t-UC模的若干等價(jià)刻畫

李煜彥

（隴南師范高等?？茖W(xué)校數(shù)信學(xué)院，甘肅 隴南 742500）

引言

近年來(lái)，許多作者借助于 Gomez Pardo［1］在1985年提出的τ-本質(zhì)子模的概念，進(jìn)一步豐富了extending模的研究范疇（其中τ=（T，F(xiàn)）表示遺傳撓理論）。若M的每個(gè)閉子模是M的直和因子，則稱M是extending模。2011年，Asgari和 Haghany［2］利用 τ-本質(zhì)子模引入了模M的維數(shù)，稱其為M的 τ-秩。2012年，Ceken［3］和 Alkan［4］利用 τ-本質(zhì)子模引入了 τ-extending模的概念，并研究了相關(guān)于撓理論的UC模，若模M的任意子模都存在唯一τ-本質(zhì)閉包，則稱M是τ-UC模。2014年，Albu［5］利用τ-本質(zhì)子模證明了相對(duì)Ossofsky-Smith定理。2011年，Asgari和 Haghany［6］從 Goldie撓理論的角度研究了模M的t-本 質(zhì) 子模和t-閉子模，證明了包含Z2（M）的t-閉子模是閉子模。2014年，Asgari［7］引入了t-閉包的概念，對(duì)于M的子模C以及非奇異子模A，證明了C是A的t-閉包的條件是當(dāng)且僅當(dāng)C是A的本質(zhì)閉包，同時(shí)他們還研究了M的任意子模的t-閉包的存在性。隨后，2014至2019年期間，Asgari等人［8-10］利用t-本質(zhì)子模又相繼研究了t-半單模、t-連續(xù)模和t-擬連續(xù)模，并分別證明了M是t-半單模（t-連續(xù)模，t-擬連續(xù)模）當(dāng)且僅當(dāng)M=Z2（M）⊕M′，其中M′是非奇異的半單模（連續(xù)模、擬連續(xù)模）。

受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，一個(gè)很自然的問(wèn)題是：什么情況下模M的任意子模都存在唯一t-閉包？解決上述問(wèn)題并如何與t-extending模建立聯(lián)系是研究問(wèn)題的難點(diǎn)。本文把任意子模都存在唯一t-閉包的模稱為t-UC模。利用環(huán)模理論的研究方法，進(jìn)一步對(duì)UC模和τ-UC模進(jìn)行了推廣，討論了t-UC模的若干等價(jià)刻畫，研究了t-UC模關(guān)于子模和商模的封閉性。與研究τ-UC模不同的是，本文給出了t-UC模未必是UC模的例子，這充分說(shuō)明了研究t-UC模的必要性。

本文中的環(huán)都是有單位元的結(jié)合環(huán)，模指酉右R-模。令Z（M）=｛m∈≤eRR｝，稱Z（M）為M的奇異子模。若Z（M）=M（或Z（M）=0），則稱M是奇異（或非奇異）的。用Z2（M）表示M的第二奇異子模，其中。由文獻(xiàn)［5］可知，Z2（M）=｛m∈≤tesRR｝。若f：M→N是R-同態(tài)映射，則f（Z（M））≤Z（N），故f（Z2（M））≤Z2（N）。設(shè)A≤M，則Z（A）=A∩Z（M），故Z2（A）=A∩Z2（M）。對(duì)于R-模族 ｛Mλ｝λ∈Λ，有Z（⊕λ∈ΛMλ）=⊕λ∈ΛZ（Mλ），故Z2（⊕λ∈ΛMλ）=⊕λ∈ΛZ2（Mλ）。若Z2（M）=M，則稱模M是Z2-撓的。若Z2（RR）=R，則稱環(huán)R是Z2-撓的。M的子模N是Z2-撓的，當(dāng)且僅當(dāng)N≤Z2（M）。眾所周知0，Z2-撓模構(gòu)成的類關(guān)于子模、商模、直和以及擴(kuò)張是封閉的。用N≤eM表示N是M的本質(zhì)子模。

1 定義和引理

定義1［6］設(shè)N≤M，稱N是M的t-本質(zhì)子模，是指對(duì)任意A≤M，若N∩A≤Z2（M），則A≤Z2（M），記為N≤tes M，此時(shí)也稱M是N的t-本質(zhì)擴(kuò)張。

定義2［6］設(shè)C≤M，稱C是M的t-閉子模，是指若C≤tesC′≤M，則C=C′，記為C≤tc M。設(shè)A≤B≤M，若B≤tesA且A≤tc M，則稱A是B在M中的t-閉包。

定義3［6］稱M是t-extending模，則M需滿足如下等價(jià)條件之一：

（1）M的任意t-閉子模都是M的直和因子。

（2）M=Z2（M）⊕M′，其中M′是非奇異的extending模。

（3）M的包含Z2（M）任意子模是其直和因子的本質(zhì)子模。

（4）M的任意子模是其直和因子的t-本質(zhì)子模。

定義4［3］若M的任意子模在M中都存在唯一的本質(zhì)閉包，則稱M是UC模。

下面給出t-UC模的概念。

定義5若M的任意子模在M中都存在唯一的t-閉包，則稱M是t-UC模。

由文獻(xiàn)［3-4，6］易得下面結(jié)論。

引理1設(shè)M是模，則以下幾條成立：

（1）若M是τ-撓自由模（即τ（M）=0），則M的τ-本質(zhì)子模和本質(zhì)子模是一致的，故當(dāng)且僅當(dāng)M是UC模，M是τ-UC模。

（2）若M是非奇異模（即Z（M）=0），則M的t-本質(zhì)子模和本質(zhì)子模是一致的，故當(dāng)且僅當(dāng)M是UC模，M是t-UC模。

（3）若M是 τ-撓自由且非奇異模（即 τ（M）=Z（M）=0），則M的τ-本質(zhì)子模、t-本質(zhì)子模和本質(zhì)子模是一致的，故當(dāng)且僅當(dāng)M是τ-UC模當(dāng)且僅當(dāng)M是UC模，M是t-UC模。

（4）若M是Z2-撓模，則M是t-UC模。

下面例子說(shuō)明t-UC模未必是UC模。

例1設(shè)p是一個(gè)素?cái)?shù)則M是Z2-撓的，故M是t-UC模，但M不是UC模。

引理2［6］以下對(duì)模M等價(jià)：

（5）對(duì)任意m∈M＼Z2（M），存在r∈R，使得rm∈A＼Z2（A）。

引理3［7］設(shè)M、N是模，則以下結(jié)論成立：

（1）若A≤B≤M，則當(dāng)且僅當(dāng)A≤tesB且B≤tesM，A≤tesM。

（2）設(shè)f：M→N是R-同態(tài)映射。若A≤tesN，則f-1（A）≤tesM。

引理4［6］設(shè)C≤M，則以下等價(jià)：

引理5［7］M的任意子模都存在t-閉包。

顯然，由引理4（4）可知，若C是M的t-閉子模，則C是M的閉子模。下面例子說(shuō)明，閉子模未必是t-閉子模。

（4）Z2（M）≤C且C在M中是閉的。

（5）C是M的非奇異子模的補(bǔ)。

例2設(shè)M=，N=Z（1+2Z，2+23Z）。由文獻(xiàn)［3］知，N不是M的本質(zhì)子模，但N≤tesM；且N是M的閉子模，但N不是t-閉子模。

2 主要結(jié)果

先給出t-本質(zhì)子模的幾個(gè)命題。

命題1設(shè)M是模，N、L≤M。若N?L且N≤tesM，則L≤tesM。

證明設(shè)K≤M，L∩K≤Z2（M），則N∩K?L∩K≤Z2（M）。因?yàn)镹≤tesM，所以K≤Z2（M）。

命題3設(shè)M是t-UC模，A，B，C≤M。若A是B在M中的t-閉包，且B≤tesC，則C?A。

證明若A是B在M中的t-閉包，則B≤tesA≤tc M。設(shè)D是C在M中的t-閉包，則C≤tesD≤tc M。由引理3知，B≤tesD≤tc M，因此D是B在M中的t-閉包。因?yàn)镸是t-UC模，所以A=D，從而C?A。

下面給出t-UC模等價(jià)刻畫。

定理1設(shè)M是模，A、A′、B、B′≤M。則以下等價(jià)：

（1）M是t-UC模。

（2）若A≤tesA′、B≤tesB′，則A+B≤tesA′+B′。

（3）設(shè) {Ai}i∈I是M的子模族。若Ai≤tesBi（?i∈I），則 ∑≤tes∑。

（4）若A∩A′≤tesA、A∩A′≤tesA′以及B∩B′≤tesB′、B∩B′≤tesB，則（A+B）∩（A′∩B′）≤tesA+B且 （A+B）∩ （A′∩B′）≤tesA′+B′。

（5）若A∩B≤tesB，則A≤tesA+B。

證明（1）?（2）。設(shè)C是A+B在M中的t-閉包，D是A在C中的t-閉包。則C≤tc M且D≤tc C，由文獻(xiàn)［6］推論2.8知，D≤tc M。由命題3知，A′?D，故A′?C，同理可證B′?C。于是由A′+B′?C以及A+B≤tesC，可得A+B≤tesA′+B′。

（2）?（3）。設(shè)L≤ ∑i∈IBi且 （∑i∈IAi）∩L?Z2（∑i∈IBi）。設(shè)x∈L，則存在I的有限子集F以及xi∈Bi，使得x=∑i∈Fxi。于是 （∑i∈FAi）∩xR?Z2（∑i∈FBi）。由定理 1（2）知，∑i∈FAi≤tes∑i∈FBi，故xR?Z2（∑i∈FBi），因此x∈ Z2（∑i∈IBi）。從而

（3）?（4）。設(shè)A∩A′≤tesA、A∩A′≤tesA′以及B∩B′≤tesB′、B∩B′≤tesB，則由定理1（3）知，（A∩A′）+（B∩B′）≤tesA+B且（A∩A′）+（B∩B′）≤tesA′+B′。由于 （A∩A′）+（B∩B′）?（A+B）∩（A′+B′），由命題1知，（A+B）∩（A′∩B′）≤tesA+B且（A+B）∩（A′∩B′）≤tesA′+B′。

（4）?（5）易證。

（5）?（1）。設(shè)N≤M，A和A′都是N在M中的t-閉包，則N≤tesA≤tc M，N≤tesA′≤tc M。因?yàn)镹?A∩A′，由命題 1知，A∩A′≤tesA′。于是由定理 1（5）知，A≤tesA+A′，從而A=A+A′，故A′?A。同理可證A?A′。從而A=A′，即M是t-UC模。

對(duì)任意N≤M，令｛m∈M|N∩mR≤tesmR｝。下面說(shuō)明M是t-UC模與是M的子模是等價(jià)的。

定理2M是t-UC模是當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意N≤M，｛m∈∩mR≤mR｝是M的子模。此時(shí)，tes=｛m∈≤tesN+mR｝且是N在M中的唯一t-閉包。

證明必要性。設(shè)M是t-UC模，N≤M。由定理1（5）知，m∈當(dāng)且僅當(dāng)N≤tesN+mR。設(shè)x1、x2∈，r∈R，則N≤tesN+x1R，N≤tesN+x2R。于是由定理1（2）知，N≤tesN+x1R+x2R。而由N≤N+（x1+x2r）R≤N+x1R+x2R以及文獻(xiàn)［7］推論 1.2知，N≤tesN+（x1+x2r）R。從而x1+x2r∈，即≤M。

充分性。設(shè)任意N≤M，都有≤M。先證。設(shè)L，且滿足L∩N≤tesZ2（）。對(duì)任意x∈L，則N∩xR≤tesxR，故（N∩xR）∩xR≤Z2（）∩xR=Z2（xR）。于是xR是Z2-撓的，因此x∈Z2（），從而N≤tes。再證是N在M中的唯一t-閉包。設(shè)N≤tesH≤tc M，對(duì)任意h∈H，由文獻(xiàn)［7］知，N∩hR≤teshR，故h∈，因此N≤H≤。由文獻(xiàn)［7］推論1.2知，H≤tes。故，即是N在M中的唯一t-閉包。所以M是t-UC模。

由定理1和定理2，可得出t-UC模關(guān)于子模具有遺傳性質(zhì)。

定理3M是t-UC模當(dāng)且僅當(dāng)M的任意子模是t-UC模。

證明必要性。對(duì)任意N≤M，證明N是t-UC模。設(shè)L≤N，W和W′都是L在N中的t-閉包，則L≤tesW≤tc M，L≤tesW′≤tc M。因?yàn)镸是t-UC模，由定理1知，L≤tesW∩W′。由命題1知，W≤tesW+W′，W′≤tesW+W′。因此W=W+W′=W′，從而N是t-UC模。

充分性。設(shè)對(duì)任意N≤M，N是t-UC模。設(shè)A、A′、B、B′≤M，且滿足A≤tesA′，B≤tesB′。由定理1（2）知，下面只需證A+B≤tesA′+B′。設(shè)W≤tesA′+B′且W∩（A+B）?Z2（A′+B′），則對(duì)任意x∈W，x=a+b，其中a∈A′，b∈B′。令C=aR+bR，則A∩C≤tesA′∩C，B∩C≤tesB′∩C。由于C是t-UC模，由定理1知，（A∩C）+（B∩C）≤tes（A′∩C）+（B′∩C）。又因?yàn)閤R∩ （（A∩C）+（B∩C））?Z2（A′+B′）∩（（A′∩C）+（B′∩C））=Z2（（A′∩C）+（B′∩C）），所以xR?Z2（（A′∩C）+（B′∩C））?Z2（A′+B′），即x∈Z2（A′+B′），于是W?Z2（A′+B′）。從而有A+B≤tesA′+B′。

下面結(jié)論說(shuō)明滿足一定條件的t-UC模關(guān)于商模是封閉的。

推論1設(shè)N≤M。若M是t-UC模，N是M的t-閉子模，則：

證明（1）設(shè)N≤W≤M，N≤W≤M，使得和12中都是t-閉的。由文獻(xiàn)［6］引理2.5（3）知，W1和W2在M中都是t-閉的。由定理2，W1∩W2在M中是t-閉的。因此由文獻(xiàn)［6］引理2.5（3）知，在中是t-閉的。由定理2，是t-UC模。

（2）由于N是M的t-閉子模，由引理4知，是非奇異的，由（1）知，是t-UC模。

最后，在t-UC模前提下，給出t-extending模等價(jià)條件。

定理4 設(shè)M=⊕i∈IMi。若M是t-UC模，則以下等價(jià)：

（1）M是t-extending模。

（2）對(duì)任意i∈I，Mi是t-extending模，并且對(duì)任意K≤tc M，若K∩Mi?Z2（M）（i∈I），則K是M的直和因子。

證明（1）?（2）。設(shè)M是t-extending模，由文獻(xiàn)［6］知，t-extending模的任意直和因子都是t-extending模，故（2）成立。

（2）?（1）。設(shè)對(duì)任意i∈I，Mi是t-extending模。對(duì)任意N≤tc M，由文獻(xiàn)［6］知，N∩Mi≤tc Mi（?i∈I），故對(duì)任意i∈I，N∩Mi是Mi的直和因子，于是存在Li≤Mi，使得Mi=（N∩Mi）⊕Li。因此M=⊕i∈IMi=（⊕i∈I（N∩Mi））⊕（⊕i∈ILi）=H⊕L，其中H=⊕i∈I（N∩Mi），L=⊕i∈ILi。于是N=N∩M=N∩（H⊕L）=H⊕（N∩L）。設(shè)K≤tc N，且滿足N∩L≤tes K。由文獻(xiàn)［6］知，K≤tc M。因?yàn)镵=K∩（H⊕（N∩L））=（K∩H）⊕（N∩L），由文獻(xiàn)［7］知，0=（K∩H）∩（N∩L）≤tesK∩H，所以K∩H?Z2（M）。下證K∩Mi?Z2（M）。設(shè)m∈K∩Mi，則m=a+b，其中a∈K∩H，b∈N∩L。因?yàn)镵∩L≤Z2（M），所以存在I≤tes R，使得aI=0。于是（m-b）I=0，mI=bI∈（N∩L）∩Mi=0。從而b∈Z2（N∩L）=0，即m=a∈Z2（M）。由（2）知，K是M的直和因子，故N∩L是L的直和因子。從而N是M的直和因子。

3 結(jié)束語(yǔ)

extending模及其相關(guān)問(wèn)題的研究是近年來(lái)環(huán)模理論的研究熱點(diǎn)，研究成果受到了許多作者的關(guān)注。本文基于Asgari和Ceken等人引入的t-本質(zhì)子模和t-UC模的概念，利用環(huán)模理論的研究方法，給出了環(huán)R上模M的一些刻畫，使得M的每個(gè)子模有唯一的t-閉包。比較t-UC模、τ-UC模和UC模發(fā)現(xiàn)，當(dāng)M是τ-撓自由且非奇異模時(shí)，M是t-UC模的前提是當(dāng)且僅當(dāng)M是τ-UC模當(dāng)且僅當(dāng)M是UC模。本文舉例說(shuō)明了t-UC模未必是UC模，并討論了t-UC模的若干等價(jià)刻畫，證明了t-UC模關(guān)于子模和商模的封閉性。最后，建立了t-UC模和t-extending模之間的緊密聯(lián)系。當(dāng)M=⊕i∈IMi是t-UC模時(shí)，得到了M是t-extending模當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)任意i∈I，Mi是t-extending模且對(duì)任意K≤tc M，若K∩Mi?Z2（M）（i∈I），則K是M的直和因子。