基于修正Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的半無限空間淺埋隧道彈塑性解

李小豐

基于修正Mohr-Coulomb準(zhǔn)則的半無限空間淺埋隧道彈塑性解

李小豐

(中鐵十八局集團(tuán) 第五工程有限公司，天津 300451)

假設(shè)圓形隧道在均質(zhì)，連續(xù)和各向同性的半無限空間中開挖，靜止土壓力系數(shù)0等于1，提出一種基于雙極坐標(biāo)系的隧道圍巖的彈塑性解。采用修正的摩爾-庫倫破壞準(zhǔn)則用于表征巖體強度。通過擴(kuò)展Massinas和Sakellariou的解，完善塑性解，并提供計算臨界內(nèi)壓力和塑性區(qū)的方法。結(jié)合玉磨鐵路實際工程案例，通過比較計算結(jié)果，驗證新方法的優(yōu)點。

半無限空間；淺埋隧道；非線性；彈塑解；雙極坐標(biāo)

太達(dá)村隧道位于云南省普洱市寧洱縣，處在地震多發(fā)地帶，全長5 815 m，多為Ⅴ級圍巖，巖性為泥巖夾鹽巖，巖體整體破碎，巖層節(jié)理裂隙發(fā)育強烈，圍巖穩(wěn)定性差，易發(fā)生塌方等情況。進(jìn)行圍巖穩(wěn)定性分析研究有助于太達(dá)村隧道的開挖建設(shè)和運營維護(hù)。經(jīng)過多年發(fā)展圍巖穩(wěn)定性研究逐漸完善[1?3]。Brown等[4]提出了一種考慮軟化圍巖特性的地面響應(yīng)曲線計算方法用來極端圍巖和隧道支護(hù)力之間的關(guān)系。Carranza-torres[5]解釋了霍克布朗參數(shù)和隧道開挖引起的地層相應(yīng)之間的關(guān)系，在霍克布朗非線性屈服準(zhǔn)則的基礎(chǔ)之上提出了圓形隧道開挖圍巖應(yīng)力位移的彈塑性解析解。Jeffey[6]假設(shè)隧道在各向同性均質(zhì)的彈性體中開挖，設(shè)定地表位移和內(nèi)部支護(hù)力2個條件，基于雙極坐標(biāo)法，得出了圍巖的應(yīng)力函數(shù)。在Jeffrey的研究的基礎(chǔ)之上，Mindlin[7]考慮了圍巖自重的影響，基于雙極坐標(biāo)法，先計算初始應(yīng)力場的影響再加上體力求解，再計算挖去隧道部分后3種應(yīng)力疊加后的總應(yīng)力，最后得到了考慮重力的淺埋隧道圍巖應(yīng)力解析解。但是以上關(guān)于淺埋隧道的應(yīng)力和位移解都是建立在彈性模型的假設(shè)之上的，實際隧道工程不可能有這么完美的假設(shè)。Massinas等[8?9]采用了雙級坐標(biāo)的方法，提出了一種基于摩爾?庫倫屈服準(zhǔn)則的彈塑性半無限平面中圓形隧道周圍塑性區(qū)和應(yīng)力分布的閉合解。本文基于Mohr-Coulomb準(zhǔn)則和雙極坐標(biāo)系獲得圍巖的彈塑性，本文提供了計算臨界內(nèi)壓，塑性區(qū)和塑性應(yīng)力的具體方法。此外，為驗證本文提出方法的優(yōu)越性，與Massinas和Sakellariou的研究進(jìn)行了比較。

1 工程概況

新建玉溪至磨憨鐵路太達(dá)村隧道位于寧洱站~普洱站區(qū)間，進(jìn)口里程為DK239+810，出口里程為DK245+625，全長5 815 m。隧道最大埋深約180 m。隧區(qū)屬低中山地貌，洞身分布下第三系漸新至始新統(tǒng)礫巖、砂巖夾泥巖(進(jìn)口至斜井段約4 000 m)，白堊系下統(tǒng)曼崗組中段泥巖夾砂巖(斜井至出口段約1 800 m)等。洞身發(fā)育普洱斷裂西支和蠻帕山斷層。

單位：cm

其中DK243+618~DK243+695為淺埋段，埋深淺，風(fēng)化層厚且兩岸發(fā)育滑坡和巖堆。該區(qū)段圍巖等級為V級圍巖，最小埋深27 m。

隧道設(shè)計斷面如圖1所示。原隧道為五心圓設(shè)計，此設(shè)計斷面復(fù)雜，理論計算極為困難。為了簡化計算本文中將隧道簡化為半徑為5 m的圓形隧道。

2 問題描述

如圖2所示，軸表示地面，軸穿過圓形隧道的中心并將空間一分為二。在該半無限空間中，表示隧道的半徑，表示從上自由表面到隧道中心的深度。假設(shè)巖體是均勻連續(xù)且各向同性的，并且隧道的深度與半徑之比/小于或等于7以保證隧道處于淺埋狀態(tài)[7]。

圖2 半無限空間和隧道

在開挖隧道之前，半平面的上邊界(=0)存在均勻壓力0，隧道內(nèi)壁存在均勻徑向壓力P。本章的研究內(nèi)容采用Massinas和Sakellariou的假設(shè)，靜止土壓力系數(shù)0等于1，忽略重力對半無限空間的影響。因此，在隧道外表面上的壓力等于地表的均勻分布壓力0。隨著隧道開挖的進(jìn)行，隧道內(nèi)部支撐壓力P逐漸下降到臨界值P，當(dāng)內(nèi)部支撐力達(dá)到臨界值P時，在隧道壁處就會發(fā)生初始屈服。而當(dāng)內(nèi)部支撐壓力降低至小于P之后，隧道圍巖將會形成塑性區(qū)域。因此，在下半平面(>0)中，圍巖的應(yīng)力和塑性區(qū)域的求解的問題可以被認(rèn)為是一個半無限空間圓形柱孔收縮問題。

3 雙極坐標(biāo)

根據(jù)彈性力學(xué)的知識，平行于平面的平面應(yīng)力可由應(yīng)力函數(shù)求解偏導(dǎo)而確定，即為

曲線坐標(biāo)系，例如雙極坐標(biāo)，在求解某些特定的邊界條件下的某些特定的問題非常方便。其中雙極坐標(biāo)系通常用于解決2個非同心圓邊界的問題，例如半無限空間中圓孔縮孔或擴(kuò)孔的情況。該曲線坐標(biāo)系(,)由式(2)定義

其中：是的實部；是的虛部；虛數(shù)常數(shù)用表示。

圖3 雙極坐標(biāo)系

根據(jù)式(2)，直角坐標(biāo)可以轉(zhuǎn)化為為雙極坐標(biāo)，即

Jeffery[6]提出了雙級坐標(biāo)中應(yīng)力分量的函數(shù)表達(dá)式，如式(9)~(11)所示。

圖4 基于雙極坐標(biāo)系的計算模型

4 屈服準(zhǔn)則

摩爾庫倫強度屈服準(zhǔn)則是被最為廣泛應(yīng)用的屈服準(zhǔn)則。但它在簡單易用的同時，存在著一個主要的問題：它忽略了巖石的非線性特性。針對這個問題，Singh[9]提出了的巖體非線性破壞準(zhǔn)則，這是一種修正的屈服準(zhǔn)則，如式(8)所示。

其中：σ和σ為大小主應(yīng)力；為完整巖石的無側(cè)限抗壓強度；σ為節(jié)理巖體的無側(cè)限抗壓強度；0為節(jié)理巖石的摩擦角(σ?0)。

0也可以表示為

其中：=強度降低系數(shù)=σ/σ；0為完整巖石的摩擦角。

5 彈性區(qū)分析

在上表面存在均勻壓力0和忽略重力的條件下，如果隧道內(nèi)壁內(nèi)部支撐壓力逐漸減小到P但不小于極限內(nèi)部支護(hù)力(P＜P＜0)，則應(yīng)力將在圓形隧道周圍產(chǎn)生彈性分布。Jeffery[6]給出了彈性區(qū)域中應(yīng)力函數(shù)的一般表現(xiàn)形式，它可以表示為

6 塑性區(qū)分析

將式(22)代入式(12)，經(jīng)過簡單的代數(shù)計算，就能得到內(nèi)部臨界支護(hù)力P，公式如下所示

根據(jù)式(23)，可以看出P是的函數(shù)。式(23)中隧道由曲線定義，且為常數(shù)，唯一的變量為。

隧道內(nèi)部支撐壓力的不斷下降，當(dāng)內(nèi)部支護(hù)力P小于P時，圍巖中將會形成塑性區(qū)和彈性區(qū)交界面。在塑性區(qū)和彈塑性界面處，假設(shè)主應(yīng)力遵守改進(jìn)的摩爾?庫倫屈服準(zhǔn)則并且彈性?塑性界面處(=)處的彈性和塑性應(yīng)力必須連續(xù)相等。那么應(yīng)力之間的關(guān)系可表示為

P為限制塑性區(qū)擴(kuò)散彈性?塑性界面處的內(nèi)部臨界支護(hù)力，σ和σ分別為彈性區(qū)的彈性?塑性界面處的主應(yīng)力和塑性區(qū)的彈性?塑性界面處的主應(yīng)力。

很明顯，和P都是變量的函數(shù)。和P的表達(dá)式可以通過式(28)和式(24)求解得到。然而，因為表達(dá)式和P的復(fù)雜性使得這2個函數(shù)的公式很難直接寫出，為了簡化計算他們具體的值可以通過使用MATLAB程序進(jìn)行編程來獲得，因為半空間中的取點過多，它們的計算值將不會在下一節(jié)中具體列出。塑性區(qū)的半徑r(=)和塑性區(qū)的所在位置的深度d(=coth)也可以通過MATLAB計算后生成，這2個計算結(jié)果是繪制彈性?塑性界面形狀所必需的條件。

在半無限空間中，根據(jù)塑性力學(xué)的知識，在塑性區(qū)，雙極坐標(biāo)系中任何點的應(yīng)力必須滿足的平衡微分方程：

彈性區(qū)雙極坐標(biāo)系中的剪切應(yīng)力為0，這種結(jié)論顯然不適合用于塑性區(qū)，但是Massinas和Sakellariou[8]已經(jīng)證明在塑性區(qū)剪切應(yīng)力可以被忽略。因此，式(29)和(30)可以簡化為

將式(2-8)代入式(35)得到

對式(20)兩邊同時求積分得到

于是塑性區(qū)的主應(yīng)力可表達(dá)為

其中：

是積分常數(shù)。

根據(jù)彈塑性界面中應(yīng)力分量的連續(xù)性，可以由下式計算

根據(jù)式(35)和式(36)可以發(fā)現(xiàn)等于主應(yīng)力σ時，那所得到的解就是Massinas和Sakellariou的解。

7 計算方法

圖5 流程圖

8 方法對比

為了證實研究的優(yōu)越性，需進(jìn)行研究方法的有效性驗證。本節(jié)將用本文提出的計算方法與Massinans等[8]的方法進(jìn)行比較，以證明本方法的優(yōu)越性。為此，有必要比較分別在摩爾?庫倫標(biāo)準(zhǔn)和修正的摩爾?庫倫標(biāo)準(zhǔn)下計算的塑性區(qū)的半徑(r)和主應(yīng)力(σ和σ)。

根據(jù)太達(dá)村隧道工程實例，巖石質(zhì)量強度標(biāo)準(zhǔn)，內(nèi)聚力()和摩擦角()的參數(shù)見表1，而0P和的參數(shù)見表2。此外，假設(shè)巖體的單軸抗壓強度為

計算結(jié)果全部繪制成圖像，以下一系列圖都將用來比較2種方法之間的塑性區(qū)和主應(yīng)力。

表1 內(nèi)聚力(c)和摩擦角(φ)參數(shù)

表2 P0, Pi, ra和d參數(shù)

(a) 塑性區(qū)；(b) β=4π/5時的應(yīng)力

(0=5 000 kPa，P=50 kPa，=5 m，=10 m)

(a) 塑性區(qū)；(b) β=4π/5時的應(yīng)力

(0=5 000 kPa，P=50 kPa，=5 m，=20 m)

(a) 塑性區(qū)；(b) β=4π/5時的應(yīng)力

(0=5 000 kPa，P=50 kPa，=5 m，=30 m)

從以上的結(jié)果可以看出，采用本文方法的塑性區(qū)半徑(r)小于Massinan和Sakellariou[8]的研究得出的塑性區(qū)半徑，這表明Massinan和Sakellariou[8]低估了圍巖的抗壓能力。如圖6(a)到8(a)所示，還注意到越大，2種方法計算得出的塑性區(qū)(r)之間平均差異越小。更重要的是，當(dāng)隧道越來越接近地表的時候，塑料區(qū)形狀的重心也將不斷偏離隧道的圓形。也就是說，當(dāng)/越低時，塑性區(qū)形狀重心偏離隧道圓心越遠(yuǎn)越明顯，這里得出的結(jié)論和Massinans等[8]的研究相同。

當(dāng)周圍巖體進(jìn)入塑性階段時，在改進(jìn)的摩爾?庫倫屈服準(zhǔn)則下計算的應(yīng)力大于在摩爾?庫倫屈服準(zhǔn)則下計算的應(yīng)力?？梢钥吹皆趶椥詤^(qū)采用2種屈服準(zhǔn)則計算所有應(yīng)力都應(yīng)該是形同的，主要差距在于塑性區(qū)。但是，從圖中可以看到絕大多數(shù)點2個屈服準(zhǔn)則下計算出應(yīng)力的之間的差異小于2.7%。這種差異產(chǎn)生的根本原因是本章提出的方法采用修正的摩爾?庫倫屈服準(zhǔn)則，這是一個非線性準(zhǔn)則，而Massinan等[8]的研究中使用的摩爾?庫倫屈服準(zhǔn)則是一個線性準(zhǔn)則，高估了巖體的無側(cè)限抗壓強度。

9 結(jié)論

1) 考慮到平面問題的特殊性，引入了雙極坐標(biāo)系?？紤]到塑性區(qū)的應(yīng)力同樣滿足平衡微分方程，同時考慮巖體的非線性破壞特征，且根據(jù)Massinas等的研究塑性區(qū)的剪切應(yīng)力可以被忽略，通過在雙極坐標(biāo)系中建立平衡方程，首次獲得了圍巖在塑性區(qū)的應(yīng)力解。以前，只有彈性的應(yīng)力解被其他作者提出，或者塑性解的求解方法中沒有考慮巖體的非線性破壞特征。

2) 新的彈塑性解求解方法擴(kuò)展了Massinas等的求解方法，不僅考慮了非線性摩爾?庫倫破壞準(zhǔn)則，而且還提出了計算淺隧道臨界內(nèi)部支護(hù)力，塑性區(qū)和塑性應(yīng)力的具體方法。新的彈塑性求解方法求得的彈性區(qū)應(yīng)力和Massinas等一樣，但是塑性區(qū)小于Massinas等的解。相應(yīng)的，本章求得的塑性區(qū)也比Massinas等的更小，因為改進(jìn)的摩爾?庫倫準(zhǔn)則與摩爾?庫倫準(zhǔn)則相比更好的描述的巖石的屈服特性。

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Elasto-plastic solution of shallow tunnel in semi-infinite space based on the modified Mohr-Coulomb failure criterion

LI Xiaofeng

(The 5th Company of the China Railway 18th Bureau Group Co., Ltd, Tianjin 300451, China)

This paper proposed a new elasto-plastic solution of the tunnel surrounding rock based on bipolar coordinate system. It was assumed that the circular tunnel is excavated in a homogeneous, continuous and isotropic semi-infinite space, and that the coefficient of earth pressure at rest0is equal to 1. The modified Mohr-Coulomb failure criterion was used to characterize the rock mass strength. The proposed approach extended the solution by Massinas and Sakelellaou to improve the plastic solution and develop a method for calculating the critical internal pressure and the plastic region. In combination with the engineering practice of the Yumo railway construction project, the advantage of this new approach was verified by comparing the calculation results.

semi-infinite space; shallow tunnel; nonlinear; elasto-plastic solution; bipolar coordinates

U45

A

1672 ? 7029(2020)06 ? 1491 ? 10

10.19713/j.cnki.43?1423/u.T20200037

2020?01?12

國家科技重大專項資助項目(2017YFB1201200)

李小豐(1976?)，男，天津人，高級工程師，從事鐵路工程施工管理及研究工作；E?mail：756855722@qq.com

(編輯 蔣學(xué)東)