巧用向量等和線求解一類系數(shù)和問題

廣東實驗中學越秀學校

平面向量是高中新課標教材新增的重要內(nèi)容,是有效連接代數(shù)與幾何的紐帶,已經(jīng)成為高考數(shù)學命題的一個熱點.,而平面向量共線定理是平面向量的重要知識之一,更是近年高考試卷中的熱門考點之一,而且在近幾年的考題中對知識的綜合性和靈活性考查增強,相應難度有所提升,其中有一類問題是共起點的三個向量,一個向量用另外兩個向量線性表示,求系數(shù)和的范圍,最值等.解決這類問題的思路可以是轉(zhuǎn)化和建系,這兩種處理方式是高考常見的考點.但在處理這類問題時,利用向量等和線求解,比建系轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題來求解更顯自然和流暢,有效降低了知識綜合性要求與運算能力要求.等和線方式來處理有較為明顯的優(yōu)勢.本文就運用等和線定理巧解這類系數(shù)和問題進行實例剖析,供大家參考.

1 等和線定理

1.1 平面向量共線定理

1.2 等和線

證明如下:若P,A,B三點不共線,當P在直線AB外時,設OP交AB于點P1,則

2 等和線定理的應用

2.1 求共起點向量線性運算的系數(shù)和

在平面向量中,若需研究共起點的三個向量,其中一個向量用另外兩個向量線性表示,求系數(shù)和時,可以直接用等和線法解決.

例1如圖1(1)ΔBCD與ΔABC的面積之比為2,點P是區(qū)域ABCD內(nèi)的任一點(含邊界),且則λ+μ的取值范圍是( )

A.[0,1] B.[0,2] C.[0,3] D.[0,4]

解析:如圖1(2)過點D作BC平行于BC,∵ΔBCD與ΔABC的面積之比為2,AC′=3AC,AB′=3AB,所以當p落在A時,k=0為最小值,當p落在D時,k=3為最大值,所以選C.

例2(2017年全國卷Ⅲ)如圖2,在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,動點P在以C為圓心且與BD相切的圓上,若則λ+μ的最大值為( )

解析:如圖2,作圓C與BD平行的切線l,設切點為P,連接AP交BD于P1,則直線l為使λ+μ取得最大值的等和線.此時故選A.

例3(2009年高考安徽理科第14題)如圖3給定兩個長度為1的兩個向量和它們的夾角為120°.點C在以O為圓心的圓弧AB上變動,若其中x,y ∈R,則x+y的最大值是____.

解析:如圖3,連結(jié)AB,過點C作AB的平行線l,由等和定理知:當直線l與圓弧AB相切于點N時,最大.其中M是ON與AB的交點,易求得故x+y的最大值是2.

點評:以上3個例題都是在共起點的三個向量背景下,其中一個向量用另外兩個向量線性表示,求系數(shù)和的問題.從向量等和線定理可知,求系數(shù)和問題就是在等和線上取一特殊點P,并求出就可以.而要求需要用到幾何圖形的幾何性質(zhì),通常要用到平行線段成比例定理來求出k.這種思維有利于揭示向量問題的本質(zhì),有利于理解向量作為溝通代數(shù)與幾何的紐帶作用,有利于領悟數(shù)形結(jié)合的數(shù)學思想.

2.2 求共起點向量線性運算系數(shù)的線性關系式

在平面向量中,若需研究共起點的三個向量,其中一個向量用另外兩個向量線性表示,求系數(shù)的線性關系式.這種情況可以通過轉(zhuǎn)化為系數(shù)和,仍然用等和線法解決.

例4如圖4,設長方形ABCD的邊長分別是AD=1,AB=2,點P是ΔBCD(含邊界)的動點,設則x+2y的取值范圍為( )

A.[1,2] B.[1,3] C.[2,3] D.[0,2]

例5如圖5,在扇形OAB中,點C為弧AB上的一個動點,若則x+3y的取值范圍是( )

圖5

點評:以上兩個例題求解的都是系數(shù)的一般線性關系式,而非系數(shù)和,考慮到向量可以通過數(shù)乘運算,將向量進行同向或者反向伸長、壓縮,所以從理論上講,所有系數(shù)的線性關系式,都可以通過改變向量的基底,將所求系數(shù)的線性關系式變?yōu)閮蓚€新的基向量的系數(shù)和.

等和線法本質(zhì)上是平行線法.先找出k=1的那條基準線,再根據(jù)圖形的幾何性質(zhì),找出與基準線平行的特殊直線,最后運用平行線分線段成比例定理求出線段的比值,即k值,而k值就是系數(shù)和.用等和定理作基準線的平行線,將向量系數(shù)和的代數(shù)問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來處理,從而使所求系數(shù)和的值或取值范圍的問題得以圓滿解決.向量的等和線定理為求向量的系數(shù)和問題打開了一種嶄新的解題空間,可以使得問題的解決變得簡潔、高效.