基于“主題式”的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)
——以“圓錐曲線的參數(shù)方程復(fù)習(xí)”為例

張啟鋒

(福建省永定第一中學(xué)，364100)

“主題”就是指一節(jié)課的“中心思想”,好的主題教學(xué)應(yīng)當(dāng)是和課程知識(shí)點(diǎn)緊密吻合的,主題完成的同時(shí)也完成了知識(shí)點(diǎn)的教學(xué),同時(shí)也推動(dòng)了主題的深入.《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》(2017年版)指出,教師應(yīng)把主題的內(nèi)容視為一個(gè)整體,引導(dǎo)學(xué)生尋找不同量之間的依賴關(guān)系、對(duì)應(yīng)關(guān)系.教師要理解數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的具體要求,不僅關(guān)注每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo),更要關(guān)注主題單元的教學(xué)目標(biāo),明晰這些目標(biāo)對(duì)實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的貢獻(xiàn).主題可以是一章或跨幾章內(nèi)容組成，或一個(gè)教學(xué)周期內(nèi)容組成，或以蘊(yùn)含在一些章節(jié)重要數(shù)學(xué)概念，或培養(yǎng)某個(gè)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)、基本能力組成主題等等.

本文以筆者應(yīng)福建省教育學(xué)院數(shù)學(xué)研修部之邀,為“2019年福建省普通高中高級(jí)職稱教師省級(jí)培訓(xùn)”開(kāi)設(shè)的一節(jié)展示課為例,探索基于“主題式”課堂教學(xué)的設(shè)計(jì)與實(shí)施.

一、知識(shí)回顧

章建躍博士認(rèn)為,“概念教學(xué)的核心是引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)展概括活動(dòng):將凝結(jié)在數(shù)學(xué)概念中的數(shù)學(xué)思維活動(dòng)打開(kāi),以若干典型具體事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性、歸納得出數(shù)學(xué)概念等思維活動(dòng)而獲得概括過(guò)程.”通過(guò)一定的情境或有效提問(wèn),回顧已學(xué)的有關(guān)概念,為快速進(jìn)入主題鋪路.

問(wèn)題1圓與橢圓的參數(shù)方程是唯一的嗎?

問(wèn)題2圓錐曲線的參數(shù)方程與普通方程如何互相轉(zhuǎn)化?

設(shè)計(jì)意圖學(xué)生已學(xué)過(guò)圓與橢圓的參數(shù)方程,從學(xué)生已有的基礎(chǔ)出發(fā),復(fù)習(xí)圓錐曲線參數(shù)方程與普通方程的互相轉(zhuǎn)化以及參數(shù)的幾何意義,喚起學(xué)生回憶；加深對(duì)圓與橢圓參數(shù)幾何意義的理解,為本節(jié)課主題進(jìn)入做好工具準(zhǔn)備,實(shí)現(xiàn)追求學(xué)生知識(shí)的自然生長(zhǎng).

二、方法構(gòu)建

圓錐曲線的參數(shù)方程用來(lái)表示圓錐曲線上的點(diǎn)在解題上具有一定的優(yōu)越性,能解決在普通方程下不易解決的問(wèn)題,如有關(guān)距離問(wèn)題、交點(diǎn)問(wèn)題、最值問(wèn)題和位置關(guān)系問(wèn)題.下面由例題導(dǎo)入本節(jié)課主題,即圓錐曲線參數(shù)方程中“坐標(biāo)法”的應(yīng)用.

分析這是人教版課本中的例題,題目簡(jiǎn)潔,但含有信息量大,題中包含橢圓與直線,求點(diǎn)的坐標(biāo)與距離的最小值.

師：此題的著力點(diǎn)在哪?

生：可以用點(diǎn)到直線距離公式把距離表示出來(lái)，設(shè)橢圓上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo).

師：如何表示橢圓上的點(diǎn)?

生：用“坐標(biāo)法”表示出橢圓上動(dòng)點(diǎn)M的坐標(biāo).

師：為何要用參數(shù)來(lái)表示點(diǎn)M的坐標(biāo)？

生：點(diǎn)M(3cosθ,2sinθ)中只有一個(gè)變量θ,可以簡(jiǎn)化運(yùn)算.

學(xué)生基本上都能求出最小距離,但有部分同學(xué)不會(huì)求點(diǎn)M的坐標(biāo),暴露出學(xué)生對(duì)三角函數(shù)輔助角公式掌握得不夠嫻熟.

設(shè)計(jì)意圖簡(jiǎn)單的一個(gè)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),有別于以往的必選內(nèi)容中的點(diǎn)M(x,y),讓學(xué)生體會(huì)到“坐標(biāo)法”的好處，強(qiáng)化了參數(shù)方程和三角函數(shù)輔助角公式的應(yīng)用,體現(xiàn)教學(xué)遵從從低點(diǎn)起步,小步慢走的思想.

三、類比改編

問(wèn)題3與簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃進(jìn)行類比,你能改編出一個(gè)題目嗎?

學(xué)生經(jīng)過(guò)充分的思考后:

師：高考中圓錐曲線主要以圓或橢圓為載體,有關(guān)取值范圍、最值問(wèn)題、位置關(guān)系等,都可以利用參數(shù)方程來(lái)表示點(diǎn)的坐標(biāo).

設(shè)計(jì)意圖簡(jiǎn)單的一個(gè)設(shè)點(diǎn)坐標(biāo),體現(xiàn)出參數(shù)方程的優(yōu)越性，讓學(xué)生在自主探究中領(lǐng)悟“坐標(biāo)法”的好處,體會(huì)“坐標(biāo)法”在解決類似問(wèn)題中作用.課堂設(shè)計(jì)符合學(xué)生思維發(fā)展規(guī)律，通過(guò)對(duì)問(wèn)題的載體的改變，問(wèn)題的設(shè)問(wèn)改變,幫助學(xué)生進(jìn)行知識(shí)的遷移,加深對(duì)“坐標(biāo)法”的理解.滲透用代數(shù)法解決幾何問(wèn)題的思路,從而培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考問(wèn)題、提出問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.

四、 思考探究

典型例題不僅能夠鞏固、深化知識(shí),更重要的是能夠通過(guò)例題的“結(jié)構(gòu)”,全面掌握知識(shí)應(yīng)用的不變性、靈活性,也能考查學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)、思維方法,多角度地觀察、思考、發(fā)現(xiàn)、分析和解決問(wèn)題的能力.

師：一個(gè)動(dòng)點(diǎn)變?yōu)閮蓚€(gè)動(dòng)點(diǎn),如何處理多個(gè)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題?

生：設(shè)橢圓上的動(dòng)點(diǎn)M(2cosα,sinα)(α為參數(shù)),圓上的動(dòng)點(diǎn)N(cosβ,3+sinβ)(β為參數(shù),然后利用兩點(diǎn)間距離公式，可求出|MN|的取值范圍.

生2：不對(duì),這樣不又有兩個(gè)變量了嗎?應(yīng)該把動(dòng)點(diǎn)M到動(dòng)點(diǎn)N的距離化歸為動(dòng)點(diǎn)M到圓心的距離,求出|MO|,再加上或減去半徑長(zhǎng)度,就是|MN|的取值范圍.

師：非常好,我們可以把這種方法叫“以靜制動(dòng)”.找到其中的一個(gè)不變量,利用化歸思想,從而實(shí)現(xiàn)快捷解題.

設(shè)計(jì)意圖高考試題設(shè)計(jì)一般會(huì)注重素材選取的普遍性,突出知識(shí)體系的完整性和知識(shí)間的聯(lián)系.要求學(xué)生能夠基于試題情境深入思考,整合所學(xué)知識(shí)得出結(jié)論.本例題力求突出知識(shí)間的橫向聯(lián)系和方法上的差異性,讓學(xué)生在“最近發(fā)展區(qū)”遭遇問(wèn)題,在熟悉的問(wèn)題中感覺(jué)陌生,在相似的方法中感受到不相似.引導(dǎo)學(xué)生自覺(jué)使用“坐標(biāo)法”解決問(wèn)題,使參數(shù)方程發(fā)揮最大作用.在教學(xué)過(guò)程中要主動(dòng)滲透數(shù)形結(jié)合思想,并通過(guò)有效提問(wèn),讓本節(jié)課主題更加突出.

五、鞏固成果

設(shè)計(jì)意圖課堂練習(xí)是思維的延續(xù),是檢查和發(fā)展課堂“主題”是否落實(shí)到位、教學(xué)目標(biāo)是否完成的需要.通過(guò)高考原題也讓學(xué)生體會(huì)高考怎么考,怎么體現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)生通過(guò)練習(xí),在練習(xí)中發(fā)現(xiàn)易錯(cuò)點(diǎn),在練習(xí)中經(jīng)歷用“坐標(biāo)法”解決問(wèn)題的完整過(guò)程.

突出坐標(biāo)法,即用代數(shù)方法來(lái)解決幾何問(wèn)題.參數(shù)就是一座橋梁,是“紅娘”.如何發(fā)揮“紅娘”作用,是本節(jié)課自然的、重中之重的“主題”,是最核心的教學(xué)要求.例題的精選，讓學(xué)生感受到借助參數(shù)方程設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)的必要性,體會(huì)根據(jù)問(wèn)題的特點(diǎn)選擇合適的參數(shù).設(shè)出動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo),體會(huì)解題技巧.而類比改編的設(shè)計(jì)，能夠梳理知識(shí)結(jié)構(gòu),建立知識(shí)網(wǎng)絡(luò),覆蓋基礎(chǔ)知識(shí),復(fù)習(xí)基本技能；能夠體現(xiàn)知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展過(guò)程,逐步深入、層層遞進(jìn),體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想方法，培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).