應(yīng)用G′/(G′+G+A)展開(kāi)法求解兩類(lèi)非線(xiàn)性薛定諤方程

洪寶劍,陳 威,盧殿臣

(1.南京工程學(xué)院 數(shù)理部，江蘇 南京 211167； 2.南京工程學(xué)院 電力工程學(xué)院，江蘇 南京 211167； 3.江蘇大學(xué) 理學(xué)院，江蘇 鎮(zhèn)江 212013)

隨著現(xiàn)代科技的迅猛發(fā)展，人們認(rèn)識(shí)到自然界中的許多問(wèn)題本質(zhì)上是非線(xiàn)性的，如光學(xué)、電磁學(xué)、流體力學(xué)和生物科學(xué)等.因此，非線(xiàn)性問(wèn)題的求解對(duì)于揭示許多非線(xiàn)性現(xiàn)象具有重要意義[1].同時(shí),人們發(fā)現(xiàn)分?jǐn)?shù)階偏微分方程在描述一些物理性質(zhì)時(shí)比整數(shù)階方程更有效,如描述材料的電性質(zhì)、電磁波的邊界效應(yīng)、分形動(dòng)力學(xué)和神經(jīng)細(xì)胞中離子的反常過(guò)程等.作為描述非線(xiàn)性波重要偏微分方程——非線(xiàn)性薛定諤方程,被廣泛應(yīng)用于幾乎所有的物理分支和其他自然科學(xué)領(lǐng)域.然而，其精確解的構(gòu)造卻是一項(xiàng)十分困難的工作.迄今為止，國(guó)內(nèi)外學(xué)者提出了許多求解非線(xiàn)性微分方程的方法，如齊次平衡法[2]、達(dá)布變換法[3-4]、分步傅里葉變換法[5]、貝克隆變換法[6]、Jacobi橢圓函數(shù)法[7-8]等.在這些求精確解的方法中，文獻(xiàn)[9]首先提出了G′/G-展開(kāi)法，文獻(xiàn)[10-13]擴(kuò)展了這種展開(kāi)法的應(yīng)用，文獻(xiàn)[14]將G′/G-展開(kāi)法應(yīng)用于分?jǐn)?shù)階系統(tǒng)，文獻(xiàn)[15]首先提出了G′/(G′+G)-展開(kāi)法.論文主要用廣義G′/(G′+G+A)-展開(kāi)法討論廣義非線(xiàn)性薛定諤方程[16-19]和一類(lèi)時(shí)空分?jǐn)?shù)(1+1)維耦合非線(xiàn)性薛定諤方程[20-21]，獲得了其新形式的精確解，這些解為研究某些非線(xiàn)性現(xiàn)象提供了新的依據(jù).

1 推廣的G′/(G′+G+A) 展開(kāi)法基本思想

對(duì)于給定的非線(xiàn)性偏微分方程

F(u,ut,ux,uxx,uxt,utt,…)=0，

(1)

其中：u=u(x,t) 是未知函數(shù);F是一個(gè)由u=u(x,t) 和其各階偏導(dǎo)數(shù)構(gòu)成的多項(xiàng)式，包括高階偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)和非線(xiàn)性項(xiàng).

G′/(G′+G+A)展開(kāi)法求解步驟如下：

步驟1對(duì)方程(1)作行波變換

u(x,t)=u(ξ)，

(2)

其中：ξ=p(x-ct)，p,c為待定常數(shù).

將式(2)代入式(1)，得到只含變量ξ的常微分方程

H(u,u′,u″,u?,…)=0，

(3)

步驟2假設(shè)式(3)的解可表示為

(4)

且G=G(ξ) 滿(mǎn)足二階偏微分方程

G″+BG′+CG+AC=0，

(5)

其中：ai,A,B,C為待定常數(shù)；正整數(shù)m通過(guò)齊次平衡法確定.

步驟3將式(4)代入方程(3)，得到關(guān)于G′/(G′+G+A)的多項(xiàng)式.令G′/(G′+G+A)的不同次冪系數(shù)為零，得到關(guān)于a-m,a-m+1,…,a0,…,am-1,am,p,c和A,B,C的代數(shù)方程組.利用Mathematica軟件求解代數(shù)方程組，得到的解再代入式(2)，則可以獲得非線(xiàn)性偏微分方程的下列精確解:

情形1Δ=B2-4C>0,有

(6)

則P(ξ)=G′/(G′+G+A)，且

(7)

情形2Δ=B2-4C<0,有

(8)

則

(9)

滿(mǎn)足

P′(ξ)=(B-C-1)P(ξ)2+(2C-B)P(ξ)-A,

(10)

其中:C1,C2為任意非零常數(shù).

2 應(yīng)用G′/(G′+G+A) 展開(kāi)法求解廣義薛定諤方程

考慮下列廣義非線(xiàn)性薛定諤方程[16-19]

(11)

其中:α0,γ1,γ2,γ3為任意常數(shù).該方程主要描述光孤子在單模光纖中的傳輸.

作行波變換

(12)

將式(12)代入方程(11)后，設(shè)虛部和實(shí)部分別為0，有

(13.1)

p2(1-3γ1κ)φ″+(ω-κ2+γ1κ3)φ+(α0-γ2κ)φ3=0.

(13.2)

將方程(13.1)積分一次，并令積分常數(shù)為0，有

(14)

根據(jù)相容條件，方程(14)系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足

(15)

則方程(14)可以簡(jiǎn)化為

αφ″-ηφ+βφ3=0,

(16)

應(yīng)用齊次平衡法可得m=1，有

(17)

將(17)式代入方程(16)，得到關(guān)于G′/(G′+G+A)的多項(xiàng)式，合并相同冪次，并令系數(shù)為0，得到

(18)

運(yùn)用Mathematica軟件求解(15),(18)，得

解組1

(19)

解組2

(20)

分別將式(12)，(19)，(20)代入(17)，得到方程(11)的兩組解：

情形1當(dāng)B2-4C>0時(shí)，得到方程(11)的孤立波解為

當(dāng)C1=C2,B=2,u1,2退化為奇異波

情形2當(dāng)B2-4C<0時(shí)，得到方程(11)的三角函數(shù)周期波解為

u7,8(x,t)=

當(dāng)C1=C2,B=2時(shí)，u1,2(x,t)退化為文獻(xiàn)[15]解組中的式(19)，u1,2(x,t)～u7,8(x,t)是新解.方程(11) 部分解的結(jié)構(gòu)在圖1～4中給出.

圖2 |u1|在參數(shù)t=0時(shí)的平面圖

圖4u3實(shí)部在t=0時(shí)的平面圖

3 分?jǐn)?shù)階耦合薛定諤方程的精確解

3.1 分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義和性質(zhì)

眾所周知，分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)定義有很多，較為經(jīng)典的是Riemann-Liouvile(R-L)型分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和 Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)的定義[22]，部分情況下，Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)可以轉(zhuǎn)換為Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)[22-23].

論文主要采用 Caputo導(dǎo)數(shù)定義[22-24]

(21)

其中:α>0,n∈N,x>0.

Caputo導(dǎo)數(shù)具有下列性質(zhì)

(22)

3.2 用G′/(G′+G+A) 展開(kāi)法求分?jǐn)?shù)階耦合薛定諤方程

研究一類(lèi)時(shí)空分?jǐn)?shù)階(1+1)維耦合薛定諤方程[20-21]

(23)

分?jǐn)?shù)階復(fù)變換[25-26]為

(24)

將式(24)代入(23)后，令實(shí)部和虛部都等于0，有

(25)

由方程(25)得到

(26)

根據(jù)齊次平衡法，假設(shè)方程組(25)的解為

(27)

將式(27)代入方程組(25)中，得到關(guān)于G′/(G′+G+A)的多項(xiàng)式，合并相同冪次，并令系數(shù)為0，得到兩個(gè)方程組

(28)

(29)

借助Mathematica軟件求解 (28),(29)，有

解組1

(30)

解組2

b1=-a1,b-1=-a-1,ω=-κ2-8(C-1)μ2,B=2C.

(31)

將 (26)，(30)，(31)代入方程(27),可以得到方程(23) 的下列解:

情形1當(dāng)B2-4C>0, 方程(23) 有下列孤立波解

q1,2(x,t)=

u1,2(x,t)=-q1,2(x,t).

u3,4(x,t)=-q3,4(x,t).

特別地，當(dāng)C1=C2,B=2時(shí),u3,4退化為奇異波解

u′1,2(x,t)=-q′1,2(x,t).

情形2當(dāng)B2-4C<0, 方程(23) 有下列三角函數(shù)解

u5,6(x,t)=-q5,6(x,t).

u7,8(x,t)=-q7,8(x,t).

方程(23) 部分解的結(jié)構(gòu)如圖5～8所示.

圖6q5虛部在t=0時(shí)的平面圖

圖8q7虛部在t=0時(shí)的平面圖

4 結(jié)束語(yǔ)

應(yīng)用推廣的G′/(G′+G+A) 展開(kāi)法分別討論廣義非線(xiàn)性薛定諤方程和一類(lèi)時(shí)空分?jǐn)?shù)階(1+1)維耦合薛定諤方程組，獲得了方程(組)的孤立波解、奇異波解和三角函數(shù)解，這些解對(duì)解釋某些物理現(xiàn)象提供了一些幫助，但方程(組)的其他類(lèi)形式的解依然有待進(jìn)一步研究.