大口徑空間反射鏡支撐變形誤差分析方法研究

楊秋實(shí) 張繼友 于建海 陳建丞 于秋躍

（1 北京空間機(jī)電研究所，北京 100094）（2 國防科技工業(yè)光學(xué)超精密加工技術(shù)創(chuàng)新中心（先進(jìn)制造類），北京 100094）

0 引言

近年來，空間遙感技術(shù)的發(fā)展對(duì)大型光機(jī)系統(tǒng)中的大口徑空間反射鏡要求逐步提高，主要表現(xiàn)在反射鏡口徑由幾百毫米增大到4m 量級(jí)；輕量化率從60%提高至85%；面形高度起伏均方根值（RMS）要求由0.020λ 提高至0.013λ（λ 為氦氖激光器波長(zhǎng)，λ=632.8nm），這些都對(duì)現(xiàn)有的光學(xué)檢測(cè)技術(shù)提出了更高的要求[1-2]。在實(shí)際的光學(xué)檢測(cè)過程中，為了保證反射鏡性能的天地一致性，通常需要設(shè)計(jì)專用的重力卸載裝置來補(bǔ)償大口徑空間反射鏡的重力變形[3-5]。由于重力卸載裝置中促動(dòng)器自身的靈敏度、氣路控制精度及支撐工裝的偏心等誤差均會(huì)對(duì)輸出的支撐力產(chǎn)生影響，使得實(shí)際輸出的支撐力與計(jì)算所得理論支撐力產(chǎn)生偏差，該偏差支撐力會(huì)使由支撐引起的鏡面變形與理論仿真計(jì)算所得重力卸載面形產(chǎn)生差異，造成支撐變形誤差。大口徑空間反射鏡檢測(cè)到的面形誤差主要包含該支撐變形誤差與面形加工殘差兩部分[6-8]。支撐變形不僅受支撐點(diǎn)接觸方式和支撐點(diǎn)布局等因素的影響，還與反射鏡材料力學(xué)性能以及自身結(jié)構(gòu)相關(guān)。反射鏡的結(jié)構(gòu)剛度會(huì)隨著反射鏡口徑的增大、輕量化率的提高而降低，從而導(dǎo)致其面形就越易受支撐變形的影響[9-12]。如果能從反射鏡檢測(cè)結(jié)果中分離出支撐變形誤差，分析得到造成相應(yīng)面形變化的偏差支撐力大小，對(duì)反射鏡的高精度檢測(cè)及重力卸載裝置的設(shè)計(jì)與裝調(diào)都具有重要意義。

對(duì)于具有回轉(zhuǎn)對(duì)稱結(jié)構(gòu)的反射鏡，旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法是對(duì)支撐變形誤差和鏡面加工殘差進(jìn)行分離的有效方法，常用的旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法包括單次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法、N次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法和N+1 次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法。單次旋轉(zhuǎn)法的檢測(cè)過程相對(duì)簡(jiǎn)單，通過一次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)去除檢測(cè)結(jié)果中的非對(duì)稱面形誤差，但由于擬合項(xiàng)數(shù)有限，只能得到被測(cè)鏡面的低頻信息，檢測(cè)精度較低[13-15]；N次旋轉(zhuǎn)法是在等角度間隔下進(jìn)行N次面形檢測(cè)，測(cè)量時(shí)間較長(zhǎng)，檢測(cè)精度較高[16-18]；N+1 次旋轉(zhuǎn)法是在N次旋轉(zhuǎn)法基礎(chǔ)上，增加了一次任意角度的面形檢測(cè)，可以得到更為豐富的面形誤差信息，但由于受支撐工裝等條件限制，難以在實(shí)際檢測(cè)中實(shí)現(xiàn)任意角度的面形檢測(cè)[19-21]。綜上對(duì)比，N次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法可以兼顧檢測(cè)精度和檢測(cè)效率，更適用于對(duì)大口徑反射鏡進(jìn)行檢測(cè)數(shù)據(jù)處理，將支撐變形誤差分離。

由支撐引起的鏡面變形可分為兩部分，一部分是鏡面傾斜和平移等剛性位移，另一部分是由偏差支撐力造成的面形變化。在檢測(cè)過程中，可以通過軟件算法去除剛性位移部分的影響，因此，支撐對(duì)檢測(cè)結(jié)果的影響主要為偏差支撐力的影響。大口徑空間反射鏡具有較為復(fù)雜的結(jié)構(gòu)，設(shè)計(jì)優(yōu)化時(shí)常采用有限元方法進(jìn)行分析計(jì)算，若計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確度足夠高，就可以通過仿真計(jì)算得到偏差支撐力與面形變化的關(guān)系。

本文提出了一種支撐變形誤差的分析方法，首先應(yīng)用旋轉(zhuǎn)法將檢測(cè)結(jié)果中的支撐變形誤差分離，通過有限元仿真分析，建立偏差支撐力大小與面形變化量的關(guān)系曲線，并以反射鏡實(shí)測(cè)面形變化規(guī)律作為衡量有限元仿真精度的依據(jù)，修正有限元模型，得到更為準(zhǔn)確的關(guān)系曲線，從而確定產(chǎn)生支撐變形誤差的偏差支撐力大小。結(jié)合某型號(hào)直徑1300mm 非球面反射鏡的檢測(cè)實(shí)例，驗(yàn)證了該誤差分析方法的可行性。該誤差分析方法可用于提高空間反射鏡的檢測(cè)精度和重力卸載工裝的設(shè)計(jì)與裝調(diào)精度。

1 支撐變形誤差分離原理

在地面檢測(cè)條件下，大口徑空間反射鏡的檢測(cè)結(jié)果包含了鏡面加工殘差和支撐變形誤差

式中W表示在檢測(cè)過程中由干涉儀直接獲取的面形結(jié)果；S表示鏡面加工殘差；T表示支撐變形誤差；x、y為鏡面直角坐標(biāo)系中的橫向坐標(biāo)與縱向坐標(biāo)，坐標(biāo)系的原點(diǎn)為反射鏡參考表面的中心點(diǎn)，光軸方向?yàn)閦軸。在數(shù)據(jù)處理過程中，為了進(jìn)行澤尼克多項(xiàng)式擬合[22-23]，需要將檢測(cè)時(shí)采取的直角坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化為極坐標(biāo)系，公式（1）變?yōu)?/p>

式中ρ、θ為極坐標(biāo)系中的徑向坐標(biāo)和角度坐標(biāo)。

N次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法是繞光軸進(jìn)行N次等角度間隔的旋轉(zhuǎn)檢測(cè)，旋轉(zhuǎn)角度α=2π/N。在旋轉(zhuǎn)過程中，鏡面加工殘差隨鏡子旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，而由于重力卸載裝置不動(dòng)，各支撐點(diǎn)支撐力不變，支撐變形誤差不隨鏡子旋轉(zhuǎn)而旋轉(zhuǎn)，檢測(cè)結(jié)果可以表示成：

N次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)結(jié)果的平均值Wave為

式中m表示檢測(cè)過程中的旋轉(zhuǎn)次數(shù)為鏡面加工殘差的算術(shù)平均結(jié)果，為檢測(cè)結(jié)果的中高頻誤差部分，反射鏡的支撐變形誤差T為檢測(cè)結(jié)果的中低頻誤差部分。利用澤尼克多項(xiàng)式擬合，可以將檢測(cè)結(jié)果平均值中的中低頻誤差提取出來，得到反射鏡的支撐變形誤差。

2 支撐變形的仿真分析原理

由支撐引起的反射鏡微小變形屬于彈性變形，計(jì)算求解時(shí)可使用彈性力學(xué)方法。彈性力學(xué)主要研究彈性物體在溫度變化、邊界約束和受外力作用時(shí)產(chǎn)生的應(yīng)力、應(yīng)變和位移。在計(jì)算反射鏡支撐變形量時(shí)，認(rèn)為材料滿足完全彈性、均勻性、連續(xù)性等條件，且支撐變形大小與口徑相比屬高階小量。

把反射鏡看成是由無數(shù)個(gè)微小單元組成的幾何體，其在外力作用下處于平衡時(shí)，各個(gè)微元也應(yīng)處于平衡，由此可建立反射鏡的平衡微分方程

式中σx、σy、σz為鏡面直角坐標(biāo)系中x、y、z三個(gè)方向的正應(yīng)力；τxy、τyz、τxz為三個(gè)方向的切應(yīng)力；Fx、Fy、Fz為單位體積的單位力在三個(gè)方向的分量。另外，當(dāng)反射鏡處于彈性變形狀態(tài)時(shí)，溫度不變，應(yīng)力和應(yīng)變呈對(duì)應(yīng)關(guān)系，將支撐力卸載后，支撐變形將消失。基于廣義胡克定律，可建立各向同性完全彈性體的本構(gòu)物理方程

式中εx、εy、εz為三個(gè)方向的正應(yīng)變分量；γxy、γyz、γxz為三個(gè)方向的剪應(yīng)變分量；E為反射鏡材料的彈性模量；G為材料的切變模量。由于反射鏡支撐變形是一個(gè)連續(xù)的過程，反射鏡微元點(diǎn)位移也連續(xù)，可得出位移分量與各向應(yīng)變的關(guān)系

式中u、v、w為三個(gè)方向的位移分量。聯(lián)立式（4）、（5）、（6）可得到15個(gè)方程。由反射鏡力約束和位置約束，可得到力邊界條件和位置邊界條件，通過對(duì)上述微分方程組進(jìn)行求解，可得相應(yīng)支撐狀態(tài)下的變形量大小。

在工程應(yīng)用中，對(duì)微分方程組進(jìn)行直接求解比較困難，計(jì)算此類問題多使用數(shù)值計(jì)算法，其中有限元分析法最為適用。

有限元法將反射鏡當(dāng)作一個(gè)集合，集合由相互連接的力學(xué)微元組成，反射鏡整體力學(xué)特性由各微元的力學(xué)特性組合提供，集合中微元之間的內(nèi)力由節(jié)點(diǎn)傳遞。當(dāng)反射鏡產(chǎn)生變形時(shí)，各微元也將變形，各節(jié)點(diǎn)形成相應(yīng)位移。對(duì)每個(gè)微元設(shè)定一個(gè)函數(shù)，將節(jié)點(diǎn)位移作為未知量，建立節(jié)點(diǎn)內(nèi)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，近似地表示微元內(nèi)位移分布規(guī)律，對(duì)節(jié)點(diǎn)位移分量進(jìn)行求解。集合上的位移場(chǎng)函數(shù)使用插值法求解，隨著微元體積的減小、微元個(gè)數(shù)的增多，所求位移量的擬合程度將不斷提高，最終在精確解處收斂。

通過對(duì)建立的反射鏡有限元模型進(jìn)行仿真，可得到相應(yīng)支撐狀態(tài)下的鏡面支撐變形，該鏡面變形中沒有鏡面加工殘差。從變形云圖中提取各點(diǎn)沿光軸方向的位移，進(jìn)行澤尼克擬合，并將待測(cè)鏡剛性位移部分去除，得到由支撐力產(chǎn)生的面形變化結(jié)果，進(jìn)而建立偏差支撐力大小與面形變化量之間的關(guān)系，確定產(chǎn)生相應(yīng)面形變化量的偏差支撐力大小。

3 試驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

使用某型號(hào)直徑1300mm 的主鏡進(jìn)行誤差分析方法的試驗(yàn)驗(yàn)證，該反射鏡鏡體結(jié)構(gòu)如圖1 所示，采用了ULE 材料的蜂窩夾心結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)，輕量化率高達(dá)80%，面形為四次凹雙曲面，頂點(diǎn)曲率半徑R=3077mm，主鏡有效通光口徑為1300mm。

反射鏡面形的檢測(cè)光路由4D 干涉儀、球面波補(bǔ)償器、折鏡、重力卸載工裝及主鏡組成。為了減小干擾氣流和環(huán)境溫度導(dǎo)致的測(cè)量誤差，對(duì)反射鏡的測(cè)量環(huán)境進(jìn)行了嚴(yán)格控制。

為了補(bǔ)償反射鏡的重力變形，采用了氣壓式多點(diǎn)浮動(dòng)支撐的重力卸載方法。該支撐方式不引入附加力矩，因此面形結(jié)果中的鏡面變形主要由支撐變形誤差和加工殘差兩部分組成。經(jīng)過有限元仿真優(yōu)化后，采取了60個(gè)支撐點(diǎn)對(duì)反射鏡進(jìn)行支撐，使用7個(gè)氣路進(jìn)行控制，其中3個(gè)氣路用于調(diào)整反射鏡的傾斜。使用有限元分析得到了反射鏡理論卸載情況下的面形變化峰谷值（PV）和RMS 值，如圖2 所示。

圖1 直徑1300mm 非球面反射鏡Fig.1 The aspheric mirror with diameter Ф1300mm

圖2 理論卸載支撐變形Fig.2 Theoretical deformation with unloading support

由圖2 可以看出，反射鏡面形的理論卸載精度RMS 值為0.002λ，滿足檢測(cè)時(shí)的精度要求。反射鏡專用的重力卸載裝置主要由反射鏡襯板、底板、氣缸和控制系統(tǒng)等組成，如圖3 所示。其中的襯板用于支撐反射鏡；底板為氣缸提供安裝基準(zhǔn)和接口；氣缸用于對(duì)反射鏡進(jìn)行主動(dòng)力支撐；配套的控制系統(tǒng)可以實(shí)現(xiàn)對(duì)不同氣路氣缸的獨(dú)立控制。

圖3 重力卸載裝置Fig.3 The gravity unloading device

采用6 次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法對(duì)反射鏡進(jìn)行檢測(cè)。在檢測(cè)前，使用三坐標(biāo)測(cè)量機(jī)在鏡坯邊緣處每隔60°進(jìn)行了刻線，形成用于檢測(cè)對(duì)準(zhǔn)的6個(gè)標(biāo)記。在使用干涉儀的檢測(cè)過程中，以0°狀態(tài)作為起始測(cè)量位置，利用干涉儀的校準(zhǔn)功能，對(duì)檢測(cè)光路和反射鏡位置進(jìn)行微調(diào)，使干涉儀圖像的y軸與0°標(biāo)記和180°標(biāo)記重合，完成0°狀態(tài)下的位置標(biāo)定和面形檢測(cè)。通過激光跟蹤儀反饋反射鏡的空間位置關(guān)系，以0°坐標(biāo)值作為基準(zhǔn)，進(jìn)行等間隔60°旋轉(zhuǎn)，每轉(zhuǎn)過一個(gè)60°時(shí)，就重復(fù)上述步驟進(jìn)行調(diào)整和跟蹤儀標(biāo)定。檢測(cè)所采用的干涉儀角度誤差為0.05°，可滿足實(shí)際的檢測(cè)精度需求。使用旋轉(zhuǎn)檢測(cè)法得到的6 次面形檢測(cè)結(jié)果如圖4 所示。

圖4 旋轉(zhuǎn)法面形檢測(cè)結(jié)果Fig.4 Surface detection results by rotation testing

由圖4 可以看出，各個(gè)角度下的面形檢測(cè)結(jié)果稍有差異，這部分差異主要為支撐變形影響的結(jié)果。將6 次旋轉(zhuǎn)檢測(cè)所得面形結(jié)果使用干涉儀自帶的軟件算法處理后，得到檢測(cè)結(jié)果的平均值，如圖5 所示，該面形包含了支撐變形誤差以及加工殘差的算術(shù)平均值。使用澤尼克擬合，提取出中低頻誤差，即可得到該非球面反射鏡的支撐變形誤差，如圖6 所示，支撐變形誤差最大值為圖6 中面形變化集中區(qū)域的面形變化峰值，為0.04970λ。

圖5 檢測(cè)結(jié)果平均值Fig.5 The average value of testing results

圖6 支撐變形誤差Fig.6 The support deformation error

對(duì)面形變化量的主要集中區(qū)域所包含的支撐點(diǎn)的支撐力誤差進(jìn)行分析。在實(shí)際檢測(cè)時(shí)，該區(qū)域支撐點(diǎn)處施加的支撐力為16.2N。在此基礎(chǔ)上，對(duì)支撐點(diǎn)施加額外的支撐力以表示偏差支撐力，支撐力大小相等，以1N 為跨度，由1N 變化到10N，由有限元仿真得到每一組力對(duì)應(yīng)的鏡面變形，通過軟件去除剛性位移，得到面形變化結(jié)果。面形變化結(jié)果與施加偏差支撐力大小變化曲線如圖7 中線a 所示。

與此同時(shí)，為了衡量有限元仿真精度與可靠性，使用直徑1300mm 反射鏡進(jìn)行試驗(yàn)。鏡面面形的剛性位移可通過軟件算法進(jìn)行去除，鏡面加工殘差部分在只改變支撐力大小時(shí)基本不變，因此可以將不同支撐力下測(cè)得的檢測(cè)面形圖使用干涉儀自帶的軟件算法進(jìn)行相減，得到只由偏差支撐力變化引起的面形變化量大小。實(shí)驗(yàn)中在相同支撐點(diǎn)處施加等梯度偏差支撐力，以1N 為跨度從1N 變化為10N，得到的力與面形變化關(guān)系曲線如圖7 中線b 所示，面形結(jié)果如圖8 所示。

圖7 有限元仿真的面形變化與實(shí)測(cè)面形結(jié)果Fig.7 Surface change curves of finite element simulation and measured results

圖8 不同偏差支撐力下的面形圖Fig.8 Surface graphs under different deviation support forces

由圖7 中曲線a、b 可知，當(dāng)施加偏差支撐力大小從0N 加到10N時(shí)，有限元仿真得到的鏡面理論變形量與實(shí)際面形檢測(cè)結(jié)果都與偏差支撐力呈線性關(guān)系，但兩條曲線斜率有一定差距。采用有限元模型計(jì)算得到的理論面形變化斜率Ka為

式中aWΔ 為采用有限元模型計(jì)算得到的理論面形變化量，ΔF為偏差支撐力大小。

反射鏡實(shí)測(cè)得到的面形變化斜率Kb為

式中bWΔ 為反射鏡實(shí)測(cè)得到的面形變化量。

在理想情況下，仿真得到的面形變化曲線應(yīng)與實(shí)測(cè)曲線平行。然而受到模型邊界約束條件、網(wǎng)格劃分精度、結(jié)構(gòu)尺寸誤差等因素的影響，兩條曲線很難呈平行關(guān)系。當(dāng)偏差支撐力變化1N時(shí)，有限元模型仿真生成的面形變化和實(shí)驗(yàn)測(cè)得面形變化的差異為0.00485λ，導(dǎo)致二者產(chǎn)生較大差異的主要原因包括模型與實(shí)際反射鏡的尺寸差、約束條件的設(shè)置、材料力學(xué)參數(shù)的設(shè)置、模型網(wǎng)格細(xì)分程度等。通過核對(duì)以上因素，發(fā)現(xiàn)自由度約束條件的設(shè)置是導(dǎo)致差異的主要原因，通過修正約束條件，將x、y方向的轉(zhuǎn)動(dòng)自由度約束由周邊輔助約束點(diǎn)移到各支撐點(diǎn)上，這種約束方式與實(shí)際檢測(cè)時(shí)更相符。重新進(jìn)行有限元仿真計(jì)算，得到修正后的鏡面變形結(jié)果與偏差支撐力大小關(guān)系曲線，如圖7 中線c 所示。

修正模型后的理論面形變化斜率Kc為

式中cWΔ 為修正模型后的理論面形變化量。

當(dāng)偏差支撐力變化1N時(shí)，此時(shí)理論面形變化和實(shí)測(cè)反射鏡面形變化的差異為0.00187λ，該差異在鏡面加工誤差精度要求PV 值0.2λ 的1/100 以內(nèi)，可以采用修正模型仿真得到的面形變化進(jìn)行支撐變形誤差分析。

由圖7 中曲線c 可得，造成直徑1300mm 反射鏡支撐變形誤差最大量0.04970λ 的偏差支撐力約為2.34N。若想使最大的支撐變形誤差不超過0.03λ，則由曲線c 可知需要將偏差支撐力控制在1.38N 以內(nèi)。該支撐力偏差的來源包括：氣路氣壓控制誤差、氣缸促動(dòng)器的輸出力精度、底板定位孔的位置偏移等。在重力卸載方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)中，以1.38N 為指標(biāo)，將該偏差支撐力分解到各部件上，如促動(dòng)器的最大輸出力精度誤差ΔF不超過0.75N、氣路氣壓控制誤差產(chǎn)生的偏差支撐力不超過0.23N、由定位孔的位置偏移產(chǎn)生的偏差支撐力不超過0.4N。將前兩項(xiàng)作為重力卸載裝置中促動(dòng)器、氣壓傳感器、電磁閥等執(zhí)行器件選型優(yōu)化的依據(jù)，最后一項(xiàng)作為裝置底板加工時(shí)的精度依據(jù)，結(jié)合有限元仿真分析，進(jìn)行重力卸載方案的優(yōu)化設(shè)計(jì)，若某部件指標(biāo)精度難以實(shí)現(xiàn)，可以對(duì)偏差支撐力重新進(jìn)行分配，調(diào)整各部件的指標(biāo)大小，完成優(yōu)化設(shè)計(jì)。最終，通過用滯后效應(yīng)低控制精度高的薄膜式氣缸代替原始的“O”型圈密封式氣缸等執(zhí)行器件、對(duì)底板定位孔的加工公差進(jìn)行重新設(shè)計(jì)、使支撐點(diǎn)位置偏移最大誤差不超過0.4mm 等方法，對(duì)重力卸載工裝進(jìn)行了優(yōu)化設(shè)計(jì)與裝調(diào)，并使用優(yōu)化后的裝置重新進(jìn)行了直徑1300mm 反射鏡的檢測(cè)試驗(yàn)，得到的6個(gè)角度檢測(cè)結(jié)果如圖9 所示，支撐變形誤差如圖10 所示。

通過對(duì)比圖9 和圖4 可以看出，優(yōu)化裝置后的檢測(cè)結(jié)果PV 值變小；由圖10 可以看出，支撐變形誤差最大值減小為0.02871λ，這些結(jié)果都說明該方法對(duì)支撐變形誤差最大值進(jìn)行了有效地控制，這對(duì)實(shí)現(xiàn)大口徑空間反射鏡面形的高精度檢測(cè)以及提高重力卸載工裝的加工及裝調(diào)精度都具有重要的意義。

圖9 優(yōu)化裝置后測(cè)得的面形檢測(cè)結(jié)果Fig.9 Surface detection results after optimizing the device

圖10 優(yōu)化裝置后測(cè)得的支撐變形誤差Fig.10 The support deformation error after optimizing the device

4 結(jié)束語

本文提出了一種應(yīng)用于大口徑空間反射鏡檢測(cè)過程的支撐變形誤差分析方法。通過旋轉(zhuǎn)法將支撐變形誤差分離出來，由有限元分析方法建立偏差支撐力大小與面形變化量的關(guān)系曲線，以反射鏡的實(shí)測(cè)面形建立有限元模型仿真精度判據(jù)，得到面形變化對(duì)應(yīng)的偏差支撐力大小，并結(jié)合某型號(hào)直徑1300mm 反射鏡檢測(cè)實(shí)例，驗(yàn)證了該方法的可行性，使高精度面形檢測(cè)中的支撐變形誤差分析成為可能。誤差分析結(jié)果可用于對(duì)重力卸載裝置進(jìn)行選型優(yōu)化，用以提供重力卸載工裝的設(shè)計(jì)與裝調(diào)，提高檢測(cè)精度作參考。該誤差分析方法不僅適用于米級(jí)口徑，也適用于更大口徑的空間反射鏡高精度檢測(cè)。接下來可以從支撐變形誤差的精確控制角度開展研究，探尋有效減小支撐變形誤差的方法。