由《四邊形內(nèi)角和》證明方法引發(fā)的思考

摘 要：數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要求培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新和實(shí)踐能力，《四邊形的內(nèi)角和》一課中，教師慣用的證明方法就是課本中的分割法，將四邊形分割成三角形，利用三角形的內(nèi)角和證明，在這個(gè)過(guò)程中，是否有其他的證明方法，如何充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，值得我們?nèi)シ此伎偨Y(jié)，學(xué)生想出來(lái)的辦法是否嚴(yán)謹(jǐn)，值得我們?nèi)パ芯刻剿鳌?/p>

關(guān)鍵詞：四邊形;內(nèi)角和;證明;轉(zhuǎn)化

本學(xué)期在教授人教版教材八年級(jí)上冊(cè)《多邊形的內(nèi)角和》一節(jié)的課前備課時(shí)，證明四邊形內(nèi)角和為360°，根據(jù)教材，利用分割法將四邊形分割成三角形來(lái)證明。四邊形轉(zhuǎn)化為三角形求內(nèi)角和，這種辦法對(duì)于學(xué)生來(lái)說(shuō)易想且簡(jiǎn)單，并且有利于幫助學(xué)生利用規(guī)律求出n邊形內(nèi)角和，于是我預(yù)設(shè)了以下幾種學(xué)生容易想到的辦法。

圖1直接連接一條對(duì)角線，將四邊形分割成兩個(gè)三角形，即180°×2=360°。

圖2連接兩條對(duì)角線AC、BD，形成四個(gè)三角形，四邊形內(nèi)角和相當(dāng)于4個(gè)三角形內(nèi)角和減去周角360°，4×140°-360°=360°。

這四種方法中，圖1和圖2是絕大部分學(xué)生能夠想到的辦法，對(duì)于少部分學(xué)生來(lái)講，圖3與圖4就需要教師的引導(dǎo)。

老師會(huì)提問(wèn)，圖2中的點(diǎn)P是兩條對(duì)角線的交點(diǎn)，比較特殊，如果點(diǎn)P沒(méi)有這么特殊，你還能將四邊形分割成三角形嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)教師的引導(dǎo)，可以得出圖3的方法，教師再提問(wèn)，點(diǎn)P還能取在其他地方嗎？點(diǎn)P能取在四邊形的邊上嗎？學(xué)生可能會(huì)得出圖4?？偨Y(jié)得出P點(diǎn)可以取在四邊形內(nèi)部，也可取在四邊形的邊上，當(dāng)點(diǎn)P取在對(duì)角線交點(diǎn)處，其實(shí)就是特殊的圖1。

教學(xué)這節(jié)課時(shí)，老師都會(huì)探究這幾種方法，以上幾種方法可以類比到其他的多邊形中，很多時(shí)候，我為了教授完課堂教學(xué)的內(nèi)容，放棄了讓學(xué)生深入挖掘的想法，從而扼殺了學(xué)生思維的創(chuàng)造性和發(fā)散性，這并不是真正的數(shù)學(xué)教學(xué)。于是這次我在備課的時(shí)候，準(zhǔn)備讓學(xué)生暢所欲言，給他們時(shí)間，讓他們思維在探索的世界里遨游。

如備課時(shí)的預(yù)設(shè)情景一樣，在實(shí)際的教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生很順利的得出上面四種方法。

老師再提問(wèn)：點(diǎn)P除了取在四邊形內(nèi)部以及邊上，還能取在其他地方嗎？

學(xué)生們興趣一下就提高了，他們很快就得出了點(diǎn)P取在四邊形外的情形。

學(xué)生們?cè)谒倪呅蜛BCD外取一點(diǎn)P，連接PA、PB、PC、PD，四邊形ABCD的內(nèi)角和等于三個(gè)三角形內(nèi)角和的和減去180°，即180°×3-180°=360°。

到了這里，學(xué)生的積極性就被調(diào)動(dòng)起來(lái)了，任教的兩個(gè)班級(jí)想了很多方法。

有同學(xué)就想出了這樣一種辦法，他將四邊形分割成了三個(gè)直角三角形和一個(gè)長(zhǎng)方形。

老師：同學(xué)們，這種方法成立嗎？

學(xué)生經(jīng)過(guò)計(jì)算，四邊形的內(nèi)角和可以是三個(gè)三角形的內(nèi)角和加上4個(gè)直角的度數(shù)，減去多余的三個(gè)平角。

老師給予答案的肯定，再提問(wèn)，所有的四邊形都可以這樣做輔助線嗎？如果它本身是一個(gè)長(zhǎng)方形呢？還能這樣做嗎？

學(xué)生：不能

老師：那這種方法可以用來(lái)證明四邊形內(nèi)角和嗎？

學(xué)生現(xiàn)在就開(kāi)始產(chǎn)生意見(jiàn)的分歧，經(jīng)過(guò)討論，他們一致認(rèn)為可以，但是要分類，可以分為特殊的四邊形和一般的四邊形討論。

老師：那我們之前的幾種方法需要分類嗎？

學(xué)生：不需要，因?yàn)樗械乃倪呅味伎梢酝ㄟ^(guò)連接分割成三角形，圖1～圖4的方法適合于一切四邊形。

看著同學(xué)們?cè)诿苤蓄D悟出來(lái)的想法，我感到無(wú)比的愉悅。這正是這節(jié)課的目的所在。

學(xué)生又提出，這個(gè)圖形太特殊，可以不用作水平和豎直的線，他們又畫出以下圖形：

學(xué)生列式3×180°+360°-180°=360°

學(xué)生：可以三個(gè)三角形的內(nèi)角和加上中間四邊形360°，再減去多出來(lái)的3個(gè)平角。

老師：這個(gè)方法對(duì)嗎？

學(xué)生A：不對(duì)，我們的目的就是為了證明四邊形的內(nèi)角和360°，這里直接使用了。

老師對(duì)回答給予肯定，并對(duì)以上兩種分法進(jìn)行了區(qū)別分析。

老師：還有的別的方法可以證明嗎？上一節(jié)課我們是怎么證明三角形內(nèi)角和的？

學(xué)生回憶通過(guò)做平行線。

老師：那四邊形內(nèi)角和能不能作平行線證明了？同學(xué)們下課后去思考一下還有沒(méi)有其他方法。

到這里下課鈴聲響起了，我不得不停下本堂課的繼續(xù)深入了，但是下課不代表停止思考，我把剩下的思考空間作為課后作業(yè)留給了學(xué)生，讓他們繼續(xù)拓展，以實(shí)現(xiàn)學(xué)生方法和思維的延伸。

兩天以后的一節(jié)練習(xí)課，專門就學(xué)生找到的方法進(jìn)行了討論。

學(xué)生A：我最開(kāi)始嘗試做BD的平行線AE，并延長(zhǎng)BA，

∵∠B=∠FAE，∠D=∠CEA，

∴∠BAC+∠B+∠C+∠D

=∠BAC+∠FAC+∠CAE+∠C+∠CEA

=180°+180°

=360°

在此處鍵入公式。

老師：同學(xué)們她證得對(duì)嗎？

基本上所有學(xué)生認(rèn)為這種證明方法沒(méi)有問(wèn)題，是對(duì)的，并且還有同學(xué)提出，他這樣畫輔助線麻煩了，不需要延長(zhǎng)BA，只需做出BD的平行線AE，此時(shí)四邊形的內(nèi)角和就等于兩組同旁內(nèi)角360°，再加上一個(gè)三角形的內(nèi)角和180°，減去多算的一組鄰補(bǔ)角之和180°即可，都得到了學(xué)生的認(rèn)可。

但是在我刻意有疑問(wèn)的目光中，同學(xué)們逐漸感覺(jué)出不對(duì)了。

學(xué)生B發(fā)現(xiàn)了：我認(rèn)為這種證法不完整，也應(yīng)該像上一節(jié)課有種方法一樣分類證明，是不是所有的四邊形都能做出其中一邊的平行線呢，如果四邊形本身有一組對(duì)邊或兩組對(duì)邊都平行的話就不需要做輔助線，直接利用平行線的性質(zhì)，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可證。所以如果要用這種方法，那就要幾種情況討論，要分類，要嚴(yán)謹(jǐn)。

其他同學(xué)這才恍然大悟。

雖然發(fā)現(xiàn)這點(diǎn)的同學(xué)不多，但是哪怕只有一位學(xué)生從之前的證明中已經(jīng)得到反思，并且應(yīng)用了起來(lái)，也是教學(xué)的一種進(jìn)步，他們已經(jīng)意識(shí)到了數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。

所以在后面學(xué)生C提出了可以過(guò)不同頂點(diǎn)做同一條邊的兩條平行線的方法時(shí)，他自動(dòng)參照了同學(xué)B的回答，將他的證明步驟完善了。

大家經(jīng)過(guò)又一輪的討論，又得出其他幾種平行線的做法，在這就不一一贅述了。

學(xué)生：方程思想行不行？

設(shè)四邊形內(nèi)角和為x，大四邊形的內(nèi)角和就等于兩個(gè)小四邊形的內(nèi)角和減去兩個(gè)平角，可以列一個(gè)方程x=2x-2×180°，解得x=360°。

此時(shí)，我覺(jué)得我的內(nèi)心是比較激動(dòng)的，以前確實(shí)沒(méi)有想過(guò)用方程去證明，但仔細(xì)一想，這個(gè)方法不對(duì)，它的前提建立在四邊形內(nèi)角和都相等的基礎(chǔ)上，學(xué)生忽略了這一點(diǎn)，這一點(diǎn)也是以后幾何證明中經(jīng)常犯的問(wèn)題，此時(shí)正是一次好的教育機(jī)會(huì)。

老師：你們覺(jué)得可行嗎？

這次全班是一致的同意意見(jiàn)，對(duì)的。

我注視著他們?nèi)缓笪⑿Γ瑢W(xué)生們很了解，當(dāng)老師出現(xiàn)了這副神態(tài)的時(shí)候，肯定有問(wèn)題了。

于是他們開(kāi)始一步步排查，得出的結(jié)論還是沒(méi)錯(cuò)。滿臉好奇的樣子！

老師：我們證明的是什么？

學(xué)生：四邊形內(nèi)角和360°。

老師：方程中用到了三個(gè)四邊形，我們都沒(méi)有證明出四邊形內(nèi)角和360°，你怎么知道它們的內(nèi)角和是相等的，證明能都設(shè)為x？

學(xué)生們恍然大悟。

老師最后提出問(wèn)題：這些證明方法的方法，能用來(lái)證明五邊形，六邊形、n邊形的內(nèi)角和嗎？通過(guò)我們對(duì)四邊形內(nèi)角和的探索，你有哪些收獲呢？

課后，我調(diào)查了學(xué)生們對(duì)本節(jié)課的想法，學(xué)生們普遍的想法是從來(lái)沒(méi)有覺(jué)得四邊形的證明方法有這么多，自己能想出一種不同的方法很有成就感，也從其他同學(xué)不完整以及錯(cuò)誤的證法中，得到一些啟發(fā)，學(xué)會(huì)思辨，體會(huì)數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)。

當(dāng)然四邊形的內(nèi)角和證明方法肯定還有許多，這些就等待我們?cè)谝院蟮慕虒W(xué)中再繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生去挖掘。數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)?shù)?，是發(fā)散的，是有趣的。數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)要求教師在教學(xué)過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，這樣的課堂，幫助培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維，實(shí)際上也是在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實(shí)踐能力，也是給學(xué)生們提供了更廣泛的思維空間，讓他們?cè)诙嘟嵌?，多?cè)面，多途徑的思考中，篩選出最佳的解法，這些都是作為教師的我們應(yīng)該做的，在新課標(biāo)要求下，教師不應(yīng)該一味的照本宣科，應(yīng)該改革創(chuàng)新，及時(shí)反思，并且不斷改進(jìn)，只有這樣才能培養(yǎng)出具有獨(dú)立思辨能力的未來(lái)人。

作者簡(jiǎn)介：

唐穎，重慶市，重慶市人和中學(xué)。