永磁無刷直流電機(jī)性能的影響因素的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與分析

曾 紅，王元昊，張志華

永磁無刷直流電機(jī)性能的影響因素的數(shù)學(xué)推導(dǎo)與分析

曾 紅1，王元昊1，張志華2

（1.遼寧工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程與自動化學(xué)院，遼寧 錦州 121001; 2. 錦州漢拿集團(tuán)新能源事業(yè)部 遼寧 錦州 121000）

在理論上推導(dǎo)出電機(jī)性能的影響因素是科學(xué)設(shè)計電機(jī)的前提。按照電機(jī)學(xué)和電磁學(xué)理論，經(jīng)過多個變量的代數(shù)運(yùn)算后，永磁無刷直流電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩和電磁效率可用多元函數(shù)來表達(dá)，兩者的決定性因素是額定電壓、平均半匝長系數(shù)、永磁體厚度、極數(shù)和氣隙等設(shè)計參數(shù)。通過對多元函數(shù)表達(dá)式分析單調(diào)性和極值可以得出電磁轉(zhuǎn)矩和效率關(guān)于各設(shè)計變量的變化趨勢，這些趨勢可以為永磁無刷直流電機(jī)研發(fā)人員選取優(yōu)化設(shè)計變量和調(diào)整變量的數(shù)值提供方向。

永磁無刷直流電機(jī)；電磁轉(zhuǎn)矩；電磁效率；數(shù)學(xué)分析

目前國內(nèi)關(guān)于永磁無刷直流電機(jī)的設(shè)計沒有成熟的方法，多數(shù)企業(yè)主要依靠經(jīng)驗來進(jìn)行電機(jī)的設(shè)計和分析[1-2]。對于真正的電機(jī)產(chǎn)品設(shè)計，在理論上推導(dǎo)出電機(jī)性能的影響因素是科學(xué)合理設(shè)計電機(jī)的前提。

本文按照電磁學(xué)理論和電機(jī)學(xué)理論，將電機(jī)設(shè)計過程中多個變量進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算，得出此類電機(jī)的電磁轉(zhuǎn)矩和電磁效率的多元函數(shù)表達(dá)式，找出影響電機(jī)性能的因素，再針對其中的各種因素進(jìn)行函數(shù)單調(diào)性分析和極值分析，得到在這些影響因素的作用下電機(jī)性能的發(fā)展規(guī)律，這些規(guī)律將為此類電機(jī)研發(fā)人員的CAD和CAE仿真提供明確的指導(dǎo)性意義。

1 建立電磁轉(zhuǎn)矩和電磁效率的函數(shù)

有

將式（3）和式（4）求比值，則粘性阻尼系數(shù)為：

對于本例中的簡化模型，氣隙磁通密度幅值為：

漏磁系數(shù)為：

將式（7）代入式（6）得：

電機(jī)的反電動勢系數(shù)為：

由于

且一相繞組串聯(lián)匝數(shù)公式為：

將式（8）、式（11）和式（12）代入式（13），再代入繞組電阻公式（14）：

整理得繞組電阻為：

電機(jī)的主要性能參數(shù)如下：

堵轉(zhuǎn)電流為：

不計電感、額定轉(zhuǎn)速下的電流為：

不計電感的平均電磁轉(zhuǎn)矩為：

考慮電感、額定轉(zhuǎn)速下的電磁轉(zhuǎn)矩為：

將式（15）代入式（16），式（16）代入式（17），式（17）代入式（18），式（18）代入式（19），最終得到考慮電感的額定轉(zhuǎn)速下的電磁轉(zhuǎn)矩公式為：

電磁效率公式為：

2 代入常量得出具體電機(jī)的Tav和ηem的多元函數(shù)

電磁效率公式為：

得到的效率為一常量。

3 電機(jī)影響因素的數(shù)學(xué)分析

3.1 極數(shù)對轉(zhuǎn)矩的影響

在不考慮機(jī)械損耗的情況下，電磁轉(zhuǎn)矩約為機(jī)械轉(zhuǎn)矩，根據(jù)公式

得：

3.2 永磁體厚度對轉(zhuǎn)矩的影響

考察函數(shù)的極值情況，解方程

即：

式（33）中求極限的條件在工程上不成立，所以方程無解，所以在永磁體厚度變化過程中，轉(zhuǎn)矩沒有極值，為一單調(diào)函數(shù)。

所以，在永磁無刷直流電機(jī)中，永磁體加厚時，轉(zhuǎn)矩提高、轉(zhuǎn)速降低，反之相反。

3.3 電機(jī)性能的其它影響因素的定性分析

由T的表達(dá)式可以看出，電磁轉(zhuǎn)矩和氣隙成近似反比，在工程實(shí)際要求的范圍內(nèi)，適當(dāng)增大氣隙可以提高轉(zhuǎn)速、降低轉(zhuǎn)矩，反之相反。但氣隙過大會導(dǎo)致磁力線偏離鐵芯、造成更多漏磁，氣隙過小則會導(dǎo)致電機(jī)產(chǎn)品的裝配工藝性不好。

平均半匝長系數(shù)K是一個與鐵芯長度有關(guān)的量，它是繞組線圈的平均半匝長寬之和與鐵芯長度的比值，所以由3節(jié)中T的表達(dá)式可以看出，鐵芯長度與電磁轉(zhuǎn)矩成正比。

4 結(jié)論

(3) 理論上，轉(zhuǎn)速與永磁體厚度的關(guān)系、轉(zhuǎn)速與永磁體厚度的關(guān)系均為單調(diào)函數(shù)，永磁體加厚時，轉(zhuǎn)矩提高、轉(zhuǎn)速降低。

(4) 理論上，電機(jī)的轉(zhuǎn)速與鐵芯厚度成反比，電磁轉(zhuǎn)矩與鐵芯厚度成正比。

(5) 理論上，適當(dāng)提高轉(zhuǎn)速、降低繞組線圈的電感有利于提高電機(jī)的效率。

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Mathematical Derivation and Analysis of Factors Affecting Performance of Permanent Magnet Brushless DC Motor

ZENG Hong1, WANG Yuan-hao1, ZHANG Zhi-hua2

（1.College of Mechanical Engineering and Automation, Liaoning University of Technology, Jinzhou 121001, China; 2. New Energy Department, Halla Group, Jinzhou 121000, China）

Theoretically deducing the influencing factors of motor performance is the premise of scientific design of motors. According to the theory of electromechanics and electromagnetism, after the algebraic operation of multiple variables, the electromagnetic torque and electromagnetic efficiency of a permanent magnet BLDC motor can be expressed by a multivariate function, the decisive factors of the two are design parameters such as rated voltage, average half-length coefficient, permanent magnet thickness, pole number and air gap. By analyzing the monotonicity and extremum of the multivariate function expression, the trend of electromagnetic torque and efficiency with respect to each design variable can be obtained. These trends can provide direction for permanent magnet BLDC motor developers to select values for optimizing design variables and adjusting variables.

permanent magnet BLDC motor; electromagnetic torque; electromagnetic efficiency; mathematical analysis

TH123

A

1674-3261(2020)02-0096-04

10.15916/j.issn1674-3261.2020.02.007

2019-08-05

遼寧省教育廳高等學(xué)校重大科技平臺項目

曾紅(1964-)，女，遼寧朝陽人，教授，碩士。

責(zé)任編校：劉亞兵