuǎn)向車輛操縱穩(wěn)定性的有效性。

現(xiàn)有的全輪轉(zhuǎn)向控制研究，都只重點(diǎn)研究針對(duì)車輛操縱穩(wěn)定性的優(yōu)化效果，并沒有著重去研究對(duì)于車輛輪胎磨損的影響，本文在傳統(tǒng)全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制的基礎(chǔ)上，考慮減小車輛在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中輪胎的磨損，根據(jù)阿克曼轉(zhuǎn)向幾何原理[12]，建立全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制模型，并與傳統(tǒng)全輪轉(zhuǎn)向控制方法進(jìn)行對(duì)比，通過分析車輪的輪胎力和滑移率響應(yīng)曲線驗(yàn)證了基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制策略對(duì)于減小車輛在轉(zhuǎn)向時(shí)的輪胎磨損程度是有利的。

1 三軸全輪轉(zhuǎn)向車輛模型

1.1 單軌車輛二自由度動(dòng)力學(xué)模型

為研究車輛在轉(zhuǎn)彎的過程中操縱穩(wěn)定性變化[13]的基本特征，建立簡(jiǎn)化的三軸車輛2DOF模型如圖1所示。

圖1 三軸車輛2DOF模型

各變量定義如下：m為整車質(zhì)量；Iz為車輛橫擺轉(zhuǎn)動(dòng)慣量；u為車輛質(zhì)心縱向速度；v為車輛質(zhì)心側(cè)向速度；ω為車輛質(zhì)心橫擺角速度；β為車輛質(zhì)心側(cè)偏角；a,b,c為車輛質(zhì)心到各軸的距離；ε1,ε2,ε3分別為各軸車輪輪速u1,u2,u3與x軸的夾角；δ1,δ2,δ3分別為各軸車輪轉(zhuǎn)角；Fy1,Fy2,Fy3分別為車輛各輪側(cè)向力；α1,α2,α3分別為各輪側(cè)偏角；K1,K2,K3分別為各輪側(cè)偏剛度。

則根據(jù)圖1，可以建立微分方程為：

(1)

1.2 TruckSim車輛模型

本文選取TruckSim中的一款三軸客車整車模型作為研究對(duì)象，模型共27個(gè)自由度，將車輛三根軸全部設(shè)置為轉(zhuǎn)向軸，車輛的第一軸車輪轉(zhuǎn)角來自于TruckSim內(nèi)部自帶的駕駛員模型，第二、三軸車輪轉(zhuǎn)角則通過Matlab/Simulink外部建立的轉(zhuǎn)向控制模型輸入，TruckSim車輛模型的主要參數(shù)如表1所示。

表1 TruckSim車輛模型主要參數(shù)

2 基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制

圖2 車輛各軸車輪轉(zhuǎn)角運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系

傳統(tǒng)的三軸車全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制策略，在求解各軸車輪轉(zhuǎn)角時(shí)，并沒有考慮車輛各軸車輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，使得車輛在轉(zhuǎn)向過程中，某個(gè)車輪無法實(shí)現(xiàn)純滾動(dòng)運(yùn)動(dòng)，加大了輪胎的磨損。本文基于車輛轉(zhuǎn)動(dòng)過程中各軸車輪應(yīng)該滿足的阿克曼轉(zhuǎn)向原理，在車輛二自由度動(dòng)力學(xué)模型的基礎(chǔ)上，加入車輛各軸車輪的運(yùn)動(dòng)學(xué)約束，建立最優(yōu)二次型控制策略。

2.1 車輛各軸車輪運(yùn)動(dòng)學(xué)約束

本文基于阿克曼原理，采用向量法推導(dǎo)車輛各軸車輪應(yīng)該滿足的關(guān)系。根據(jù)建立的車輛2DOF模型，并定義車輛瞬時(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)中心為P(x,y, 0)，可以得到車輛轉(zhuǎn)向時(shí)各軸車輪應(yīng)該滿足的運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系如圖2所示。

根據(jù)直線AP和直線BP可以得到點(diǎn)P的坐標(biāo)為：

(2)

由點(diǎn)B和點(diǎn)P可以得到向量b2為：

(3)

則向量h2可以計(jì)算得到：

(4)

通過向量h2可以計(jì)算得到車輛第二軸轉(zhuǎn)角為：

(5)

在車輛三個(gè)軸的車輪轉(zhuǎn)角均較小的情況下，可假設(shè)：

(6)

則式(5)可以簡(jiǎn)化為：

(7)

為了驗(yàn)證式(6)的合理性，當(dāng)車輛第一、三軸轉(zhuǎn)角在-20 deg到20 deg的范圍變化時(shí)，對(duì)比由式(5)和式(7)計(jì)算得到的車輛第二軸車輪轉(zhuǎn)角誤差如圖3所示。

圖3 兩種方式計(jì)算下δ2的誤差曲線

由圖3可知，由式(5)和式(7)計(jì)算得到的第二軸車輪轉(zhuǎn)角誤差小于0.4 deg，證明式(6)所做的假設(shè)是合理的。

2.2 基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制

本文以三軸車輛第三軸車輪轉(zhuǎn)角作為最優(yōu)控制的控制輸入，而車輛第二軸車輪轉(zhuǎn)角則根據(jù)車輛運(yùn)動(dòng)學(xué)約束計(jì)算得到，所以將式(7)代入到式(1)，并以β和ω為狀態(tài)變量，可以得到車輛狀態(tài)空間方程為：

(8)

定義車輛理想狀態(tài)變量如下：

(9)

以車輛理想狀態(tài)變量和實(shí)際狀態(tài)變量的差異最小為優(yōu)化目標(biāo)，且保證輸出的車輛后輪轉(zhuǎn)角最小，建立目標(biāo)函數(shù)如式(10)所示：

(10)

式(10)為一個(gè)帶有等式約束的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)，通過引入向量λ將式(10)轉(zhuǎn)化為無約束的目標(biāo)函數(shù)(11)：

(11)

令：

(12)

將式(12)代入(11)得到：

(13)

根據(jù)變分法求解式(13)，當(dāng)式(13)取得極小值時(shí)：

(14)

由式(14)第二項(xiàng)可以得到最優(yōu)控制量：

U*=-R-1BTλ,

(15)

將式(15)變換為包含狀態(tài)變量X的方程，令：

λ(t)=P(t)X(t)+ε(t),

(16)

對(duì)式(16)求導(dǎo)得到：

(17)

由前式可以得到：

(18)

(19)

式(19)第一項(xiàng)稱為黎卡提方程[14]，求解該方程可以得到矩陣P的唯一解，將式(19)代入式(15)可以得到最優(yōu)控制量：

U*=-R-1BTPX-R-1BT(AT-PBR-1BT)-1(QAd-PC)δ1。

(20)

基于阿克曼原理的三軸車全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制流程如圖4所示。

圖4 基于阿克曼原理的三軸車全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制流程

3 仿真建模與分析

在TruckSim中輸入命令OPT_DRIVER_ACTION=0，屏蔽掉TruckSim中駕駛員模型對(duì)車輛模型的轉(zhuǎn)向控制作用，并將方向盤轉(zhuǎn)角輸出到Matlab/Simulink中，通過Matlab/Simulink建立的控制模型計(jì)算得到車輛各軸車輪的等效轉(zhuǎn)角，用于控制TruckSim車輛模型轉(zhuǎn)向。其中，Matlab/Simulink中建立的最優(yōu)控制模型相關(guān)參數(shù)如表2所示。

表2 最優(yōu)控制模型相關(guān)參數(shù)

圖5 圓和直線組成的復(fù)合軌跡

分別建立只考慮車輛質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度響應(yīng)的三軸車全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制模型和考慮阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制模型，考慮到式(7)所表示的車輛各軸車輪之間的關(guān)系，是在車輛低速的情況下滿足的，高速時(shí)由于輪胎速度偏角的存在，車輛各軸車輪之間不再滿足式(7)，本文選取車輛車速為20 km/h時(shí)，行駛雙移線軌跡以及由圓弧和直線組成的復(fù)合軌跡兩種仿真工況，其中，由圓弧和直線組成的復(fù)合軌跡如圖5所示?？紤]到車輛輪胎磨耗是跟車輪受到的輪胎力和滑移率[15]相關(guān)的，所以對(duì)比兩種最優(yōu)控制策略下車輛各狀態(tài)響應(yīng)以及輪胎受到的力和滑移率曲線。

圖6和圖9分別對(duì)比了雙移線軌跡以及圓和直線組成的復(fù)合軌跡兩種工況下車輛的狀態(tài)響應(yīng)曲線，通過兩種工況下的仿真結(jié)果可以得到相同的結(jié)論，由圖6(a)和圖9(a)可知，基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制下的車輛質(zhì)心側(cè)偏角最小，而由圖6(b)和圖9(b)可知，三種轉(zhuǎn)向方式下的車輛橫擺角速度響應(yīng)基本一致，表明，全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制下的車輛的操縱穩(wěn)定性得到了提高。

圖7和圖10分別對(duì)比了雙移線軌跡以及圓和直線組成的復(fù)合軌跡兩種工況下車輛的輪胎受力之和響應(yīng)曲線，由圖7和圖10對(duì)比可知，基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制下的車輛輪胎受到的縱向力和側(cè)向力之和均變小了，但是相比于雙移線軌跡，在圓和直線組成的復(fù)合軌跡下，車輛轉(zhuǎn)彎時(shí)的轉(zhuǎn)向角更大，傳統(tǒng)全輪轉(zhuǎn)向車輛的車輪在縱向方向上和側(cè)向方向上發(fā)生的滑動(dòng)程度更大，所以在此種工況下，基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向車輛相比于傳統(tǒng)的全輪轉(zhuǎn)向車輛，其輪胎產(chǎn)生的縱向力和側(cè)向力之和減小的程度更大，對(duì)于車輛輪胎磨損的緩解效果更加明顯。

圖8和圖11分別對(duì)比了雙移線軌跡以及圓和直線組成的復(fù)合軌跡兩種工況下車輛的滑移率曲線，由圖8(a)、圖8(b)、圖11(a)和圖11(b)可知，兩種全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制下的第一軸車輪滑移率基本一致，這是因?yàn)檐囕v的第一軸車輪轉(zhuǎn)角由TruckSim軟件自帶的駕駛員模型計(jì)算得到，在同樣的目標(biāo)軌跡下，兩種全輪轉(zhuǎn)向控制下的車輛第一軸的車輪轉(zhuǎn)角基本保持一致?；诎⒖寺淼娜嗈D(zhuǎn)向最優(yōu)控制主要約束車輛的第二軸車輪轉(zhuǎn)角，所以，由圖8(c)、圖8(d)、圖11(c)和圖11(d)可以看出，相比于傳統(tǒng)全輪轉(zhuǎn)向，基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向控制下車輛的第二軸的左右輪滑移率減小的程度最大，同時(shí)，該控制下車輛的第三軸的左右輪滑移率也有一定程度的減小。同理，在車輛車輪大轉(zhuǎn)角的工況下，基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制下車輛各軸的左右輪滑移率減小的程度更大。

(a) 質(zhì)心側(cè)偏角

(b) 橫擺角速度

圖6 雙移線軌跡下車輛狀態(tài)響應(yīng)曲線

Fig.6 Vehicle state response curve under double line change

(a) 各軸車輪縱向力之和

(b) 各軸車輪側(cè)向力之和

圖7 雙移線軌跡下車輛各軸車輪受力之和

Fig.7 Sum of vehicle tire forces under double line change

(a) 第一軸左輪滑移率

(b) 第一軸右輪滑移率

(c) 第二軸左輪滑移率

(d) 第二軸右輪滑移率

(e) 第三軸左輪滑移率

(f) 第三軸右輪滑移率

圖8 雙移線軌跡下輪胎滑移率曲線

Fig.8 Tire slip ratio curve under double line change

(a) 質(zhì)心側(cè)偏角

(b) 橫擺角速度

圖9 復(fù)合軌跡下車輛狀態(tài)響應(yīng)曲線

Fig.9 Vehicle state response curve under compound track

(a) 各軸車輪縱向力之和

(b) 各軸車輪側(cè)向力之和

圖10 復(fù)合軌跡下車輛各軸車輪受力之和

Fig.10 Sum of vehicle tire forces under compound track

(a) 第一軸左輪滑移率

(b) 第一軸右輪滑移率

(c) 第二軸左輪滑移率

(d) 第二軸右輪滑移率

(e) 第三軸左輪滑移率

(f) 第三軸右輪滑移率

圖11 復(fù)合軌跡下輪胎滑移率曲線

Fig.11 Tire slip ratio curve under compound track

4 結(jié)語

① 本文以三軸車輛為研究對(duì)象，基于阿克曼轉(zhuǎn)向原理，建立各軸車輪轉(zhuǎn)向運(yùn)動(dòng)學(xué)約束關(guān)系。將質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度參考值作為跟蹤目標(biāo)，建立基于阿克曼原理的三軸車輛全輪轉(zhuǎn)向操作穩(wěn)定性的最優(yōu)控制模型。采用Matlab/Simulink和Trucksim軟件搭建聯(lián)合仿真平臺(tái)，對(duì)傳統(tǒng)全輪轉(zhuǎn)向和基于阿克曼原理全輪轉(zhuǎn)向操作穩(wěn)定性控制進(jìn)行仿真研究和對(duì)比分析。

② 相比于傳統(tǒng)全輪轉(zhuǎn)向，基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制能獲得更優(yōu)異的操作穩(wěn)定性能，即在相同工況下，質(zhì)心側(cè)偏角和橫擺角速度能得到更有效地控制。同時(shí)，基于阿克曼原理全輪轉(zhuǎn)向控制方法使縱向輪胎力、側(cè)向輪胎力以及輪胎滑移率更小，有利于減小輪胎磨損，提高各軸車輪的協(xié)同轉(zhuǎn)向性能。

③ 針對(duì)低速大轉(zhuǎn)角是三軸車輛行駛過程中的典型工況，仿真研究表明，當(dāng)車輛的轉(zhuǎn)向角越大時(shí)，基于阿克曼原理的全輪轉(zhuǎn)向最優(yōu)控制，對(duì)于減小輪胎磨損越明顯。因此，在三軸車輛操縱穩(wěn)定性控制設(shè)計(jì)時(shí)，考慮各軸車輪滿足同一轉(zhuǎn)動(dòng)瞬心原則，以提高各軸車輪的轉(zhuǎn)向協(xié)同性能和減小輪胎磨損是很有必要的。